2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение09.08.2015, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9245
Пардон, а зачем здесь численный эксперимент? Интегралы от $x^n e^{ - x}$ прекрасно берутся безо всякого численного эксперимента.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение09.08.2015, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9697
Hogtown
Утундрий в сообщении #1043702 писал(а):
$x^n a^{ - x}$ прекрасно берутся безо всякого численного эксперимента.


Безусловно. Но там возникает ур-е

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение09.08.2015, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9245
А, так это построение графика явно заданной функции было обозвано "численным экспериментом"...

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение09.08.2015, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9697
Hogtown
Утундрий в сообщении #1043719 писал(а):
А, так это построение графика явно заданной функции было обозвано "численным экспериментом"...

Я численных экспериментов не производил, а что другие под этим понимают мне неведомо

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение09.08.2015, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9245
По сути, достаточно посчитать силу и момент, действующие на наклонный под некоторым углом к горизонтали (вертикали) отрезок. Момент считать удобней относительно нижнего конца отрезка. Всё это даст нам точку (на отрезке) приложения силы. Применительно к прямоугольнику, параллельные стороны будут нагружены известно как отмноженными силами, приложенными на оду и ту самую плечу́ (относительно уже центра прямоугольника). Сие позволит сравнить моменты сравненьем сил. И тако же для второй пары параллельных сторон. В результате сложения и перемножения выкристаллизуется некая аналитическая зависимость Мэ от Фи, которую и правда быстрей всего отрисовать комьпютеризированно. Вольфраминой там какой или чем-то подобным. И уже по отрисовыванию визуально лицезреть количеств равновесий (как пересечений нуля) и трактовать их в смысле устойчивости, смотря из откуда в куда пересекает оная вышеупомянутую.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение10.08.2015, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2698
Пусть давление меняется по формуле $p=p_0 e^{-z/\lambda}$
Рассмотрим плоскую грань длины $2a\lambda$ под углом $\varphi$ к горизонту.
Тогда (считая что $p_0$ давление у центра грани) получим:
$$F=\frac{p_0\lambda}{\sin\varphi}\left(e^{a\sin\varphi}-e^{-a\sin\varphi}\right)=2\frac{p_0\lambda}{\sin\varphi}\sh(a\sin\varphi)$$
$$M=2\frac{p_0\lambda^2}{\sin\varphi}\left(\frac{1}{\sin\varphi}\sh(a\sin\varphi)-a\ch(a\sin\varphi)\right)$$
$$L=\frac{M}{F}=\frac{\lambda}{\sin\varphi}-a\lambda\cth(a\sin\varphi)$$
Для пары граней, разнесённых "по нормали" на $2b\lambda$, надо заменить $p_0\to2p_0\sh(b\cos\varphi)$:
$$M_a=4\frac{p_0\lambda^2}{\sin\varphi}\sh(b\cos\varphi)\left(\frac{1}{\sin\varphi}\sh(a\sin\varphi)-a\ch(a\sin\varphi)\right)$$
Аналогично (если не напутал) $$M_b=-4\frac{p_0\lambda^2}{\cos\varphi}\sh(a\sin\varphi)\left(\frac{1}{\cos\varphi}\sh(b\cos\varphi)-b\ch(b\cos\varphi)\right)$$

Утундрий в сообщении #1043730 писал(а):
В результате сложения и перемножения выкристаллизуется некая аналитическая зависимость

Ну да, суммируем, дифференцируем, приравниваем, ещё раз дифференцируем, находим знак.... :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение10.08.2015, 05:26 


23/01/07
3224
Новосибирск
А найти минимум потенциальной энергии системы - не проще будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение10.08.2015, 07:17 


10/02/11
6786
Утундрий в сообщении #1043730 писал(а):
трактовать их в смысле устойчивости

а равновесия какой именно системы дифференциальных уравнений вы собираетесь таким образом трактовать в смысле устойчивости?

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение10.08.2015, 12:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9245
Oleg Zubelevich в сообщении #1043803 писал(а):
равновесия какой именно системы дифференциальных уравнений

Никакой. При чём здесь вообще какие-то системы дифференциальных уравнений? Это ведь задача на статическую устойчивость.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение10.08.2015, 12:24 


10/02/11
6786
вот это я не понимаю, я знаю только что такое устойчивость решения диф. уравнения. А что такое статическая устойчивость?

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение10.08.2015, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9245
Oleg Zubelevich в сообщении #1043884 писал(а):
что такое статическая устойчивость?

В данном случае это когда главный вектор поверхностных сил в точности компенсирует вес прямоугольника, а главный их момент (приведенный к центру масс) в точности равен нулю. Прямоугольник тогда плавает как цветок в проруби и не колышется. Положения равновесия бывают устойчивые и неустойчивые. Проверяется положение равновесия на устойчивость путём лёгкого выведения из равновесия. Ежели вследствие оного выведения возникает изменение силы и момент (напоминаю, равный в равновесии нулю), то следует поглядеть - возвращает ли данный момент тело к положению равновесия или не возвращает. Если возвращает, то положение равновесия статически устойчиво. Абер наоборот. Это, конечно, не означает динамической устойчивости прямоугольника, потому как для этого надо бы учесть и динамику жидкости. Чего делать категорически не хочется. Поэтому ограничимся стандартной отговоркой о бесконечно медленном и бесконечно прекрасном...

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение10.08.2015, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
Oleg Zubelevich в сообщении #1043884 писал(а):
вот это я не понимаю, я знаю только что такое устойчивость решения диф. уравнения. А что такое статическая устойчивость?

Круто. А чего тогда задачу ставите?

Если говорить о дифуре, то здесь это будет гидродинамика, и вопрос безнадёжен.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение10.08.2015, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4084
ФТИ им. Иоффе СПб
Oleg Zubelevich в сообщении #1043595 писал(а):
Это совсем неочевидное рассуждение.
$\mathbf{F}=-\int\limits_{S}pd\vec{S}=-\int\limits_{V}\nabla pdV$

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение10.08.2015, 13:49 


10/02/11
6786
Утундрий в сообщении #1043891 писал(а):
то следует поглядеть - возвращает ли данный момент тело к положению равновесия или не возвращает

все правильно, а возвращает или нет это мы только из дифференциальных уравнений движения знаем.
amon в сообщении #1043903 писал(а):
$\mathbf{F}=-\int\limits_{S}pd\vec{S}=-\int\limits_{V}\nabla pdV$

я эту формулу там чуть выше тоже писал, роль ее в Ваших рассуждениях мне непонятна, точнее говоря, мне непонятно, что она доказывает

Munin в сообщении #1043900 писал(а):
Если говорить о дифуре, то здесь это будет гидродинамика, и вопрос безнадёжен.

А я вот как раз не считаю, что вопрос так уж безнадежен. И дифуры уже даже писались. Давайте еще раз подробней.
Oleg Zubelevich в сообщении #1043497 писал(а):
Введем положительно ориентированную декартову систему координат $xyz$. Ось $x$ смотрит на нас перпендикулярно плоскости рисунка, ось $z$ вертикально вверх. Через $S$ обозначим центр масс бруска, $\boldsymbol r_S=y\boldsymbol e_y+z\boldsymbol e_z$. Через $\phi$ обозначим угол наклона бруска к оси $y$.
Давление в жидкости распределено в соответствие с известной барометрической формулой $p(z)=p_0 e^{-gz/c},$ где $c>0$ -- константа из стартового поста.

Со стороны жидкости на покоящийся брусок действует сила $\boldsymbol F(\phi,z)=-\int_Lp\boldsymbol nds$, где $L$ -- контур бруска; $\boldsymbol  n$ -- внешняя единичная нормаль к контуру. И момент $\boldsymbol M_S(\phi,z)=-\int_L[\boldsymbol \rho,\boldsymbol n]pds.$ ($\boldsymbol \rho$ -- радиус вектор из центра бруска в точку на контуре)
Условия равновесия: $$\boldsymbol M_S(\phi,z)=0,\quad \boldsymbol F(\phi,z)+m\boldsymbol g=0\qquad(*)$$ $m$ -- масса бруска. Из закона Архимеда известно, что $\boldsymbol F$ направлена вертикально. Поэтому уравнения (*) это два скалярных уравнения на $\phi,z$. Пусть $\phi_*,z_*$ -- одно из решений этой системы.
Дальше можно предложить следующую наивную схему исследования устойчивости. Предположим, что силы сопротивления жикости пропорциональны квадратам скоростей соответствующих точек бруска,

во всяком случае при дввижении в окрестности равновесий. Tогда уравнения движения бруса приобретают вид:
$$J_S\ddot\phi\boldsymbol e_x=\boldsymbol M_S(\phi,z)+f\boldsymbol e_x,\quad m\ddot{\boldsymbol  r}_S= \boldsymbol F(\phi,z)+m\boldsymbol g+\boldsymbol h,$$
функции $\boldsymbol h,  f$ зависят от $\phi,y,z,\dot\phi,\dot y,\dot z$ и $|\boldsymbol h|+| f|\le C(|\dot\phi|^2+|\dot y|^2+|\dot z|^2)$
линеризуя эту систему в окрестности положения равновесия $z\mapsto z_*+Z,\quad \phi\mapsto\phi_*+\Phi,\quad y\mapsto y_*+Y$ получаем

следующую систему линейного приближения
$$J_S\ddot\Phi\boldsymbol e_x=\frac{\partial \boldsymbol M_S(\phi_*,z_*)}{\partial \phi}\Phi+\frac{\partial \boldsymbol M_S(\phi_*,z_*)}{\partial z}Z,\quad m\ddot Z\boldsymbol e_z=\frac{\partial \boldsymbol F(\phi_*,z_*)}{\partial \phi}\Phi+\frac{\partial \boldsymbol F(\phi_*,z_*)}{\partial z}Z,\quad \ddot Y=0.$$
Если спектр матрицы этой системы содержит числа с положительными действительными частями, то положение равновесия $(\phi_*,z_*)$ неустойчиво, и это вполне строгий результат в рамках данной модели.
Если линейная система устойчива, то тоже есть некоторые соображения , но это уже следующий этап.

 Профиль  
                  
 
 Re: закон Архимеда
Сообщение10.08.2015, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
Oleg Zubelevich в сообщении #1043910 писал(а):
А я вот как раз не считаю, что вопрос так уж безнадежен. И дифуры уже даже писались.

Это не дифуры гидродинамики:
    Oleg Zubelevich в сообщении #1043497 писал(а):
    Со стороны жидкости на покоящийся брусок действует сила
в то время как при рассмотрении устойчивости движения, брусок движется, и жидкость, неизбежно, - тоже, то есть должно вводиться поле скоростей... - дальше вы сами знаете.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 104 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group