Цитата:
На сегодняшний день нет оценки даже вида
для остаточного члена в асимптотическом законе.
Не пойму, почему так получается! :( Объясните. Предположим для какого-то выбранного числа
, разность между пи-функцией и интегральным логарифмом равна определенному числу. Для
, эта разность или увеличится или уменьшиться, предположим, с вероятностями примерно 50 на 50. Если бы реально величина остаточного члена, определялась бы как
, то существовали бы такие
, для которых разность между пи-функцией и интегральным логарифмом, достигала бы самих значений
(или была бы пропорциональна
). Это же что-то нереальное.
Другой пример, иллюстрирующий ситуацию. Предположим, у нас есть точка на прямой, изначально она находится в координате 0. Далее, эта точка с вероятностью 50% делает скачок или вправо или с вероятностью 50% делает скачок влево. Это случайное блуждание с бесконечным количеством скачков. После
скачков, в среднем (по теории вероятностей), координата по модулю, у точки - будет
. Т.е. если мы совершили
скачков, то координата будет в среднем - в окрестности
(или
). Если мы совершили
скачков, тогда координата будет в среднем - в окрестности
(или
). Это отклонение и есть аналог остаточного члена, для отклонений пи-функции от интегрального логарифма. Рост этого отклонения сверху, как-то ограничивается. Если к примеру, он ограничивается
, тогда хотя и в среднем отклонение бывает
, но на бесконечном количестве скачков, бесконечное количество раз, это отклонение может доходить до
. Так вот, невозможно представить, что при таком чисто вероятностном случайном блуждании, будет бесконечное количество раз происходить следуюющее - после
скачков, координата достигнет значения
, либо пропорционального ему. А так и должно быть, если отклонение определяется как
.
в принципе не может быть, достаточно одного скачка вправо и одного влево, чтобы координата после
скачков, никогда больше не достигла значения
по модулю. И какой бы мы малый множитель ни взяли, вместо
, при достаточно больших
, вероятность такого большого отклонения стремится к нулю. Чему будет равно
большое, для такого вот, случайного блуждания?