Гипотеза Римана

[sergei1961]

Просто если не умеете кататься на коньках, а вышли на профессиональный турнир, то всем всё видно-шлёп попкой на лёд и все смеются. А на бокс-свернули челюсть на пятой секунде- и лежите в углу. А в науке не так наглядно-можно плести, плести, плести. А нам просто видно сразу так же, как если профессиональный спортсмен смотрит на потуги любителя на люду или на ринге. Сразу. С первой секунды и манеры рассуждений.

[Droog_Andrey]

Появилась новая версия работы Де Бранжа: http://www.math.purdue.edu/~branges/proof-riemann.pdf

Всё ещё незавершённая.

[DiMath]

Droog_Andrey
У Вас нет статьи про 2/5 нулей в pdf? Не могу почему то скачать по ссылке, которую вы указали.

Droog_Andrey в сообщении #341328 писал(а):

$2/5$ нетривиальных нулей: http://www.digizeitschriften.de/main/dm ... N002206781

Спасибо.

[Skipper]

Цитата:

Появилась новая версия работы Де Бранжа: http://www.math.purdue.edu/~branges/proof-riemann.pdf

Последнее доказательство гипотезы Римана от 18 мая 2015 года. Кто нибудь проверил, верное или нет?
Или Де Бранж работает, доказывает, и никто не проверяет..

[grizzly]

Skipper в сообщении #1030324 писал(а):

Или Де Бранж работает, доказывает, и никто не проверяет..

1) Проверяют-проверяют.
2) После этого он опять работает.
3) Goto п.1)

MathWorld про де Бранжа писал(а):

de Branges has written a number of papers discussing a potential approach to the generalized Riemann hypothesis (de Branges 1986, 1992, 1994) and in fact claiming to prove the generalized Riemann hypothesis (de Branges 2003, 2004; Boutin 2004), but no actual proofs seem to be present in these papers. Furthermore, Conrey and Li (1998) prove a counterexample to de Branges's approach, which essentially means that theory developed by de Branges is not viable.

[Skipper]

Цитата:

1) Проверяют-проверяют.
2) После этого он опять работает.
3) Goto п.1)

Неужели так всё печально? А в каких работах наиболее близко подошли к доказательству гипотезы?

[Skipper]

Правда ли написана здесь? -

http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=21311

Цитата:

Очень кратко: если есть нуль, лежащий правее, то распределение будет более неравномерным. Чем правее, тем неравномернее. Точнее, если $\sigma_{\max}$ - наибольшее значение действительной части нетривиального корня, то $\left|\pi(x)-\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}\right|=O\left(x^{\sigma_{\max}+\epsilon}\right)$, отклонение функции $\pi(x)$ от плавной функции $\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}$ характеризует неравномерность распределения. Максимум неравномерности может быть использован в каких-либо практических задачах (в криптографии).

Здесь функция $\pi(x)$ показывает число простых чисел меньших чем $x$, она приближенно равна интегральному логарифму $\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}\right|$, и их разность, т.е. остаточный член, определяется как $O\left(x^{\sigma_{\max}+\epsilon}\right)$. Если гипотеза Римана верна, тогда остаточный член будет расти так: $O\left(x^{1/2} * $\ln x$ )\right)$. Это утверждение в точности эквивалентно гипотезе Римана.

А если гипотеза Римана неверна, тогда этот остаточный член будет больше? Но каким он может быть самым большим?

Самым неравномерным распределение простых могло бы быть таким.
Введем понятие псевдопростое число. И будем подбрасывать монетку, или тянуть шары из ящиков - неважно, суть такая - движемся по числовой прямой от 2, до бесконечности, и по жребию, для каждого числа $N$, с вероятностью $1 / $\ln N$$ - помечаем что оно псевдопростое, или с веротностью $1 - 1 / $\ln N$$ - что число псевдосоставное. Именно с такой вероятностью появляются истинные простые числа в окрестности числа $N$.

Тогда каким будет остаточный член, больше чем $O\left(x^{1/2} * $\ln x$ )\right)$ ?? Не может же быть чтобы $O\left(x^{1}\right)$.
Вопрос - если гипотеза Римана неверна, и распределение простых чисел, самое неравномерное, как вышеописанное распределение псевдопростых, построенных по самому рандомному принципу. Чисто по вероятностному принципу. Как будет тогда оцениваться остаточный член?

[Droog_Andrey]

Ничего не понял про чисто вероятностные принципы.

А отклонение от интегрального логарифма действительно $o[x^{\sigma+\varepsilon}]$, где $\sigma$ - максимальная действительная часть нуля дзета-функции, $\varepsilon > 0$.

[Skipper]

Цитата:

Ничего не понял про чисто вероятностные принципы.

Введем понятие псевдопростое число. И будем подбрасывать монетку, или тянуть шары из ящиков - неважно, суть такая - движемся по числовой прямой от 2, до бесконечности, и по жребию, для каждого числа $N$, с вероятностью $1 / $\ln N$$ - помечаем что оно псевдопростое, или с веротностью $1 - 1 / $\ln N$$ - что число псевдосоставное. Именно с такой вероятностью появляются истинные простые числа в окрестности числа $N$.

Это понятно? Мы получили ряд чисел, от 2 до бесконечности, и каждое из них помечено - как псевдопростое, или псевдосоставное. Наше распределение псевдопростых, самое неравномерное. (в отличии от распределения истинных простых чисел). Количество наших псевдопростых определяет другая функция, не $$\pi(x)$ $, и какая нибудь другая, назовем ее к примеру, кси-функцией. Она растет тоже приблизительно как $ $\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}\right|$$. Разность кси-функции и интегрального логирафма тоже растет, это называется остаточный член. Как будет определяться рост этого остаточного члена? Будет не $ $O\left(x^{1/2} * $\ln x$ )\right)$ $, а $O\left(x^{1}\right)$ ?

Цитата:

А отклонение от интегрального логарифма действительно $o[x^{\sigma+\varepsilon}]$, где $\sigma$ - максимальная действительная часть нуля дзета-функции, $\varepsilon > 0$.

Хорошо, если гипотеза Римана неверна и существует нуль, с действительной частью, очень близкой к 1, то неужели отклонение пи-функции от интегрального логарифма будет $O\left(x^{1}\right)$ ? Это же кажется невероятным.

[ex-math]

Skipper
На сегодняшний день нет оценки даже вида $O(x^{1-\varepsilon } )$ для остаточного члена в асимптотическом законе. Лучший результат дает метод Виноградова и это $O (xe^{-\ln^{0.6-\varepsilon}x} )$.

[Skipper]

Цитата:

На сегодняшний день нет оценки даже вида $O(x^{1-\varepsilon } )$ для остаточного члена в асимптотическом законе.

Не пойму, почему так получается! :( Объясните. Предположим для какого-то выбранного числа $x$, разность между пи-функцией и интегральным логарифмом равна определенному числу. Для $(x+1)$, эта разность или увеличится или уменьшиться, предположим, с вероятностями примерно 50 на 50. Если бы реально величина остаточного члена, определялась бы как $O(x^{1-\varepsilon } )$, то существовали бы такие $x$, для которых разность между пи-функцией и интегральным логарифмом, достигала бы самих значений $x$ (или была бы пропорциональна $x$). Это же что-то нереальное.

Другой пример, иллюстрирующий ситуацию. Предположим, у нас есть точка на прямой, изначально она находится в координате 0. Далее, эта точка с вероятностью 50% делает скачок или вправо или с вероятностью 50% делает скачок влево. Это случайное блуждание с бесконечным количеством скачков. После $N$ скачков, в среднем (по теории вероятностей), координата по модулю, у точки - будет $\sqrt{N}$. Т.е. если мы совершили $100$ скачков, то координата будет в среднем - в окрестности $10$ (или $-10$). Если мы совершили $10000$ скачков, тогда координата будет в среднем - в окрестности $100$ (или $-100$). Это отклонение и есть аналог остаточного члена, для отклонений пи-функции от интегрального логарифма. Рост этого отклонения сверху, как-то ограничивается. Если к примеру, он ограничивается $O(x^{2/3 } )$, тогда хотя и в среднем отклонение бывает $\sqrt{N}$, но на бесконечном количестве скачков, бесконечное количество раз, это отклонение может доходить до $x^{2/3 }$. Так вот, невозможно представить, что при таком чисто вероятностном случайном блуждании, будет бесконечное количество раз происходить следуюющее - после $N$ скачков, координата достигнет значения $N$, либо пропорционального ему. А так и должно быть, если отклонение определяется как $O(x^{1} )$.

$O(x^{1} )$ в принципе не может быть, достаточно одного скачка вправо и одного влево, чтобы координата после $N$ скачков, никогда больше не достигла значения $N$ по модулю. И какой бы мы малый множитель ни взяли, вместо $O$, при достаточно больших $N$, вероятность такого большого отклонения стремится к нулю. Чему будет равно $O$ большое, для такого вот, случайного блуждания?

[ex-math]

Остаток бесконечно мал по сравнению с $x$, то есть при делении на $x $ он стремится к нулю. Вопрос в скорости этого стремления. Доказать, что эта скорость хотя бы как у степенной функции $x^{-\varepsilon}$ не могут.

[Skipper]

Цитата:

Остаток бесконечно мал по сравнению с $x$, то есть при делении на $x $ он стремится к нулю. Вопрос в скорости этого стремления.

Если остаток (как следует из гипотезы Римана) определяется как $O\left(x^{1/2} * $ $ln x$$ )\right)$ тогда он действительно будет при делении на $x$, при достаточно больших $x$ стремиться к нулю.. Но если...

Цитата:

На сегодняшний день нет оценки даже вида $O(x^{1-\varepsilon } )$ для остаточного члена в асимптотическом законе.

Если оценка роста для остатка будет $O\left(x^{1}\right)$ тогда остаток никак при делении на $x$ не может стремиться к нулю. В самом деле, пи-функция и интегральный логарифм растут примерно как $ x/ ln x$ . Их разность, т.е. остаток растет так: $O\left(x^{1}\right)$ . $O$ большое можем заменить на какой нибудь множитель, значит разность т.е. остаток растет так: $N*x$ , а сами интегральный логарифм и пи-функция растут так: $ x/ ln x$ . Да получается даже остаток растет быстрее чем сам интегральный логарифм и пи-функция!

Или я что-то неправильно понимаю? Потому и написал, что оценка роста для остатка точно должна быть меньше чем $O(x^{1-\varepsilon } )$ и почему это не могут доказать?

Спасибо, если кто объяснит.

[Sonic86]

Skipper в сообщении #1040392 писал(а):

ли я что-то неправильно понимаю? Потому и написал, что оценка роста для остатка точно должна быть меньше чем $O(x^{1-\varepsilon } )$

Не должна.
Между асимптотиками $O(x^{1-\epsilon})$ и $O(x)$ есть огромное количество промежуточных асимптотик ($\epsilon = \operatorname{const}$).
Иначе говоря: если остаток $=o(x)$, то отсюда не следует, что он $=O(x^{1-\epsilon})$. Множество асимптотик неархимедово.

[ex-math]

Выше я написал современную оценку остатка. Проверьте самостоятельно, что она лучше $\frac x {\ln^Ax} $, но хуже $x^{1-\varepsilon } $ при сколь угодно большом $A $ и сколь угодно малом $\varepsilon $.