2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение11.08.2015, 01:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2698
Red_Herring в сообщении #1044181 писал(а):
А вот с 3D бруском дело обстоит сложнее

Почему? Всё то же соображение - все силы "Архимеда" (для достаточно большого бруска) сосредоточены только в его нижней части - эквивалентно плаванию на поверхности обычной жидкости. Могут меняться только точные соотношения длин рёбер при которых теряется устойчивость - качествено будет тоже самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение11.08.2015, 02:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9697
Hogtown
Geen в сообщении #1044196 писал(а):
Почему?

Потому что это решение в принципе, а нам хочется просто решение. Даже для куба есть не два, а три симметричных положений равновесия. Плюс вырожденность из-за вращений вокруг вертикальной оси

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение11.08.2015, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9245
В общем, я тут почертил синусов да игреков и получил следующее решение. Если прямоугольник шире чем выше, то положение шириной вширь устойчиво. Если прямоугольник слегка уже чем выше, то положение шириной в небеси устойчиво. Если прямоугольник уже чем выше на некую трансцендентную числу, то его перевернёт шириной вширь. Бубновый квадрат неустойчив.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение11.08.2015, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9245
Да, я традиционно мог ошибиться в арифметике. Поэтому вот формула для сверки:
$$a > 2\sqrt {3b} \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{{e^b  - 1}} - \frac{1}{b}} $$
где $a$ - горизонтальней, чем вертикальней, а $b$ - вертикальней, чем горизонтальней. И обе они выражены в таких единицах, чтобы было $p = e^{ - z} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение11.08.2015, 23:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2698
Утундрий в сообщении #1044691 писал(а):
Да, я традиционно мог ошибиться в арифметике. Поэтому вот формула для сверки:
$$a > 2\sqrt {3b} \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{{e^b  - 1}} - \frac{1}{b}} $$
где $a$ - горизонтальней, чем вертикальней, а $b$ - вертикальней, чем горизонтальней. И обе они выражены в таких единицах, чтобы было $p = e^{ - z} $.

Что-то не то, кажется - если прямоугольник маленький, он, по идее, должен всегда ложиться на длинную сторону...

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение12.08.2015, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9697
Hogtown
Утундрий
Т.е. при $b \le a < a_*$ вертикальное и горизонтальное положение устойчивы и между ними имеется неустойчивое наклонное, а вот при $a>a_*$ уже наклонного просто нет и горизонтальное устойчиво, а вертикальное —нет. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение12.08.2015, 00:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2698
Red_Herring в сообщении #1044706 писал(а):
Утундрий
Т.е. при $b \le a < a_*$ вертикальное и горизонтальное положение устойчивы и между ними имеется неустойчивое наклонное, а вот при $a>a_*$ уже наклонного просто нет и горизонтальное устойчиво, а вертикальное —нет. Так?

Нет. При больших размерах короткая сторона может быть устойчивой (за счёт того, что "работает" только малая нижняя часть боковых граней)

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение12.08.2015, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9697
Hogtown
Geen в сообщении #1044713 писал(а):
Нет. При больших размерах короткая сторона может быть устойчивой (за счёт того, что "работает" только малая нижняя часть боковых граней)

Я спрашивал Утундрий, который считал

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение12.08.2015, 06:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9245
Geen в сообщении #1044704 писал(а):
если прямоугольник маленький, он, по идее, должен всегда ложиться на длинную сторону...

Так и есть. Возможно, слишком витиевато сказонул... $a$ - это просто горизонтальный размер.

То есть, пока прямоугольник не слишком вытянут, у него два положения равновесия. Для более вытянутых - одно, горизонтальное. Наклонные (кроме квадрата) пока не смотрел.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение12.08.2015, 07:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9697
Hogtown
Утундрий в сообщении #1044739 писал(а):
у него два положения равновесия

2 положения устойчивого равновесия и 1 неустойчивого, а когда очень вытянут, то 1 и 1

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение12.08.2015, 08:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9245
Red_Herring в сообщении #1044744 писал(а):
2 положения устойчивого равновесия и 1 неустойчивого

Это вряд ли, учитывая что фазовое пространство системы - окружность. Неустойчивых положений должно быть тоже два.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение12.08.2015, 08:29 


10/02/11
6786
Даже линиаризованные в окрестности положения равновесия уравнения движения -- это система на угол поворота и глубину погружения. Ну никак одной степени свободы не получается. И совершенно неочевидно, что для исследования устойчивости достаточно только рассматривать возмущения угла и не рассматривать возмущения глубины погружения.

-- Ср авг 12, 2015 09:11:02 --

можно такую постановку представить: брусок гвоздиком приколотили за центр где-то в толще жидкости и он крутится вокруг центра без трения о гвоздик. тогда еще куда не шло

-- Ср авг 12, 2015 09:13:47 --

а в общем случае можно представить себе такую ситуацию: при малом возмущении угла, брусок погрузится на немалую глубину, а от этого в нем уже все эти ваши метацентры существенно сместятся и поведение системы даже относительно угла поворота изменится

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение12.08.2015, 09:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9245
Oleg Zubelevich в сообщении #1044748 писал(а):
система на угол поворота и глубину погружения

Глубина погружения, конечно, изменяется. Но это явление всего лишь масштабирует момент и не меняет его знака.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение12.08.2015, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9697
Hogtown
Утундрий в сообщении #1044747 писал(а):
Red_Herring в сообщении #1044744 писал(а):
2 положения устойчивого равновесия и 1 неустойчивого

Это вряд ли, учитывая что фазовое пространство системы - окружность. Неустойчивых положений должно быть тоже два.

Я не различал симметричных (иначе все удваивается).

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение12.08.2015, 09:45 


10/02/11
6786
Утундрий в сообщении #1044753 писал(а):
Глубина погружения, конечно, изменяется. Но это явление всего лишь масштабирует момент и не меняет его знака.

вот я беру линеризованное уравнение кинетического момента$$J_S\ddot\Phi\boldsymbol e_x=\frac{\partial \boldsymbol M_S(\phi_*,z_*)}{\partial \phi}\Phi+\frac{\partial \boldsymbol M_S(\phi_*,z_*)}{\partial z}Z$$
($Z,\Phi$ -- возмущения высоты и угла соответственно около положения равновесия $z_*,\phi_*$.)

В этих терминах, Ваше рассуждение выглядит так: если $\frac{\partial  M_S(\phi_*,z_*)}{\partial \phi}<0$ то равновесие устойчиво,
если $\frac{\partial  M_S(\phi_*,z_*)}{\partial \phi}>0$ то неустойчиво.
Это было бы верно, если бы не было еще одного слагаемого

-- Ср авг 12, 2015 09:51:50 --

при этом $\frac{\partial \boldsymbol M_S(\phi_*,z_*)}{\partial z}=0$

Все! согласен, из моих уравнений следует тоже самое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 104 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group