закон Архимеда

[Утундрий]

Пардон, а зачем здесь численный эксперимент? Интегралы от $x^n e^{ - x}$ прекрасно берутся безо всякого численного эксперимента.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1043702 писал(а):

$x^n a^{ - x}$ прекрасно берутся безо всякого численного эксперимента.

Безусловно. Но там возникает ур-е

[Утундрий]

А, так это построение графика явно заданной функции было обозвано "численным экспериментом"...

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1043719 писал(а):

А, так это построение графика явно заданной функции было обозвано "численным экспериментом"...

Я численных экспериментов не производил, а что другие под этим понимают мне неведомо

[Утундрий]

По сути, достаточно посчитать силу и момент, действующие на наклонный под некоторым углом к горизонтали (вертикали) отрезок. Момент считать удобней относительно нижнего конца отрезка. Всё это даст нам точку (на отрезке) приложения силы. Применительно к прямоугольнику, параллельные стороны будут нагружены известно как отмноженными силами, приложенными на оду и ту самую плечу́ (относительно уже центра прямоугольника). Сие позволит сравнить моменты сравненьем сил. И тако же для второй пары параллельных сторон. В результате сложения и перемножения выкристаллизуется некая аналитическая зависимость Мэ от Фи, которую и правда быстрей всего отрисовать комьпютеризированно. Вольфраминой там какой или чем-то подобным. И уже по отрисовыванию визуально лицезреть количеств равновесий (как пересечений нуля) и трактовать их в смысле устойчивости, смотря из откуда в куда пересекает оная вышеупомянутую.

[Geen]

Пусть давление меняется по формуле $p=p_0 e^{-z/\lambda}$
Рассмотрим плоскую грань длины $2a\lambda$ под углом $\varphi$ к горизонту.
Тогда (считая что $p_0$ давление у центра грани) получим:

$$F=\frac{p_0\lambda}{\sin\varphi}\left(e^{a\sin\varphi}-e^{-a\sin\varphi}\right)=2\frac{p_0\lambda}{\sin\varphi}\sh(a\sin\varphi)$$

$$M=2\frac{p_0\lambda^2}{\sin\varphi}\left(\frac{1}{\sin\varphi}\sh(a\sin\varphi)-a\ch(a\sin\varphi)\right)$$

$$L=\frac{M}{F}=\frac{\lambda}{\sin\varphi}-a\lambda\cth(a\sin\varphi)$$

Для пары граней, разнесённых "по нормали" на $2b\lambda$, надо заменить $p_0\to2p_0\sh(b\cos\varphi)$:

$$M_a=4\frac{p_0\lambda^2}{\sin\varphi}\sh(b\cos\varphi)\left(\frac{1}{\sin\varphi}\sh(a\sin\varphi)-a\ch(a\sin\varphi)\right)$$

Аналогично (если не напутал)

$$M_b=-4\frac{p_0\lambda^2}{\cos\varphi}\sh(a\sin\varphi)\left(\frac{1}{\cos\varphi}\sh(b\cos\varphi)-b\ch(b\cos\varphi)\right)$$

Утундрий в сообщении #1043730 писал(а):

В результате сложения и перемножения выкристаллизуется некая аналитическая зависимость

Ну да, суммируем, дифференцируем, приравниваем, ещё раз дифференцируем, находим знак....

[Батороев]

А найти минимум потенциальной энергии системы - не проще будет?

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #1043730 писал(а):

трактовать их в смысле устойчивости

а равновесия какой именно системы дифференциальных уравнений вы собираетесь таким образом трактовать в смысле устойчивости?

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043803 писал(а):

равновесия какой именно системы дифференциальных уравнений

Никакой. При чём здесь вообще какие-то системы дифференциальных уравнений? Это ведь задача на статическую устойчивость.

[Oleg Zubelevich]

вот это я не понимаю, я знаю только что такое устойчивость решения диф. уравнения. А что такое статическая устойчивость?

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043884 писал(а):

что такое статическая устойчивость?

В данном случае это когда главный вектор поверхностных сил в точности компенсирует вес прямоугольника, а главный их момент (приведенный к центру масс) в точности равен нулю. Прямоугольник тогда плавает как цветок в проруби и не колышется. Положения равновесия бывают устойчивые и неустойчивые. Проверяется положение равновесия на устойчивость путём лёгкого выведения из равновесия. Ежели вследствие оного выведения возникает изменение силы и момент (напоминаю, равный в равновесии нулю), то следует поглядеть - возвращает ли данный момент тело к положению равновесия или не возвращает. Если возвращает, то положение равновесия статически устойчиво. Абер наоборот. Это, конечно, не означает динамической устойчивости прямоугольника, потому как для этого надо бы учесть и динамику жидкости. Чего делать категорически не хочется. Поэтому ограничимся стандартной отговоркой о бесконечно медленном и бесконечно прекрасном...

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043884 писал(а):

вот это я не понимаю, я знаю только что такое устойчивость решения диф. уравнения. А что такое статическая устойчивость?

Круто. А чего тогда задачу ставите?

Если говорить о дифуре, то здесь это будет гидродинамика, и вопрос безнадёжен.

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043595 писал(а):

Это совсем неочевидное рассуждение.

$\mathbf{F}=-\int\limits_{S}pd\vec{S}=-\int\limits_{V}\nabla pdV$

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #1043891 писал(а):

то следует поглядеть - возвращает ли данный момент тело к положению равновесия или не возвращает

все правильно, а возвращает или нет это мы только из дифференциальных уравнений движения знаем.

amon в сообщении #1043903 писал(а):

$\mathbf{F}=-\int\limits_{S}pd\vec{S}=-\int\limits_{V}\nabla pdV$

я эту формулу там чуть выше тоже писал, роль ее в Ваших рассуждениях мне непонятна, точнее говоря, мне непонятно, что она доказывает

Munin в сообщении #1043900 писал(а):

Если говорить о дифуре, то здесь это будет гидродинамика, и вопрос безнадёжен.

А я вот как раз не считаю, что вопрос так уж безнадежен. И дифуры уже даже писались. Давайте еще раз подробней.

Oleg Zubelevich в сообщении #1043497 писал(а):

Введем положительно ориентированную декартову систему координат $xyz$. Ось $x$ смотрит на нас перпендикулярно плоскости рисунка, ось $z$ вертикально вверх. Через $S$ обозначим центр масс бруска, $\boldsymbol r_S=y\boldsymbol e_y+z\boldsymbol e_z$. Через $\phi$ обозначим угол наклона бруска к оси $y$.
Давление в жидкости распределено в соответствие с известной барометрической формулой $p(z)=p_0 e^{-gz/c},$ где $c>0$ -- константа из стартового поста.

Со стороны жидкости на покоящийся брусок действует сила $\boldsymbol F(\phi,z)=-\int_Lp\boldsymbol nds$, где $L$ -- контур бруска; $\boldsymbol n$ -- внешняя единичная нормаль к контуру. И момент $\boldsymbol M_S(\phi,z)=-\int_L[\boldsymbol \rho,\boldsymbol n]pds.$ ($\boldsymbol \rho$ -- радиус вектор из центра бруска в точку на контуре)
Условия равновесия:

$$\boldsymbol M_S(\phi,z)=0,\quad \boldsymbol F(\phi,z)+m\boldsymbol g=0\qquad(*)$$

$m$ -- масса бруска. Из закона Архимеда известно, что $\boldsymbol F$ направлена вертикально. Поэтому уравнения (*) это два скалярных уравнения на $\phi,z$. Пусть $\phi_*,z_*$ -- одно из решений этой системы.
Дальше можно предложить следующую наивную схему исследования устойчивости. Предположим, что силы сопротивления жикости пропорциональны квадратам скоростей соответствующих точек бруска,

во всяком случае при дввижении в окрестности равновесий. Tогда уравнения движения бруса приобретают вид:

$$J_S\ddot\phi\boldsymbol e_x=\boldsymbol M_S(\phi,z)+f\boldsymbol e_x,\quad m\ddot{\boldsymbol r}_S= \boldsymbol F(\phi,z)+m\boldsymbol g+\boldsymbol h,$$

функции $\boldsymbol h, f$ зависят от $\phi,y,z,\dot\phi,\dot y,\dot z$ и $|\boldsymbol h|+| f|\le C(|\dot\phi|^2+|\dot y|^2+|\dot z|^2)$
линеризуя эту систему в окрестности положения равновесия $z\mapsto z_*+Z,\quad \phi\mapsto\phi_*+\Phi,\quad y\mapsto y_*+Y$ получаем

следующую систему линейного приближения

$$J_S\ddot\Phi\boldsymbol e_x=\frac{\partial \boldsymbol M_S(\phi_*,z_*)}{\partial \phi}\Phi+\frac{\partial \boldsymbol M_S(\phi_*,z_*)}{\partial z}Z,\quad m\ddot Z\boldsymbol e_z=\frac{\partial \boldsymbol F(\phi_*,z_*)}{\partial \phi}\Phi+\frac{\partial \boldsymbol F(\phi_*,z_*)}{\partial z}Z,\quad \ddot Y=0.$$

Если спектр матрицы этой системы содержит числа с положительными действительными частями, то положение равновесия $(\phi_*,z_*)$ неустойчиво, и это вполне строгий результат в рамках данной модели.
Если линейная система устойчива, то тоже есть некоторые соображения , но это уже следующий этап.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043910 писал(а):

А я вот как раз не считаю, что вопрос так уж безнадежен. И дифуры уже даже писались.

Это не дифуры гидродинамики:

Oleg Zubelevich в сообщении #1043497 писал(а):

Со стороны жидкости на покоящийся брусок действует сила

в то время как при рассмотрении устойчивости движения, брусок движется, и жидкость, неизбежно, - тоже, то есть должно вводиться поле скоростей... - дальше вы сами знаете.