Использование кривизны для поиска асимптот

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1038393 писал(а):

Так в чём же ко мне претензии?

Мои претензии в том, что Вы, вовсю орудуя словом "кривизна", не понимаете смысла этого понятия. С размерностями разобрались --- упёрлись в знаки.

Не знать этого можно. Нельзя при таком незнании "орудовать".

Я опрометчиво написал, что, будучи тоже пискунистом, понимаю Вас с полуслова. Вот, например, в этом суждении мне ничего непонятно, логика сентенций непонятна:

Shtorm в сообщении #1038393 писал(а):

В этой формуле используются вектора? Ни при выводе, ни в окончательном ответе их нет. Не используется также направление параметризации.
Так в чём же ко мне претензии?

В этой формуле вектора не используются. Почему они должны использоваться? Почему они не должны использоваться? О чём эта фраза? В чём полезность этой формулы? Уж по ней я кривизну сосчитать не могу. Предположу, что это что-то промежуточное, "первый шаг".

Shtorm в сообщении #1038393 писал(а):

Итак, моя задача доказать, с помощью выше данного определения кривизны плоской кривой, что кривизна кривой, выпуклой вверх на каком-то интервале будет отрицательной, а кривизна кривой, выпуклой вниз на каком-то интервале, будет положительной.

Я такой задачи перед Вами не ставил. Ну пусть Вы её так видите.
Я не вижу необходимости привлекать выпуклости, которые бывают не только вверх-вниз, но и влево-вправо, и на северо-восток.

Я предлагал разобраться, почему НА ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ простейшей кривой мы получаем разные знаки.
Я взял простейшую кривую, а Вы зачем-то усложняете разборки синусами. Ну зачем здесь морочить голову синусами (пожалуйста, не отвечайте на это вопрос! иначе мы никогда не вылезем из этой пустой писанины!)

Что за ерунда случается на той единичной окружности, что в процессе прогулки по ней со мной в точке $x=1$ что-то случится? Как я замечу эту точку, если я просто гуляю и не слежу за координатами? У меня именно в этой точке закружится голова? Я пукну именно в ней?? Что ж там за особенность такая???

Кажется, Вы пытаетесь это объяснить. Попытаюсь поразбираться. Читать страшно трудно. Какие выпуклости? Ходя по кривым, я никогда не думал о выпуклостях. А тут ещё на них основано "доказательство".

Shtorm в сообщении #1038393 писал(а):

Это при условии, что мы не используем модуль в формуле кривизны.

Что за ерунда? Какие условия, какие формулы? Кривизна $\dfrac{d\tau}{ds}$ объективна, как только задан путь; она ничего не знает о формулах и условиях, по которым мы собираемся её считать!

Да уж... В телевизоре, наверное, есть передачка "Субботний вечер с..."
Пошёл вчитываться...

-- 19 июл 2015, 01:27:28 --

Нет, это критиковать невозможно. Десятки несуразиц, алогизмов, непоняток; Ваше стометровое сообщение требует двухсот метров ответа, и любой читатель и писатель в этом затеряется.

Если хотите продолжать, то я настаиваю на предельно кратких сообщениях (как бы с одной-двумя ошибками).

И мне не надо доказывать, что выпуклый вверх график функции $y=f(x)$ имеет отрицательную кривизну. Это тривиально: оба явления определяются знаком второй производной.
И лично у меня (почти) нет к Вам претензий. Одна, но здесь она оффтопна.

У Вас есть вопрос о кривизне (именно о ней, не об асимптотах)? Математический, а не "библиографический" (в одной книжке --- в другой книжке...)
Есть, например, непонятное, неразрешённое математическое противоречие?
Непонятная формула?

Изложите тогда кратко и понятно предмет обсуждения. Только его. Не пишите таких длинных сумбуров, как вышенаписанное.

[arseniiv]

Shtorm, у меня к вам претензий нет, просто вы же сами сказали, что не совсем понимали мои посты. Ну вот и напишите, где было неудобно, а я через недели две вернусь и, если кто-то не был добр, отвечу.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1038412 писал(а):

.. Вот, например, в этом суждении мне ничего непонятно, логика сентенций непонятна:

Shtorm в сообщении #1038393 писал(а):

В этой формуле используются вектора? Ни при выводе, ни в окончательном ответе их нет. Не используется также направление параметризации.
Так в чём же ко мне претензии?

В этой формуле вектора не используются. Почему они должны использоваться? Почему они не должны использоваться? О чём эта фраза? В чём полезность этой формулы? Уж по ней я кривизну сосчитать не могу. Предположу, что это что-то промежуточное, "первый шаг".

Это я отвечал не Вам, а arseniiv, может из-за этого Вы не поняли логику сентенций? А теперь вот эти Ваши вопросы: "В этой формуле вектора не используются. Почему они должны использоваться?" и далее по тексту, Вам бы нужно было адресовать именно arseniiv. Всё просто, речь зашла о знаках, он написал про вектора, а я написал, что в формуле векторов нет. И действительно я привёл первый шаг вывода той формулы и показал, что уж векторов то в ней всяко нет.

Алексей К. в сообщении #1038412 писал(а):

Я не вижу необходимости привлекать выпуклости, которые бывают не только вверх-вниз, но и влево-вправо, и на северо-восток.

Я решил разбираться небольшими маленькими шагами. Поэтому для простоты взял именно формулу для явно заданной кривой $y=f(x)$. А как Вам прекрасно известно, для такой кривой, есть только понятия выпуклость вверх и выпуклость вниз.

Алексей К. в сообщении #1038412 писал(а):

Я предлагал разобраться, почему НА ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ простейшей кривой мы получаем разные знаки.

Вот в этом и корень вопроса ( на данный момент времени). Ведь по этой формуле для кривой, заданной уравнением $y=f(x)$:

$$k=\dfrac{y''}{\left(1+(y')^2\right)^\frac{3}{2}}$$

кривизна получается с вполне определённым знаком для участка кривой, выпуклой вверх - это знак "минус", и с вполне определённым знаком для участка кривой, выпуклой вниз - это знак "плюс". Вы с этим согласны? Вы там дальше писали, чтобы много не писать в сообщении и кратко излагать - вот можно пока на этот вопрос только и ответить

Алексей К. в сообщении #1038412 писал(а):

Какие выпуклости? Ходя по кривым, я никогда не думал о выпуклостях. А тут ещё на них основано "доказательство".

На самом деле, рассуждение построено на знаках приращения угла и длины дуги. А с выпуклостями и вогнутостями я только сравниваю - "что да, мол, и там такой же знак".

Алексей К. в сообщении #1038412 писал(а):

Shtorm в сообщении #1038393 писал(а):

Это при условии, что мы не используем модуль в формуле кривизны.

Что за ерунда? Какие условия, какие формулы? Кривизна $\dfrac{d\tau}{ds}$ объективна, как только задан путь; она ничего не знает о формулах и условиях, по которым мы собираемся её считать!

Ерунда в том, что в одних местах пишут по модулю, а в других без модуля. Сами же говорили об этом

Алексей К. в сообщении #1038412 писал(а):

Изложите тогда кратко и понятно предмет обсуждения. Только его.

Ну, первый короткий вопрос я выше изложил. А второй короткий вопрос: как же правильно писать кривизну с модулем или без модуля?

[Xaositect]

Shtorm в сообщении #1038426 писал(а):

Ну, первый короткий вопрос я выше изложил. А второй короткий вопрос: как же правильно писать кривизну с модулем или без модуля?

Ну вроде бы ответ на этот вопрос уже должен быть понятен после последних трех страниц должен быть уже понятен.

Кривизна со знаком $k = \frac{d\tau}{ds}$ зависит не только от кривой как множества точек, но и от выбранной ориентации направления, вдоль которого мы по ней идем. Точнее, если мы рассмотрим две противоположно ориентированные натуральные параметризации развернемся и пойдем по кривой назад, знак кривизны поменяется.
Если направление нам не известно или не интересует нас, мы просто можем взять модуль и не беспокоиться по поводу знаков.

Shtorm в сообщении #1038426 писал(а):

Вот в этом и корень вопроса ( на данный момент времени). Ведь по этой формуле для кривой, заданной уравнением $y=f(x)$:

$$k=\dfrac{y''}{\left(1+(y')^2\right)^\frac{3}{2}}$$

кривизна получается с вполне определённым знаком для участка кривой, выпуклой вверх - это знак "минус", и с вполне определённым знаком для участка кривой, выпуклой вниз - это знак "плюс". Вы с этим согласны? Вы там дальше писали, чтобы много не писать в сообщении и кратко излагать - вот можно пока на этот вопрос только и ответить

Вот в этой формуле предполагается вполне определенное направление. Внимание, вопрос: какое именно?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1038426 писал(а):

А как Вам прекрасно известно, для такой кривой, есть только понятия выпуклость вверх и выпуклость вниз.

Мне много всякого "прекрасно известно". Например, что Пушкин родился в 1799 году. Только я понятия не имею как прикладывать знания у Пушкине или о выпуклости вверх-вниз к обсуждаемым вопросам.

Вы можете, находясь в лесу (на равнине) сделать следующие утверждения:
1) Эта тропинка кривая, а эта --- прямая ("имеет нулевую кривизну").
2) Эта тропинка кривее, чем та.
3) Эта тропинка (примерно) в два раза кривее, чем та.
4) Эти две тропинки имеют одинаковую кривизну, но противоположного знака. У той, что возле берёзки, кривизна отрицательна.

Я смогу. Никакие выпуклости мне для этого не понадобятся. Бумажка, ручка --- не понадобятся.
А Вы сможете?

Ответ "нет" принимается.
100-метровку не приму.

[Shtorm]

Xaositect в сообщении #1038428 писал(а):

Кривизна со знаком $k = \frac{d\tau}{ds}$ зависит не только от кривой как множества точек, но и от выбранной ориентации направления, вдоль которого мы по ней идем. Точнее, если мы рассмотрим две противоположно ориентированные натуральные параметризации развернемся и пойдем по кривой назад, знак кривизны поменяется.
Если направление нам не известно или не интересует нас, мы просто можем взять модуль и не беспокоиться по поводу знаков.

Рад, что Вы тоже присоединились к теме. Ясно, понятно.

Xaositect в сообщении #1038428 писал(а):

Вот в этой формуле предполагается вполне определенное направление. Внимание, вопрос: какое именно?

Положительное по направлению оси OX?

Алексей К. в сообщении #1038429 писал(а):

Вы можете, находясь в лесу (на равнине) сделать следующие утверждения:
1) Эта тропинка кривая, а эта --- прямая ("имеет нулевую кривизну").
2) Эта тропинка кривее, чем та.
3) Эта тропинка (примерно) в два раза кривее, чем та.
4) Эти две тропинки имеют одинаковую кривизну, но противоположного знака. У той, что возле берёзки, кривизна отрицательна.

1) - 3) пункты без проблем. В пункте 4) "Эти тропинки имеют одинаковую кривизну, но противоположного знака" - также без проблем. А вот утверждение "У той, что возле берёзки, кривизна отрицательна" вызовет неоднозначный ответ. То есть мы можем сказать, что кривизна отрицательна, а можем сказать, что положительна.
Зачёт сдал?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1038430 писал(а):

То есть мы можем сказать, что кривизна отрицательна, а можем сказать, что положительна.

Если я собираюсь идти по этой тропинке от шоссе до охотничьего домика, то ответ однозначный. Ну, разумеется, если тропинка не выпрямляется и не меняет знак кривизны. Но если и меняет, то всё равно --- в каждой точке пути ответ будет однозначный.

-- 19 июл 2015, 04:09:01 --

Если мне придётся мерять углы, то я выберу раз и навсегда какую-то одну систему координат, и, по привычке, непременно каноническую, т.е. правую. Что тогда будет означать траектория с положительной кривизной? Ну, в смысле дэ тау по дэ эс больше нуля.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1038431 писал(а):

Если я собираюсь идти по этой тропинке от шоссе до охотничьего домика, то ответ однозначный.

А если от охотничьего домика до шоссе, то знак противоположный?

Алексей К. в сообщении #1038431 писал(а):

Если мне придётся мерять углы то я выберу раз и навсегда какую-то одну систему координат, и, по привычке, непременно каноническую, т.е. правую.

То есть все углы откладывать именно против часовой стрелки, при таком подходе?

-- Вс июл 19, 2015 04:16:58 --

Алексей К. в сообщении #1038431 писал(а):

Что тогда будет означать траектория с положительной кривизной? Ну, в смысле дэ тау по дэ эс больше нуля.

То есть, при таком подходе, углы всегда положительны и знак смотрим по приращению длины дуги? Значит положительная кривизна будет обозначать, что приращение длины дуги положительно.

[Алексей К.]

Все углы откладывать относительно одного заранее выбранного направления.
Да: возрастание значения угла --- против часовой стрелки.
Правильно размеченный компас, с углами вместо букв --- и всё, не надо "системы координат"

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1038433 писал(а):

Да: возрастание значения угла --- против часовой стрелки.

И сами значения угла при этом всегда положительны? Или всё же как в полярной системе координат, если откладываем вниз от горизонтальной оси по часовой стрелке, то углы отрицательны?

[Алексей К.]

Приращение дуги всегда положительно. На тропинке давно поставили столбики с надписями через один метр.
Вы такие, возможно, видели на дорогах.
На первой 1 --- 100.
На второй 2 --- 99.
Пешеход видит одну, ту, что к нему мордой.
Идёшь туда --- надпись, повёрнутая к тебе изменяется от 1 до 100.
Идёшь обратно --- к тебе повёрнута другая сторона, и там тоже от 1 до 100.

-- 19 июл 2015, 04:29:56 --

Shtorm в сообщении #1038434 писал(а):

И сами значения угла при этом всегда положительны?

Нет. Они лишь непрерывны, поэтому, если случилась последовательность 30(градусов) -- 20 -- 10 -- 0 -- 350 -- 340, две последние будут рассматриваться как -10 и -20. Но об этом можно не заморачиваться. Считаем, что не вылезли из диапазона 0 -- 360.

-- 19 июл 2015, 04:32:35 --

Ой, Shtorm, хватит на сегодня.
Я всего лишь про тропинку, сворачивающую направо, и тропинку, сворачивающую налево.
Сами уж разберитесь, на какой кривизна положительна, на какой отрицательна.

-- 19 июл 2015, 04:35:00 --

А также со случаем "ни направо, ни налево". Знаете адекватный синоним?

[Shtorm]

Теперь наверное можно перейти к этому:

Алексей К. в сообщении #583768 писал(а):

Чердак Б.М. Ограниченность кривых, заданных своими кривизнами. Уч. зап. Ленинград. пед. ин-та им. А.И. Герцена, т. 274(1965), 202–212.
Саму статью не нашёл, пересказываю по памяти: кривая имеет асимптоту, если интеграл

$$\int\limits_0^\infty s\,k(s)\,ds$$

сходится (там кривизна и длина дуги). Нормальный признак, которому наплевать на наклонность, горизонтальность и прочую чушь. Инвариантный то есть. Вторую асимптоту получим при интегрировании от нуля до $-\infty$.

Итак, как нужно действовать. Сначала разберём кривую, заданную параметрически:

$$\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t). \end{cases}$$

Сначала находим кривизну по формуле

$$k(t)=\frac{\psi''\cdot \varphi' - \varphi''\cdot \psi'}{((\varphi')^2+(\psi')^2)^\frac{3}{2}}$$

Теперь полученную кривизну нужно выразить через натуральный параметр $s$. Для этого вычисляем неопределённый интеграл:

$$s=\int \sqrt{(\varphi'(t))^2+(\psi'(t))^2}\,dt$$

Получаем зависимость $s=s(t)$. Из неё получаем $t=t(s)$ и подставляем в $k(t)$. В итоге получаем $k(s)$ и вот теперь-то её можно подставлять в несобственный интеграл. Всё верно?

-- Вс июл 19, 2015 04:51:50 --

Алексей К., спасибо ещё раз за Ваше участие в теме.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1038436 писал(а):

Теперь наверное можно перейти к этому:

Нет. Нельзя.
Вы не ответили на вопрос об утверждении 4) из того списка.
Боюсь, Вы не сумеете построить график функции $k(s)$ даже для [единичной] полуокружности.
Вы не умеете чётко выражать свои мысли. Пример:

Shtorm в сообщении #1038436 писал(а):

Итак, как нужно действовать.

Действовать --- для чего? К достижению какой цели ведёт список действий? Мы должны угадывать? Копаться в теме? (На этот вопрос отвечать не надо. Это был лишь очередной пример того, как плохо Вы пользуетесь словами.)

[Xaositect]

Shtorm в сообщении #1038430 писал(а):

Положительное по направлению оси OX?

Угу.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1038438 писал(а):

Вы не ответили на вопрос об утверждении 4) из того списка.

На первую половину вопроса сразу ответил однозначно, на вторую сразу ответил двузначно. Теперь после выбора определённого направления (ориентации), ответ тоже однозначный.

Алексей К. в сообщении #1038438 писал(а):

Боюсь, Вы не сумеете построить график функции $k(s)$ даже для [единичной] полуокружности.

Ну и зря боитесь. Как раз с окружностью-то в этом плане никаких проблем нет.

$$k(t)=\frac{1}{R},\ \ k(s)=\frac{1}{R}$$

Графиком будет являться прямая, перпендикулярная оси кривизн и параллельная оси натурального параметра. Так что спокойненько подставляем в несобственный интеграл и получаем, что интеграл расходится. Всё верно - асимптоты нет. Вы наверное хотели сказать, что далеко не для всякой кривой тот интеграл можно вообще взять?

Алексей К. в сообщении #1038438 писал(а):

Вы не умеете чётко выражать свои мысли. Пример:

Shtorm в сообщении #1038436 писал(а):

Итак, как нужно действовать.

Действовать --- для чего? К достижению какой цели ведёт список действий? Мы должны угадывать? Копаться в теме? (На этот вопрос отвечать не надо. Это был лишь очередной пример того, как плохо Вы пользуетесь словами.)

Ну раз названия темы плюс Вашей цитаты про признак не достаточно, то напишу: используем тот признак для проверки наличия асимптот кривых.