закон Архимеда

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043910 писал(а):

мне непонятно, что она доказывает

Она доказывает, что задача о плаванье тела и задача о теле с плотностью $\rho=\nabla p/g$ в поле тяжести эквивалентны, если $p$ зависит только от $z$. Тогда мы, вроде как, можем приложить равнодействующую выталкивающей к "центру тяжести" тела с плотностью $\rho$ по тем же соображениям, по которым равнодействующую силы тяжести можно приложить к центру масс. Дальше начинает работать механизм метацентра, и, вроде, сразу получается, что ситуация (А) (грань куба горизонтальна) устойчива, а (B) (диагональ горизонтальна) - нет.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1043914 писал(а):

Это не дифуры гидродинамики:
Oleg Zubelevich в сообщении #1043497

писал(а):
Со стороны жидкости на покоящийся брусок действует сила

а вы сперва пост до конца прочитайте.

amon в сообщении #1043918 писал(а):

Она доказывает, что задача о плаванье тела и задача о теле с плотностью $\rho=\nabla p/g$ в поле тяжести эквивалентны, если $p$ зависит только от $z$. Т

В статике -- да. А задача устойчивости это задача динамики, а не статики.

amon в сообщении #1043918 писал(а):

Дальше начинает работать механизм метацентра, и, вроде, сразу получается, что ситуация (А) (грань куба горизонтальна) устойчива, а (B) (диагональ горизонтальна) - нет.

"Механизм метацентра" это очень расплывчато. Этот механизм должен превратиться в теорему об устойчивости с доказательством. С четким описанием используемой модели.

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043925 писал(а):

задача устойчивости это задача динамики, а не статики.

В данном случае можно свести к задаче статики. Чуть повернем тело относительно положения равновесия и решим задачу статики. Если возникший момент сил или сила направлены так, что они возвращает его к положению равновесия, то равновесие устойчиво. На практике это означает (для плавающих тел), что если точка пересечения "новой вертикали", проведенной через новый центр плавучести, и "старой вертикали" находится выше центра тяжести, то равновесие устойчиво. Эта точка (метацентр) - точка подвеса маятника, которому эквивалентна система в случае малых колебаний. Могу и врать, поскольку все по воспоминаниям, ссылку сходу не помню. Доеду до книжек - попробую поискать, может извиняться придется.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043925 писал(а):

а вы сперва пост до конца прочитайте.

Прочитал. Вы используете закон сопротивления для случая, в котором он непригоден. И забываете про кучу других гидродинамических эффектов, существенных в данном случае (присоединённая масса, расходящиеся волны).

-- 10.08.2015 15:59:29 --

amon в сообщении #1043942 писал(а):

Чуть повернем тело относительно положения равновесия и решим задачу статики. Если возникший момент сил или сила направлены так, что они возвращает его к положению равновесия, то равновесие устойчиво.

Боюсь, это-таки не доказательство. Возможно, что в динамическом случае здесь будет неустойчивость, хотя представляю себе это очень смутно. (Может, рисование фазовой диаграммы поможет...).

[amon]

Munin в сообщении #1043949 писал(а):

Боюсь, это-таки не доказательство. Возможно, что в динамическом случае здесь будет неустойчивость

Не доказательство ни разу, но устойчивость кораблей так считают, значит где-то есть и настоящее доказательство.

[Munin]

amon в сообщении #1043958 писал(а):

но устойчивость кораблей так считают

Тут надо обсуждать характерные времена. Что позволено Юпитеру (для кораблей), то может не работать на других масштабах (для пробки на воде, для аэростата многокилометрового размера в атмосфере, ну скажем, Юпитера... :-)

amon в сообщении #1043958 писал(а):

значит где-то есть и настоящее доказательство.

Отнюдь не факт. Техника от науки отличается тем, что там часто приходится принимать решения и использовать какие-то методы, даже когда они не обоснованы и не доказаны полностью и строго. Решения временные, "на пальцах", найденные наощупь методом проб и ошибок, закреплённые традицией - вполне имеют право на жизнь, и часто используются. Очень яркий случай такого рода - медицина: когда панацеи не существует, а лечить всё равно как-то надо, то сгодится очень многое.

Да, а опровергающий фазовый портрет в двух измерениях нарисовать может даже студент. Одно только, что он будет не первой степени...

[amon]

Хорошо, что бы не путаться, назовем это

amon в сообщении #1043942 писал(а):

Если возникший момент сил или сила направлены так, что они возвращает его к положению равновесия

условием статической устойчивости. Тривиальное утверждение: если положение равновесия статически не устойчиво, то оно неустойчиво по Ляпунову. Тем не менее, для бруска квадратного сечения из моих крестьянских рассуждений следует, что устойчивое положение - грань горизонтальна. Доказательство ;)
1. Тело должно иметь хоть одно устойчивое или безразличное положение равновесия ;) .
2. Для квадратного бруска всего два кандидата - "диагональ горизонтальна" и "грань горизонтальна".
3. Положение "диагональ горизонтальна" статически неустойчиво.
4. Значит положение "грань горизонтальна" устойчиво.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1043949 писал(а):

Вы используете закон сопротивления для случая, в котором он непригоден.

А откуда така категоричность? я читал статьи в которых такие модели используются.

UPD

Munin в сообщении #1043949 писал(а):

И забываете про кучу других гидродинамических эффектов, существенных в данном случае (присоединённая масса, расходящиеся волны).

а потом вы забываете что речь идет о движениях с малой скоростью в окрестности положения равновесия

[Geen]

Сделаем замену $A=a\sin\varphi$ и $B=b\cos\varphi$.
Суммарный приведённый момент:

$$\begin{array} &\mu=\frac{M_a+M_b}{4 p_0 \lambda^2}=\sh A\sh B\left(\frac{1}{\sin^2\varphi}-\frac{1}{\cos^2\varphi}\right)-\frac{A}{\sin^2\varphi}\ch A\sh B+\frac{B}{\cos^2\varphi}\ch B\sh A= \\ &=\frac{\sh B}{\sin^2\varphi}(\sh A-A\ch A)-\frac{\sh A}{\cos^2\varphi}(\sh B-B\ch B)\end{array}$$

Если угол мал (грань $a$ почти горизонтальна), то

$$\mu\approx\frac{-1}{3}(a^3\sh b + 3a\sh b-3a b\ch b)\varphi$$

Это значит, что равновесие устойчивое если

$$a>\sqrt{3}\sqrt{\frac{b\ch b}{\sh b}-1}$$

При малых $b$ (по отношению к $\lambda=g/c$) это просто $b$, при больших - $\sqrt{3b}$.

[Oleg Zubelevich]

amon в сообщении #1043967 писал(а):

Тривиальное утверждение: если положение равновесия статически не устойчиво, то оно неустойчиво по Ляпунову.

контрпример: topic99405.html

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043986 писал(а):

контрпример

Да, лоханулся. Тогда с добавкой "и в задаче отсутствуют силы, зависящие от скорости".

[Geen]

Вообще, в случае достаточно большого тела "будет работать" только его нижняя часть на глубине порядка $\lambda=g/c$ - поэтому "динамика" его будет аналогична "обычному бревну", погружённому в "обычную воду".

[amon]

Geen в сообщении #1044017 писал(а):

"динамика" его будет аналогична "обычному бревну", погружённому в "обычную воду".

Дык и я о том же.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043977 писал(а):

А откуда така категоричность? я читал статьи в которых такие модели используются.

Ну вы же сами понимаете, что это ещё ни о чём не говорит :-)
Категоричность... ну подумайте сами, если бы вы решали полноценную гидродинамическую задачу, то какие бы процессы там имели место?

amon в сообщении #1043967 писал(а):

Тривиальное утверждение: если положение равновесия статически не устойчиво, то оно неустойчиво по Ляпунову.

Однако обратное не должно быть верным :-)

amon в сообщении #1043967 писал(а):

2. Для квадратного бруска всего два кандидата - "диагональ горизонтальна" и "грань горизонтальна".

А вот не факт, а вот не факт...

Oleg Zubelevich в сообщении #1043977 писал(а):

а потом вы забываете что речь идет о движениях с малой скоростью в окрестности положения равновесия

С насколько малой? Где анализ? Вы заявляете что-то с потолка, в физике так не годится.

amon в сообщении #1044004 писал(а):

Тогда с добавкой "и в задаче отсутствуют силы, зависящие от скорости".

А в гидродинамике они что? прису-у-утствуют :-)

Geen в сообщении #1044017 писал(а):

поэтому "динамика" его будет аналогична "обычному бревну", погружённому в "обычную воду".

...которое, в свою очередь, далеко не обычное...

[amon]

Munin в сообщении #1044104 писал(а):

А вот не факт, а вот не факт...

IMHO - факт. Центр тяжести квадрата - пересечение диагоналей, центр плавучести смещен в сторону самой глубоко погруженной части. Значит самая глубоко погруженная часть должна быть под центром квадрата. Опровергайте ;)