2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 44  След.
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение07.12.2011, 22:31 


25/08/11

1074
Просто если не умеете кататься на коньках, а вышли на профессиональный турнир, то всем всё видно-шлёп попкой на лёд и все смеются. А на бокс-свернули челюсть на пятой секунде- и лежите в углу. А в науке не так наглядно-можно плести, плести, плести. А нам просто видно сразу так же, как если профессиональный спортсмен смотрит на потуги любителя на люду или на ринге. Сразу. С первой секунды и манеры рассуждений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение18.11.2014, 01:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2087
Минск, Беларусь
Появилась новая версия работы Де Бранжа: http://www.math.purdue.edu/~branges/proof-riemann.pdf

Всё ещё незавершённая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение13.04.2015, 21:36 


13/07/10
106
Droog_Andrey
У Вас нет статьи про 2/5 нулей в pdf? Не могу почему то скачать по ссылке, которую вы указали.
Droog_Andrey в сообщении #341328 писал(а):
$2/5$ нетривиальных нулей: http://www.digizeitschriften.de/main/dm ... N002206781


Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.06.2015, 12:43 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
Появилась новая версия работы Де Бранжа: http://www.math.purdue.edu/~branges/proof-riemann.pdf


Последнее доказательство гипотезы Римана от 18 мая 2015 года. Кто нибудь проверил, верное или нет?
Или Де Бранж работает, доказывает, и никто не проверяет..

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.06.2015, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Skipper в сообщении #1030324 писал(а):
Или Де Бранж работает, доказывает, и никто не проверяет..

1) Проверяют-проверяют.
2) После этого он опять работает.
3) Goto п.1) :D
MathWorld про де Бранжа писал(а):
de Branges has written a number of papers discussing a potential approach to the generalized Riemann hypothesis (de Branges 1986, 1992, 1994) and in fact claiming to prove the generalized Riemann hypothesis (de Branges 2003, 2004; Boutin 2004), but no actual proofs seem to be present in these papers. Furthermore, Conrey and Li (1998) prove a counterexample to de Branges's approach, which essentially means that theory developed by de Branges is not viable.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.06.2015, 13:35 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
1) Проверяют-проверяют.
2) После этого он опять работает.
3) Goto п.1) :D


Неужели так всё печально? А в каких работах наиболее близко подошли к доказательству гипотезы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.07.2015, 13:03 


24/03/09
505
Минск
Правда ли написана здесь? -

http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=21311

Цитата:
Очень кратко: если есть нуль, лежащий правее, то распределение будет более неравномерным. Чем правее, тем неравномернее. Точнее, если $\sigma_{\max}$ - наибольшее значение действительной части нетривиального корня, то $\left|\pi(x)-\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}\right|=O\left(x^{\sigma_{\max}+\epsilon}\right)$, отклонение функции $\pi(x)$ от плавной функции $\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}$ характеризует неравномерность распределения. Максимум неравномерности может быть использован в каких-либо практических задачах (в криптографии).


Здесь функция $\pi(x)$ показывает число простых чисел меньших чем $x$, она приближенно равна интегральному логарифму $\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}\right|$, и их разность, т.е. остаточный член, определяется как $O\left(x^{\sigma_{\max}+\epsilon}\right)$. Если гипотеза Римана верна, тогда остаточный член будет расти так: $O\left(x^{1/2} * $\ln x$ )\right)$. Это утверждение в точности эквивалентно гипотезе Римана.

А если гипотеза Римана неверна, тогда этот остаточный член будет больше? Но каким он может быть самым большим?

Самым неравномерным распределение простых могло бы быть таким.
Введем понятие псевдопростое число. И будем подбрасывать монетку, или тянуть шары из ящиков - неважно, суть такая - движемся по числовой прямой от 2, до бесконечности, и по жребию, для каждого числа $N$, с вероятностью $1 / $\ln N$$ - помечаем что оно псевдопростое, или с веротностью $1 - 1 / $\ln N$$ - что число псевдосоставное. Именно с такой вероятностью появляются истинные простые числа в окрестности числа $N$.

Тогда каким будет остаточный член, больше чем $O\left(x^{1/2} * $\ln x$ )\right)$ ?? Не может же быть чтобы $O\left(x^{1}\right)$.
Вопрос - если гипотеза Римана неверна, и распределение простых чисел, самое неравномерное, как вышеописанное распределение псевдопростых, построенных по самому рандомному принципу. Чисто по вероятностному принципу. Как будет тогда оцениваться остаточный член?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.07.2015, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2087
Минск, Беларусь
Ничего не понял про чисто вероятностные принципы.

А отклонение от интегрального логарифма действительно $o[x^{\sigma+\varepsilon}]$, где $\sigma$ - максимальная действительная часть нуля дзета-функции, $\varepsilon > 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.07.2015, 13:23 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
Ничего не понял про чисто вероятностные принципы.


Введем понятие псевдопростое число. И будем подбрасывать монетку, или тянуть шары из ящиков - неважно, суть такая - движемся по числовой прямой от 2, до бесконечности, и по жребию, для каждого числа $N$, с вероятностью $1 / $\ln N$$ - помечаем что оно псевдопростое, или с веротностью $1 - 1 / $\ln N$$ - что число псевдосоставное. Именно с такой вероятностью появляются истинные простые числа в окрестности числа $N$.

Это понятно? Мы получили ряд чисел, от 2 до бесконечности, и каждое из них помечено - как псевдопростое, или псевдосоставное. Наше распределение псевдопростых, самое неравномерное. (в отличии от распределения истинных простых чисел). Количество наших псевдопростых определяет другая функция, не $$\pi(x)$  $, и какая нибудь другая, назовем ее к примеру, кси-функцией. Она растет тоже приблизительно как $ $\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}\right|$$. Разность кси-функции и интегрального логирафма тоже растет, это называется остаточный член. Как будет определяться рост этого остаточного члена? Будет не $ $O\left(x^{1/2} * $\ln x$ )\right)$ $, а $O\left(x^{1}\right)$ ?

Цитата:
А отклонение от интегрального логарифма действительно $o[x^{\sigma+\varepsilon}]$, где $\sigma$ - максимальная действительная часть нуля дзета-функции, $\varepsilon > 0$.


Хорошо, если гипотеза Римана неверна и существует нуль, с действительной частью, очень близкой к 1, то неужели отклонение пи-функции от интегрального логарифма будет $O\left(x^{1}\right)$ ? Это же кажется невероятным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.07.2015, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Skipper
На сегодняшний день нет оценки даже вида $O(x^{1-\varepsilon } )$ для остаточного члена в асимптотическом законе. Лучший результат дает метод Виноградова и это $O (xe^{-\ln^{0.6-\varepsilon}x} )$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.07.2015, 14:46 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
На сегодняшний день нет оценки даже вида $O(x^{1-\varepsilon } )$ для остаточного члена в асимптотическом законе.


Не пойму, почему так получается! :( Объясните. Предположим для какого-то выбранного числа $x$, разность между пи-функцией и интегральным логарифмом равна определенному числу. Для $(x+1)$, эта разность или увеличится или уменьшиться, предположим, с вероятностями примерно 50 на 50. Если бы реально величина остаточного члена, определялась бы как $O(x^{1-\varepsilon } )$, то существовали бы такие $x$, для которых разность между пи-функцией и интегральным логарифмом, достигала бы самих значений $x$ (или была бы пропорциональна $x$). Это же что-то нереальное.

Другой пример, иллюстрирующий ситуацию. Предположим, у нас есть точка на прямой, изначально она находится в координате 0. Далее, эта точка с вероятностью 50% делает скачок или вправо или с вероятностью 50% делает скачок влево. Это случайное блуждание с бесконечным количеством скачков. После $N$ скачков, в среднем (по теории вероятностей), координата по модулю, у точки - будет $\sqrt{N}$. Т.е. если мы совершили $100$ скачков, то координата будет в среднем - в окрестности $10$ (или $-10$). Если мы совершили $10000$ скачков, тогда координата будет в среднем - в окрестности $100$ (или $-100$). Это отклонение и есть аналог остаточного члена, для отклонений пи-функции от интегрального логарифма. Рост этого отклонения сверху, как-то ограничивается. Если к примеру, он ограничивается $O(x^{2/3 } )$, тогда хотя и в среднем отклонение бывает $\sqrt{N}$, но на бесконечном количестве скачков, бесконечное количество раз, это отклонение может доходить до $x^{2/3 }$. Так вот, невозможно представить, что при таком чисто вероятностном случайном блуждании, будет бесконечное количество раз происходить следуюющее - после $N$ скачков, координата достигнет значения $N$, либо пропорционального ему. А так и должно быть, если отклонение определяется как $O(x^{1} )$.

$O(x^{1} )$ в принципе не может быть, достаточно одного скачка вправо и одного влево, чтобы координата после $N$ скачков, никогда больше не достигла значения $N$ по модулю. И какой бы мы малый множитель ни взяли, вместо $O$, при достаточно больших $N$, вероятность такого большого отклонения стремится к нулю. Чему будет равно $O$ большое, для такого вот, случайного блуждания?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.07.2015, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Остаток бесконечно мал по сравнению с $x$, то есть при делении на $x $ он стремится к нулю. Вопрос в скорости этого стремления. Доказать, что эта скорость хотя бы как у степенной функции $x^{-\varepsilon}$ не могут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2015, 13:50 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
Остаток бесконечно мал по сравнению с $x$, то есть при делении на $x $ он стремится к нулю. Вопрос в скорости этого стремления.


Если остаток (как следует из гипотезы Римана) определяется как $O\left(x^{1/2} * $ $ln x$$ )\right)$ тогда он действительно будет при делении на $x$, при достаточно больших $x$ стремиться к нулю.. Но если...

Цитата:
На сегодняшний день нет оценки даже вида $O(x^{1-\varepsilon } )$ для остаточного члена в асимптотическом законе.


Если оценка роста для остатка будет $O\left(x^{1}\right)$ тогда остаток никак при делении на $x$ не может стремиться к нулю. В самом деле, пи-функция и интегральный логарифм растут примерно как $ x/ ln x$ . Их разность, т.е. остаток растет так: $O\left(x^{1}\right)$ . $O$ большое можем заменить на какой нибудь множитель, значит разность т.е. остаток растет так: $N*x$ , а сами интегральный логарифм и пи-функция растут так: $ x/ ln x$ . Да получается даже остаток растет быстрее чем сам интегральный логарифм и пи-функция!

Или я что-то неправильно понимаю? Потому и написал, что оценка роста для остатка точно должна быть меньше чем $O(x^{1-\varepsilon } )$ и почему это не могут доказать?

Спасибо, если кто объяснит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2015, 14:04 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
Skipper в сообщении #1040392 писал(а):
ли я что-то неправильно понимаю? Потому и написал, что оценка роста для остатка точно должна быть меньше чем $O(x^{1-\varepsilon } )$
Не должна.
Между асимптотиками $O(x^{1-\epsilon})$ и $O(x)$ есть огромное количество промежуточных асимптотик ($\epsilon = \operatorname{const}$).
Иначе говоря: если остаток $=o(x)$, то отсюда не следует, что он $=O(x^{1-\epsilon})$. Множество асимптотик неархимедово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2015, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Выше я написал современную оценку остатка. Проверьте самостоятельно, что она лучше $\frac x {\ln^Ax} $, но хуже $x^{1-\varepsilon } $ при сколь угодно большом $A $ и сколь угодно малом $\varepsilon $.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 655 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 44  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group