Цитата:
На сегодняшний день нет оценки даже вида

для остаточного члена в асимптотическом законе.
Не пойму, почему так получается! :( Объясните. Предположим для какого-то выбранного числа

, разность между пи-функцией и интегральным логарифмом равна определенному числу. Для

, эта разность или увеличится или уменьшиться, предположим, с вероятностями примерно 50 на 50. Если бы реально величина остаточного члена, определялась бы как

, то существовали бы такие

, для которых разность между пи-функцией и интегральным логарифмом, достигала бы самих значений

(или была бы пропорциональна

). Это же что-то нереальное.
Другой пример, иллюстрирующий ситуацию. Предположим, у нас есть точка на прямой, изначально она находится в координате 0. Далее, эта точка с вероятностью 50% делает скачок или вправо или с вероятностью 50% делает скачок влево. Это случайное блуждание с бесконечным количеством скачков. После

скачков, в среднем (по теории вероятностей), координата по модулю, у точки - будет

. Т.е. если мы совершили

скачков, то координата будет в среднем - в окрестности

(или

). Если мы совершили

скачков, тогда координата будет в среднем - в окрестности

(или

). Это отклонение и есть аналог остаточного члена, для отклонений пи-функции от интегрального логарифма. Рост этого отклонения сверху, как-то ограничивается. Если к примеру, он ограничивается

, тогда хотя и в среднем отклонение бывает

, но на бесконечном количестве скачков, бесконечное количество раз, это отклонение может доходить до

. Так вот, невозможно представить, что при таком чисто вероятностном случайном блуждании, будет бесконечное количество раз происходить следуюющее - после

скачков, координата достигнет значения

, либо пропорционального ему. А так и должно быть, если отклонение определяется как

.

в принципе не может быть, достаточно одного скачка вправо и одного влево, чтобы координата после

скачков, никогда больше не достигла значения

по модулю. И какой бы мы малый множитель ни взяли, вместо

, при достаточно больших

, вероятность такого большого отклонения стремится к нулю. Чему будет равно

большое, для такого вот, случайного блуждания?