Структура вещества в ЧД

[Munin]

(Оффтоп)

Я предлагаю рискнуть миром :-)

[kirillD]

SergeyGubanov все правильно пишет. По крайней мере там, где черным по серому. Ни предельным, ни беспредельным.

[Утундрий]

SergeyGubanov
А Вы сами-то не желаете несколько снизить темп "вещания" и чуть больше внимания уделять ответам на возникающие вопросы? А то поскорее нагородить туеву (растение такое) кучу словов-словей, чтоб никто и гавкнуть не успел - это, знаете ли, не метод постижения истины.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #702129 писал(а):

VladTK в сообщении #701709 писал(а):

Т.е. квантование гравитации у Вас невозможно. Плохо.

Формула $\varepsilon = e^{\mu}_{(0)} e^{\nu}_{(0)} \left( T_{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu}\right)$ не моя, а общая. Так что плохо не для меня, а для всех.

Формула Ваша. Не отпирайтесь. Пусть даже не Вы лично её изобрели. В ОТО выражение в скобках - тождественный нуль, и появиться подобная формула для энергии в ОТО никак не могла.

SergeyGubanov в сообщении #702129 писал(а):

VladTK в сообщении #701709 писал(а):

В ЛЛ-2 как раз весь параграф 110 "Излучение гравитационных волн" построен на псевдотензоре Ландау-Лифшица.

В параграфе 110 "Излучение гравитационных волн" псевдотензор НЕ используется.

Мягко выражаясь, наглое враньё. Для вычисления потока энергии в гравитационной волне используется формула (107,12), ссылку на которую легко заметить в тексте между формулами (110,8) и (110,9). А в формуле (107,12) как раз вычисляется та компонента якобы не используемого псевдотензора, которая описывает поток энергии.

SergeyGubanov в сообщении #702129 писал(а):

Someone в сообщении #701739 писал(а):

$$\frac{\partial P^i}{\partial x^i}=0;$$

Вот эта формула правильная. А раньше вы писали нелепую формулу с двумя тензорными индексами у дифференцируемого объекта, чувствуете разницу? Равная нулю дивергенция тензора (точнее тензорной плотности) первого ранга $P^i$ означает закон сохранения заряда. В то время как аналогичная формула в которую вместо тензора (точнее тензорной плотности) первого ранга подставлен тензор (точнее тензорная плотность) второго ранга с точки зрения дифференциальной геометрии, мягко говоря, нелепа.

Вы, видимо, не имеете понятия, о чём идёт речь.

SergeyGubanov в сообщении #702129 писал(а):

Someone в сообщении #701739 писал(а):

Кроме того, ещё раз объясняю (наверное, зря, потому что понимать Вы не желаете): наблюдается потеря энергии двойного пульсара, а Ваша формула в ОТО всегда даёт нулевой поток энергии.

Формула не моя и ОТО не моя. Кстати, и вам это прекрасно известно (об этом я писал вам в личку), что тем хуже для ОТО.

Ещё раз: Ваша с Бурланковым формула никакого отношения к ОТО не имеет.

SergeyGubanov в сообщении #702129 писал(а):

Someone в сообщении #701739 писал(а):

Я понятия не имею, что Вы называете "глобально гиперболическим пространством событий". А то, что знаю я, имеет ровно столько же независимых компонент, сколько и произвольное пространство-время.

Рекомендую подумать ещё раз. Ответ не верный. Кстати, акцентироваться надо было не на том что я понимаю под глобально гиперболическим пространством событий, а на том, что такое количество независимых компонент метрического тензора. Вот, например, в пространстве событий Минковского у метрического тензора сколько независимых компонент?

К сожалению, дело именно в тех определениях, которыми пользуетесь Вы. Возможно, и независимость компонент Вы понимаете как-то не так. У пространства-времени Минковского ровно столько же независимых компонент метрического тензора, сколько и у любого другого частного решения уравнений Эйнштейна.

(Оффтоп)

SergeyGubanov в сообщении #702129 писал(а):

Someone в сообщении #701739 писал(а):

А вообще, обсуждение ТГВ в данной теме является оффтопиком, а Вы в любую тему влезаете с этой ТГВ.

Вообще-то, побсуждать ТГВ в этой ветке навострились Вы, а я здесь пишу только про ОТО. Ранее была какая-то левая ветка, не моя. Её отправили в Пургаторий (не из-за меня). Затем вы в той ветке в Пургатории написали мне вопрос. Поскольку я не могу писать в Пургаторий, то и ответа я там не написал, а написал его вам в личку. Someone, если вы хотете задать вопрос по ТГВ и вы не желаете делать это через личные сообщения, то вам придётся самому создать для этого отдельную ветку форума.

Вообще говоря, я не имею желания обсуждать ТГВ, тем более - в личных сообщениях. Хотите обсуждать на форуме - создавайте тему, которую нужно начать с краткого изложения теории. В частности, привести основные положения, полную систему уравнений и предсказываемые теорией эффекты, проверяемые на опыте. Всё равно вы регулярно в разных темах вставляете что-нибудь из ТГВ.

[schekn]

Munin в сообщении #702796 писал(а):

Это всё одна и та же метрика, записанная в разных координатах. Осознайте это, наконец. Тогда вам станет легче понимать, что вам говорят окружающие.Метрика - это функция, сопоставляющая паре точек расстояние между этими точками. В римановой геометрии - дифференциальная метрика - это метрика, сопоставляющая паре близких точек расстояние между этими точками. Про координаты тут ни слова.Плоская метрика - это плоская метрика, соответственно. Она одна (точнее, их много в глобальном смысле, но одна в дифференциальном: можно свернуть плоский лист в трубочку, и тогда это будет глобально другое пространство, но локально - такое же плоское).

Мне кажется Вы не понимаете мои недоумения. Еще мне кажется, что теоретики варятся в каких-то своих формулах и им нет дела до экспериментаторов, которые должны эти формулы корректно использовать.
И когда Вы и, особенно KVV, говорит абстрактно "плоская метрика" для экспериментатора это пустой звук, пока Вы не выпишите ее в конкретных координатах, а еще лучше покажите связь этих координат с физически измиряемыми величинами. И когда рассматривается уже конкретный эксперимент все эти абстракции должны обрести материальный облик. В частности в слабых полях ( в экспериментах в Солнечной системе) обычно определяют гравитационный эффект в сравнении с плоским пространством. Но при этом Вы должны решить задачу с помощью уравнений ОТО в каких-то конкретных координатах и при этом написать метрику Минковского тоже в каких-то вполне определенных координатах. Более того, Вы должны указать как теперь связаны начальные данные с выбранной Вами метрикой в конкретных кооринатах. Но если у Вас в первом и во- втором случае координаты никак не связаны, Вы получите любое наперед заданное число, характерезующее данный эффект. Конкретно можно рассмотреть при случае подробнее. То есть тут простор для спекуляций со стороны экспериментаторов. Это во-первых. ( я не очень сумбурно излагаю?)

Во-вторых, общековариантыми являются только сами уравнения Гильберта-Эйнштейна. Но чтобы получить конкретное решение ( конкретный вид метрики), Вам, теоретикам, необходимо добавить координатные условия. В случае задачи со сферически-симметричном телом этих условий необходимо два, согласно выводу по ЛЛ-2. Но координатные условия не могут быть ковариантными в принципе. Достаточно посмотреть на условия Фока : там стоит обычная, а не ковариантная производная.
Накладывая на решение координатные условия, Вы накладываете определённые условия на начальные данные (для Солнечной Системы это радиус Солнца, координаты планет..) . Но при этом Вы не спросили экспериментаторов, а могут ли они получить своими бюджетными средствами эти самые начальные данные, но при этом делаете далекоидущие выводы.

В-третьих. Дискуссия , причем не первая , показывает, что некоторые физические велчины можно получить в рамках ОТО, только , если вести расчет в декартовых координатах. (расчет потока энергии). И это вызывает сомнения : то ли это слабое место теории ( к чему я склоняюсь), то ли мы что-то неправильно считаем или не учитываем.

В-четвертых. Если мы вспомним , как строится приближенная теория гравитации, основанная на теории возмущения, то для островной системы берется в качестве нулевого приближения плоская метрика именно в декартовых координатах с диагональной метрикой (+1,-1,-1,-1) , затем вычисляется ТЭИ, находим решения уравнений Гильберта-Эйнштейна, получаем поправочный метрический член и так далее.
Фок показал, что его гармонические координаты ближе всего совпадают с постньютоновским приближением.

-- 29.03.2013, 22:40 --

SergeyGubanov в сообщении #703044 писал(а):

Требование разумное, только есть один ньюанс. В Ньютоновском приближении трёхмерное пространство в точности плоское, а гравитационное поле задаётся потенциалом .

В литературе сторонники ОТО получали для энергии Грав. волн разные знаки, но это их проблема,
Вы нащупали слабое звено в ОТО, но Ваши формулы я не понимаю. Например откуда взялась метрика (1).
Если Вы хотите найти здесь противоречие, Вы должны как VladTK использовать именно формулы из ОТО. То есть решать задачу в рамках ОТО. Я большинство Ваших формул не понимаю.

[Munin]

schekn в сообщении #703232 писал(а):

Мне кажется Вы не понимаете мои недоумения. Еще мне кажется, что теоретики варятся в каких-то своих формулах и им нет дела до экспериментаторов, которые должны эти формулы корректно использовать.

Всё с корректным использованием очень просто. Не надо думать, что координаты - это то, что измеряется измерительным прибором. Измерительным прибором измеряются скалярные величины, вычисленные из координат.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

И когда Вы и, особенно KVV, говорит абстрактно "плоская метрика" для экспериментатора это пустой звук, пока Вы не выпишите ее в конкретных координатах, а еще лучше покажите связь этих координат с физически измиряемыми величинами.

Понимаете, это делается:
а) банально; и, главное,
б) в любых координатах.

Можете, наконец, перестать обожествлять координаты?

schekn в сообщении #703232 писал(а):

В частности в слабых полях ( в экспериментах в Солнечной системе) обычно определяют гравитационный эффект в сравнении с плоским пространством. Но при этом Вы должны решить задачу с помощью уравнений ОТО в каких-то конкретных координатах и при этом написать метрику Минковского тоже в каких-то вполне определенных координатах.

Нет, не должны. Должны другое: сравнить слабое поле с плоским пространством. Это делается специальными средствами (введением фона). Но координаты по-прежнему остаются какими вздумается.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

Более того, Вы должны указать как теперь связаны начальные данные с выбранной Вами метрикой в конкретных кооринатах.

Опять же: начальные данные должны просто быть. А уж выписать их в координатах - дело десятое. Введём другие координаты - выпишем те же начальные данные в других конкретных координатах.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

Но если у Вас в первом и во- втором случае координаты никак не связаны, Вы получите любое наперед заданное число, характерезующее данный эффект.

Нет. Любое - не получим. Получим одно правильное.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

Во-вторых, общековариантыми являются только сами уравнения Гильберта-Эйнштейна.

Не только. Но и весь аппарат ОТО.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

Но чтобы получить конкретное решение ( конкретный вид метрики), Вам, теоретикам, необходимо добавить координатные условия.

Не конкретный вид метрики, а метрику в конкретных координатах. Ну и что? Существование решения с этими координатными условиями никак не связано.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

В случае задачи со сферически-симметричном телом этих условий необходимо два, согласно выводу по ЛЛ-2.

Координатных условий в ЛЛ-2 три.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

Накладывая на решение координатные условия, Вы накладываете определённые условия на начальные данные (для Солнечной Системы это радиус Солнца, координаты планет..) .

Неверно. У вас путаются в голове условия на само решение и условия на координаты. Именно потому, что вы пока ещё не понимаете вторичной роли координат и не умеете представлять себе ситуацию без них.

Для этого очень полезно думать о двумерной поверхности в трёхмерном пространстве - очень наглядный образ. И форма этой поверхности, и заданные на ней линии и точки - это всё существует, наплевав на координаты. И радиус Солнца, и расстояния между планетами, и углы между направлениями - это всё существует именно в бескоординатном абсолютном геометрическом виде.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

Но при этом Вы не спросили экспериментаторов, а могут ли они получить своими бюджетными средствами эти самые начальные данные, но при этом делаете далекоидущие выводы.

Данные о Солнечной системе получены: это направления от земных телескопов на планеты, расстояния до планет, их угловые радиусы, первые и вторые производные всех этих величин. Координат здесь нет ни одной.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

В-третьих. Дискуссия , причем не первая , показывает, что некоторые физические велчины можно получить в рамках ОТО, только , если вести расчет в декартовых координатах.

Да это чушь. И не сосредотачивайтесь над ней - а сосредоточьтесь на своём образовании. Когда разберётесь в основах ОТО - сами будете понимать, что это чушь.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

В-четвертых. Если мы вспомним , как строится приближенная теория гравитации, основанная на теории возмущения, то для островной системы берется в качестве нулевого приближения плоская метрика именно в декартовых координатах с диагональной метрикой (+1,-1,-1,-1)

Можно всё это делать не в декартовых координатах. Просто зачем? Плоская метрика - будет плоской в любых координатах.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

Фок показал, что его гармонические координаты ближе всего совпадают с постньютоновским приближением.

Координаты не могут совпадать с бескоординатным приближением в принципе.

schekn в сообщении #703232 писал(а):

Вы нащупали слабое звено в ОТО

Три "ха-ха".

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #703193 писал(а):

Мягко выражаясь, наглое враньё. Для вычисления потока энергии в гравитационной волне используется формула (107,12), ссылку на которую легко заметить в тексте между формулами (110,8) и (110,9). А в формуле (107,12) как раз вычисляется та компонента якобы не используемого псевдотензора, которая описывает поток энергии.

Ах, ёшкин кот. Это не наглое враньё, это недоразумение. В какое ж незавидное положение я попал. Я-то ж знаю, что псевдотензор для вывода формулы потери энергии не нужен (ммм, примерно два с половиной способа). Поглядев параграф 110 по диагонали я не увидел псевдотензора в нём и решил, что Ландау-Лифшиц тоже обходятся без него. А они оказывается ссылаются на (107.12). Правда там любопытная сносочка внизу есть, что мол тензор (110.8) не удовлетворяет условиям, при которых была выведена (107.12), но мол, ничего страшного, использовать (107.12) всё равно можно . Короче, для вывода формулы потери энергии псевдотензор не нужен, а то что Ландавшиц его использовал пусть останется на его совести. Чтобы не быть голословным покажу несколько формул...

Пусть, значит, есть система сделанная из обычной материи с тензором энергии импульса $T_{\mu \nu}$. Она как-то там кувыркается, излучает волны гравитационные, энергия $E$ этой системы из-за этого зависит от времени. Надо найти чему равно $\frac{dE}{dt}$.

Ведём векторнозначную 1-форму:

$$P_{\mu} = T_{\mu \nu} \, dx^{\nu} \eqno(1)$$

дуальная ей векторнозначная 3-форма:

$$\star P_{\mu} = T_{\mu \nu} g^{\nu \alpha} \, \frac{1}{3!} \varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta} \, dx^{\beta} \wedge dx^{\gamma} \wedge dx^{\delta}, \quad \varepsilon_{0123} = \sqrt{-g} \eqno(2)$$

Энергия зависит от системы отсчёта. Фиксируем систему отсчёта, вот она: $e^{\mu}_{(a)}$. Для краткости времениподобный вектор $e^{\mu}_{(0)}$ обозначим $\tau^{\mu}$. В выбранной системе отсчёта энергия равна следующему интегралу:

$$E = \int \tau^{\mu} \, \star P_{\mu} \eqno(3)$$

Энергия сохраняется если $\tau^{\mu}$ вектор Киллинга ($\nabla_{\mu} \tau_{\nu} + \nabla_{\nu} \tau_{\mu} = 0$), что демонстрируется следующими выкладками:

$$ \int\frac{dE}{dt} dt = \oint \tau^{\mu} \, \star P_{\mu} = \int \nabla_{\mu} \left( T^{\mu \nu} \tau_{\nu}\right) \sqrt{-g} \, d_4 x = \frac{1}{2} \int T^{\mu \nu} \left( \nabla_{\mu} \tau_{\nu} + \nabla_{\nu} \tau_{\mu} \right) \sqrt{-g} \, d_4 x = 0 \eqno(4)$$

Чтобы вычисление $\frac{dE}{dt}$ напрямую дало потерю энергии связанную именно с гравитационными волнами надо считать, что в отсутствии этих волн энергия сохраняется $\frac{dE}{dt} = 0$, то есть $\tau^{\mu}$ вектор Киллинга исходного гравитационного поля $g_{\mu \nu}$ без гравитационной волны.

Пусть теперь на фоне $g_{\mu \nu}$ пробежала слабенькая гравитационная волна $h_{\mu \nu}$

$$g'_{\mu \nu} = g_{\mu \nu} + h_{\mu \nu} \eqno(5)$$

Вектор $\tau^{\mu}$ был вектором Киллинга для метрики $g_{\mu \nu}$, а для метрики $g'_{\mu \nu}$ он никакой не вектор Киллинга:

$$\nabla'_{\mu} \tau_{\nu} + \nabla'_{\nu} \tau_{\mu} = \partial_{\mu} \tau_{\nu} + \partial_{\nu} \tau_{\mu} - 2 \Gamma'^{\alpha}_{\mu \nu} \tau_{\alpha} \ne 0 \eqno(6)$$

Ну, что, пусть фоновая метрика была метрикой Минковского, тогда $\tau^{\mu} = (1, 0, 0, 0)$

$$\nabla'_{\mu} \tau_{\nu} + \nabla'_{\nu} \tau_{\mu} = - 2 \Gamma'^{0}_{\mu \nu} \eqno(7)$$

$$\Gamma'^{0}_{\mu \nu} \approx \frac{1}{2 c} \dot h_{\mu \nu} \eqno(8)$$

Подставляем это дело в формулу (4), в которой заменяем $d_4 x$ на $d_3 x \, c dt$ получаем:

$$\int \frac{dE}{dt} dt \approx \frac{1}{2c} \int T^{\mu \nu} \dot h_{\mu \nu} \, \sqrt{-g} \, d_3 x \, c dt\eqno(9)$$

значит:

$$\frac{dE}{dt} \approx \frac{1}{2} \int T^{\mu \nu} \dot h_{\mu \nu} \, \sqrt{-g} \, d_3 x\eqno(10)$$

Ну вот почти что и всё, дальше я на словах опишу ибо очень утомительно. Теперь вместо $T^{\mu \nu}$ в формулу (10) надо подставить левую часть линеаризованных уравнений Эйнштена и аккуратно просуммировать по всем поляризациям гравитационной волны. Правая часть формулы (10) распадётся на два члена: первый в виде производной по времени от интеграла по 3D-объёму, а второй в виде интеграла по 2D-поверхности. Первым можно пренебречь (энергия $E$ много больше). За гравитационную волну отвечает второй член.

-- 30.03.2013, 02:10 --

Someone в сообщении #703193 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #702129 писал(а):

$\varepsilon = e^{\mu}_{(0)} e^{\nu}_{(0)} \left( T_{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu}\right)$

В ОТО выражение в скобках - тождественный нуль, и появиться подобная формула для энергии в ОТО никак не могла.

Вам придётся с этой формулой смириться . У вас просто нет выбора. Никакого другого определения плотности энергии нет.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #703308 писал(а):

Someone в сообщении #703193 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #702129 писал(а):

$\varepsilon = e^{\mu}_{(0)} e^{\nu}_{(0)} \left( T_{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu}\right)$

В ОТО выражение в скобках - тождественный нуль, и появиться подобная формула для энергии в ОТО никак не могла.

Вам придётся с этой формулой смириться . У вас просто нет выбора. Никакого другого определения плотности энергии нет.

О ужас.

[VladTK]

KVV в сообщении #702170 писал(а):

Хорошо. Черт с ней, с ОТО. В ЛЛ2 п.32 авторы приводят интеграл для 4-импульса в СТО:

$$P^i=\frac 1c\int\ T^{ik}dS_k\eqno(32.6)$$

В пространстве Минковского эта формула тоже нелепа?

SergeyGubanov в сообщении #702195 писал(а):

Детсадовский вопрос . В пространстве Минковского такие чудеса возможны. Только придётся ограничиться декартовой системой координат. Из преобразований координат оставить лишь трансляции, трёхмерные вращения и Лоренцевские бусты. Тогда эта формула будет иметь смысл сохранения 4-импульса. Попытка перейти в криволинейную систему координат эту формулу разрушит.

По этому вопросу нельзя не упомянуть определение сохраняющихся величин, предложенное нашим великим физиком-теоретиком Владимиром Александровичем Фоком. Это определение само напрашивается при взгляде на вывод законов сохранения в параграфе 94 из ЛЛ-2. Там получена формула для локального "закона сохранения" в произвольной системе координат

$$ D_{\nu} T^{\mu \nu}=0 $$

где $D_{\nu}$ - ковариантная производная. Свернем это уравнение с некоторым вектором $a_{\mu}$

$$ a_{\mu} D_{\nu} T^{\mu \nu}=0 $$

Переставив индексы можно записать равнозначное уравнение

$$ a_{\nu} D_{\mu} T^{\mu \nu}=0 $$

Сложим эти два уравнения

$$ a_{\mu} D_{\nu} T^{\mu \nu}+a_{\nu} D_{\mu} T^{\mu \nu}=0 $$

и используем правило Лейбница для ковариантных производных

$$ D_{\mu} (a_{\nu} T^{\mu \nu})+D_{\nu} (a_{\mu} T^{\mu \nu})- T^{\mu \nu} (D_{\nu} a_{\mu} + D_{\mu} a_{\nu}) =0 $$

Если выбранное нами векторное поле $a_{\mu}$ удовлетворяет уравнениям Киллинга (т.е. является Киллинговым вектором пространства-времени)

$$ D_{\nu} a_{\mu} + D_{\mu} a_{\nu}=0 $$

то предыдущее уравнение переписывается в виде

$$ D_{\nu} (a_{\mu} T^{\mu \nu}) =0 $$

т.е. имеет вид обычной дивергенции

$$ \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\nu} (\sqrt{-g} a_{\mu} T^{\mu \nu}) =0 $$

Проинтегрируем это выражение по 4-объему и используем теорему Гаусса

$$ \int D_{\nu} (a_{\mu} T^{\mu \nu}) d \Omega = \oint a_{\mu} T^{\mu \nu} \sqrt{-g} dS_{\nu} = 0 $$

Интегрирование в левой части выполняется по объему гиперцилиндра, изображенного на рис.1 в лекциях Петрова http://www.astronet.ru/db/msg/1170672/node3.html, а в правой по поверхности гиперцилиндра. Выделив, подобно тому как это сделано у Петрова, две времениподобные поверхности (основания гиперцилиндра) и его пространственноподобную боковую поверхность, получим

$$ \int_{\Sigma_1} a_{\mu} T^{\mu 0} \sqrt{-g} dS_{0} -\int_{\Sigma_0} a_{\mu} T^{\mu 0} \sqrt{-g} dS_{0} + \oint_S a_{\mu} T^{\mu \nu} \sqrt{-g} dS_{\nu} = 0 $$

что допускает корректное определение интегральной сохраняющейся величины

$$ P=\frac{1}{c} \int a_{\mu} T^{\mu 0} dV $$

Из вывода ясно, что величина $P$ является общековариантным скаляром. Также понятно, что таких величин может быть столько же сколько имеется в пространстве-времени линейно независимых Киллинговых векторных полей. Для пространства-времени Минковского известно 10 таких Киллинговых векторных полей, т.е. как раз столько сколько нужно для всех сохраняющихся величин. Для произвольного Риманового пространства-времени Киллинговых векторных полей может не быть вообще, или их количество меньше 10, что и соответствует отсутствию всех законов сохранения в таком пространстве-времени.

Общее решение уравнений Киллинга для пространства-времени Минковского в декартовых координатах имеет вид

$$ a_{\mu} = d_{\mu} + c_{\mu \nu} x^{\nu} $$

где $d_{\mu}$ - произвольный вектор с постоянными компонентами, а $c_{\mu \nu}=-c_{\nu \mu}$ - произвольный антисимметричный тензор с постоянными компонентами. Линейно независимые Киллинговы поля имеют вид: 4 постоянных векторных поля (прединдекс $\nu$ в данном случае нумерует вектора, а не является координатным индексом)

$$ {}^{\nu} a_{\mu} = \delta_{\mu}^{\nu} $$

где $\delta_{\mu}^{\nu}$ - символ Кроннекера; 6 переменных векторных полей из которых я выпишу только одно

$$ {}^{5} a_{\mu} = \begin{pmatrix} x^1\\ -x^0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} $$

Из сравнения определений сохраняющихся величин у Фока и в декартовых координатах СТО следует, что первые 4 величины совпадают с компонентами 4-вектора энергии-импульса

$$ {}^{\nu} P=\frac{1}{c} \int {}^{\nu}a_{\mu} T^{\mu 0} dV $$

а остальные 6

$$ {}^{5} P=\frac{1}{c} \int {}^{5} a_{\mu} T^{\mu 0} dV = \frac{1}{c} \int (x^{1} T^{0 0} - x^{0} T^{1 0}) dV $$

...
с компонентами 4-тензора момента импульса.

Таким образом, данное Фоком определение сохраняющихся величин дает возможность определять их в любой системе координат. Вместе с тем есть и сеьезные вопросы к такому определению. Во-первых, физический смысл энергии-импульса Фоковских сохраняющихся величин. Этот смысл не совсем тот которому учат всех в школе. Во-вторых, мне не ясно как первые четыре скаляра (или 6 оставшихся скаляров) образуют 4-вектор относительно координатных преобразований группы Пуанкаре (и соответственно образуют 4-тензор).

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #703308 писал(а):

Ах, ёшкин кот. Это не наглое враньё, это недоразумение. В какое ж незавидное положение я попал. Я-то ж знаю, что псевдотензор для вывода формулы потери энергии не нужен (ммм, примерно два с половиной способа). Поглядев параграф 110 по диагонали я не увидел псевдотензора в нём и решил, что Ландау-Лифшиц тоже обходятся без него. А они оказывается ссылаются на (107.12). Правда там любопытная сносочка внизу есть, что мол тензор (110.8) не удовлетворяет условиям, при которых была выведена (107.12), но мол, ничего страшного, использовать (107.12) всё равно можно .

Извините, но теперь Вы снова нагло врёте, причём, на недоразумение уже списать нельзя. Там не сказано "ничего страшного, использовать (107.12) всё равно можно", и наглой ухмылки тоже нет. Вот текст того примечания.

ЛЛ2 в § 110 писал(а):

Тензор (110,8) не удовлетворяет тем условиям, при которых была выведена формула (107,12). Однако преобразование системы отсчёта, приводящее $h_{ik}$ к требуемой калибровке, не затрагивает значений используемых здесь компонент (110,9).

Как все могут увидеть, смысл здесь другой: требуемую калибровку можно получить, не изменяя значений нужных компонент, поэтому фактически её можно и не делать.

SergeyGubanov в сообщении #703308 писал(а):

Короче, для вывода формулы потери энергии псевдотензор не нужен, а то что Ландавшиц его использовал пусть останется на его совести.

Видите ли, вывод, продемонстрированный в ЛЛ2, очень важен. Теперь, обнаружив, что система двойного пульсара теряет ровно столько энергии, сколько её уносят гравитационные волны, мы можем заключить, что, во-первых, использованное выражение для энергии является правильным, и, во-вторых, что эта энергия не исчезает неизвестно куда, а её уносят именно гравитационные волны. Тем более, что в подгонке Ландау и Лифшица обвинить нельзя: учебник был написан задолго до открытия двойного пульсара.
Вывод, не использующий выражения для энергии гравитационных волн, недостаточен для такого заключения.

(Оффтоп)

SergeyGubanov в сообщении #703308 писал(а):

Вам придётся с этой формулой смириться . У вас просто нет выбора. Никакого другого определения плотности энергии нет.

Видите ли, мне глубоко начхать на Ваше с Бурланковым личное мнение по поводу ОТО. Мне только жаль, что Вы встретились с ним в возрасте, когда знали слишком мало, чтобы отличить правду от вранья, а теперь Ваша голова забита этим враньём. Как Бурланков был готов на любую ложь, чтобы опубликовать свою ТГВ в УФН (а этот журнал не предназначен для публикации результатов оригинальных исследований), так и Вы, видимо, следуете его примеру, считая его героем, хотя с моей точки зрения эта история выглядит мерзкой.

SergeyGubanov в сообщении #656357 писал(а):

Шимпанзе в сообщении #655923 писал(а):

Someone в сообщении #655832 писал(а):

Она "инерциальна в смысле SergeyGubanov", но не инерциальна в общепринятом смысле.

Первым о «глобальном времени и глобальной инерциальной системе» писал Д. Е. Бурланков , кандидат физико-математических наук, доцент Нижегородского государственного университета .

Любопытный доцент, в свое время редколлегия УФН приносила извинения читателям за публикацию статьи Д.Е. Бурланкова. Ему удалось обмануть всех, даже к Норвегии обратились за помощью , та помогла выявить обман .

Дмитрий Евгеньевич Бурланков мой университетский научный руководитель. Все идеи его. Моё лишь изложение.

Бурланков единственный кому удалось опубликовать свою теорию гравитации в УФН. Задача была архи нетривиальной. Настоящая mission impossible. Он решил её на столько изящно, что даже я поверил в реальность Нильса Бъёрна. Потом было и смешно и немножко обидно одновременно.

[Munin]

Someone в сообщении #703422 писал(а):

Тем более, что в подгонке Ландау и Лифшица обвинить нельзя: учебник был написан задолго до открытия двойного пульсара.

Ещё даже, насколько я знаю, до высказывания "фейнмановского аргумента", в те времена, когда сам вопрос о том, переносят ли гравитационные волны энергию, был дискуссионным и невыясненным. Впрочем, тут мы снова упираемся в недоступность ранних изданий ЛЛ-2.

[Someone]

Munin в сообщении #703449 писал(а):

Впрочем, тут мы снова упираемся в недоступность ранних изданий ЛЛ-2.

У меня шестое издание, вышедшее в 1973 году, "исправленное и дополненное". Двойной пульсар PSR B1913+16 (он же PSR J1915+1606 и PSR 1913+16) был открыт в 1974 году. Первое сообщение об излучении гравитационных волн этим пульсаром появилось, видимо, в 1981 году (http://en.wikipedia.org/wiki/PSR_B1913%2B16).

[Munin]

Someone в сообщении #703488 писал(а):

У меня шестое издание, вышедшее в 1973 году, "исправленное и дополненное".

У всех оно. А вот у меня было на бумаге 5-е, вот оно было существенно меньше - особенно на последние главы. Но куда-то посеял.

Someone в сообщении #703488 писал(а):

Двойной пульсар PSR B1913+16 (он же PSR J1915+1606 и PSR 1913+16) был открыт в 1974 году. Первое сообщение об излучении гравитационных волн этим пульсаром появилось, видимо, в 1981 году

Собственно, его наблюдать на этот предмет стали сразу же, а в 81-м, видимо, результатов накопилось достаточно, чтобы их выкатить.

Но "фейнмановский аргумент" был высказан не позже чем "Фейнмановские лекции по гравитации", где-то 70-е.

[SergeyGubanov]

VladTK в сообщении #703372 писал(а):

По этому вопросу нельзя не упомянуть определение сохраняющихся величин, предложенное нашим великим физиком-теоретиком Владимиром Александровичем Фоком.

Всё верно, других определений нет, у меня тоже самое, только я на языке дифференциальных форм пишу. В моих конспектах лекций Бурланкова по ОТО тоже самое. Если учесть, что Бурланков из Ленинграда и учился у Фока, и то что яблоко от яблони...

Someone в сообщении #703422 писал(а):

использованное выражение для энергии является правильным

Это вы говорите после того как я написал формулы не нуждающиеся в таком объекте альтернативной математики как псевдотензор?.. Кстати, второй способ вывода формулы для потери энергии, который я знаю, как раз основан на потоке энергии гравитационного поля через поверхность. Вывод повторяет вывод ЛЛ2 за исключением отсылки к формуле (107.12) полученной методами нетрадиционной математики. Вы, кстати, случайно не нетрадиционный математик? Вместо ссылки на формулу ЛЛ2 (107.12) надо сослаться на формулу (7.29) из другой этой книги: http://shop.rcd.ru/details/1001 параграф 4.9 Гравитационный поток. Там выведена формула для потока энергии гравитационного поля через двумерную поверхность, разумеется без использования псевдотензора. А вообще формула для потери энергии была получена Эйнштейном в 1918 году, так что ЛЛ2 со своим псевтотензором там не при чём с самого начала.

(Оффтоп)

Someone в сообщении #703422 писал(а):

Мне только жаль, что Вы встретились с ним в возрасте, когда знали слишком мало, чтобы отличить правду от вранья

А вы, как бы, вообще кто такой? Анонимный нетрадиционный математик восхваляющий псевдотензор, который нарушает элементарные основы дифференциальной геометрии, кто вы такой чтобы писать такое мне?

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #703586 писал(а):

Анонимный нетрадиционный математик восхваляющий псевдотензор, который нарушает элементарные основы дифференциальной геометрии, кто вы такой чтобы писать такое мне?

Вообще-то это Фок (и Бурланков) нарушают элементарные основы дифференциальной геометрии...