Обобщение производной

[Anton_Peplov]

Уважаемые участники!
Прошу еще немного помочь мне расчистить голову от неясностей в связи с диффисчислением. Речь пойдет о частных и полных производных. Сейчас я изложу, как я понимаю их смысл, просьба поправить меня, если я что-то понимаю неправильно.

Пусть небо у нас плотно забито мухами – в каждой точке какая-нибудь муха. На спине у мухи сидят хрямзики-кондитеры, которые пекут или едят пирожные в зависимости от того, в каком направлении движется муха, какую точку она сейчас пролетает и что показывают часы. Хрямзики – большие эстеты.

Проведем ось $Ox$ с юга на север, ось $Oy$ - с запада на восток. Высоту оставим постоянной, переменных у нас и так достаточно. В каждой точке нашего плоского неба находится муха с пирожными на борту, масса которых задается функцией трех переменных: $m = m(x, y, t)$.

Частная производная $\frac{\partial m}{\partial x}$ в точке $M_0$ в момент $t_0$ – это скорость (в кг/км), с которой хрямзики будут печь или есть пирожные, пролетая в момент $t_0$ точку $M_0$ с севера на юг (если с юга на север – будет $-\frac{\partial m}{\partial x}$). Если она больше нуля, то они пекут пирожные, если меньше, то едят, если равна нулю – отдыхают. Аналогично, производная $\frac{\partial m}{\partial y}$ в точке $M_0$ в момент $t_0$ – это скорость (в кг/км), с которой хрямзики будут печь или есть пирожные, пролетая в момент $t_0$ точку $M_0$ с запада на восток. Если они пролетают точку $M_0$ в момент $t_0$ по произвольному вектору $\vec a$, то скорость (в кг/км) изменения массы пирожных составит $|\operatorname{grad} m| \cos \varphi$ , где $\varphi$ – угол между градиентом массы и вектором $\vec a$.
Рассмотрим теперь зависимость от времени. $\frac{\partial m}{\partial t}$ в точке $M_0$ в момент $t_0$ – это скорость (в кг/с), с которой хрямзики будут печь или есть пирожные, если муха в момент $t_0$ зависнет в точке $M_0$ с нулевой скоростью. Тогда хрямзики будут смотреть на часы и решать, как быстро им надлежит лопать/печь в данный момент в данном месте. Но зависимость массы пирожных от времени этим не ограничивается, ведь муха еще и движется по какому-то закону $x = x(t), y = y (t)$, и масса пирожных зависит от времени через координаты.
Полная производная по времени равна

$$ \frac{dm}{dt} = \frac{\partial m}{\partial t} + \frac{\partial m}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial m}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} $$

Эта производная в точке $M_0$ в момент $t_0$ равна скорости (в кг/с), с которой в момент $t_0$ будет меняться масса пирожных на борту мухи, находящейся в точке $M_0$. Она учитывает и то, что хрямзики смотрят на часы, и то, что они смотрят на скорость. Капризные хрямзики.

Собственно, вопрос – правильно ли я все понимаю?

[Oleg Zubelevich]

а чем стандартное определение не устраивает? полная производная от функции $f(t,x)$ в силу системы $\dot x=v(t,x)$ это значит надо взять решение этой системы $x(t)$ и посчитать производную сложной функции $\frac{d}{dt}f(t,x(t))=f_t(t,x(t))+v^i(t,x(t))\frac{\partial f}{\partial x^i}(t,x(t))$. Если к этому добавить, что решение мы берем произвольное, то и $x(t)$ окажется произвольной точкой облаcти. А можно функцию просто вдоль кривой дифференцировать, почти тоже самое.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1036412 писал(а):

Собственно, вопрос – правильно ли я все понимаю?

Бредятину вы придумали.

Рассмотрите сначала функции от $x,y,$ без времени. И безо всяких ваших наворотов, просто числовую функцию $f.$

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1036634 писал(а):

Бредятину вы придумали.

О, бредятину - это хорошо. Это значит, нащупан корень непонимания. Щас мы его выкопаем и посадим вместо непонимания - понимание. Я готов потрудиться, главное, чтобы старшие товарищи не бросили меня на полпути.
Хорошо, давайте без хрямзиков и без времени. Есть числовая функция $m = m(x, y)$. Собственно, вопрос, что означают ее частные производные $\frac{\partial m}{\partial x}$ и $\frac{\partial m}{\partial y}$. Пока я понимаю так, что $\frac{\partial m}{\partial x}$ в точке $M_0$ - это скорость, с которой будет меняться функция, если проходить точку $M_0$ параллельно оси $Ox$. Я понимаю неправильно? А как правильно?

[arseniiv]

(Оффтоп)

По моему никаким опытом не обоснованному мнению, полная производная — вообще ненужное понятие. Ну, в самом деле, функции не знают ничего о буковках, которыми мы их записываем. Может, где-то там это является полезным сокращением, но в общем случае говорить о ней непонятно зачем. Есть производная, есть при наличии базиса её компоненты — частные производные.

Если определять всё аккуратно, можно получить только «полную производную композиции $n$-местной $f$ с $m_1,\ldots,m_n$-местными $g_i$ по $i_1,\ldots,i_n$-м их аргументам», равную

$$(\text{какие-то параметры})\mapsto\left(t\mapsto f(g_1(\ldots^{(i_1-1\text{ штук})},t,\ldots),\ldots,g_n(\ldots^{(i_n-1\text{ штук})},t,\ldots))\right)'.$$

-- Пн июл 13, 2015 18:01:06 --

Anton_Peplov в сообщении #1036641 писал(а):

Есть числовая функция $m = m(x, y)$. Собственно, вопрос, что означают ее частные производные $\frac{\partial m}{\partial x}$ и $\frac{\partial m}{\partial y}$. Пока я понимаю так, что $\frac{\partial m}{\partial x}$ в точке $M_0$ - это скорость, с которой будет меняться функция, если проходить точку $M_0$ параллельно оси $Ox$. Я понимаю неправильно? А как правильно?

Правильно в каком-то смысле понять градиент и умножать на него векторы $\mathbf i, \mathbf j$. Но вы ведь правильно написали.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1036641 писал(а):

Пока я понимаю так, что $\frac{\partial m}{\partial x}$ в точке $M_0$ - это скорость, с которой будет меняться функция, если проходить точку $M_0$ параллельно оси $Ox$. Я понимаю неправильно? А как правильно?

Это пока правильно. Но слово "скорость" вас сбивает. Когда добавится координата $t,$ вы запутаетесь, потому что эта "скорость" не настоящая.

Лучше представлять себе $m(x,y)$ как некий "рельеф местности". Тогда, вы рассекаете этот рельеф вертикальной плоскостью, параллельной оси $x,$ и у вас получается сечение - график функции от одной переменной $x.$ И от этой функции можно взять обыкновенную производную по $x.$ Вот эта производная и будет частной $\dfrac{\partial m}{\partial x}$ от исходной функции.

Но не бывает "более правильного" и "менее правильного" образа. Все они помогают в той или иной ситуации, и все они нестроги и не должны служить основой вычислений.

arseniiv в сообщении #1036644 писал(а):

По моему никаким опытом не обоснованному мнению, полная производная — вообще ненужное понятие.

По крайней мере, сравнительно гораздо более редко нужное. И это надо хорошо осознавать ещё в момент первого знакомства с ним.

[Oleg Zubelevich]

arseniiv в сообщении #1036644 писал(а):

По моему никаким опытом не обоснованному мнению, полная производная — вообще ненужное понятие.

чепуху говорите, сперва погуглите material derivative хотя бы ,она же Convective Derivative, Lagrangian derivative

-- Пн июл 13, 2015 16:13:35 --

не говоря о производных Ли и тд

[arseniiv]

Ну так никто же не заставляет её звать полной? Наверно, я неаккуратно написал — мне не угодило само выделение имени «полная производная», которое всё равно ничего не добавляет к описанию того, как именно она определяется — через производную композиции чего с чем и с отождествлением каких аргументов — в конкретном случае. По-другому, это неуместное обобщение многих безусловно полезных вещей (и ещё большего числа бесполезных, у которых и имён-то нет). Ну ладно, это во мне формализм не очень к месту говорит.

[ewert]

arseniiv в сообщении #1036654 писал(а):

Ну так никто же не заставляет её звать полной?

Это Вы воюете с терминами, что ни к чему. Само по себе понятие -- нужное; а термин уж какой сложился, такому и быть, аминь.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1036660 писал(а):

Это Вы воюете с терминами, что ни к чему.

Вообще у меня нет цели извести этот термин из употребления, но в общих чертах — да, и не отрицаю. Пожалуй, моё отступление слишком сильно отвлекло тему.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1036646 писал(а):

Лучше представлять себе $m(x,y)$ как некий "рельеф местности". Тогда, вы рассекаете этот рельеф вертикальной плоскостью, параллельной оси $x,$ и у вас получается сечение - график функции от одной переменной $x.$ И от этой функции можно взять обыкновенную производную по $x.$ Вот эта производная и будет частной $\dfrac{\partial m}{\partial x}$ от исходной функции.

Ок, представил. Пришлось взять клавиатуру, мысленно провести оси по ее ребрам и поднести к глазам. Профиль клавиш очертил мне график функции одной переменной.
Итак, рассечем "рельеф местности" плоскостью, проходящей через прямую $y = y_0$ параллельно плоскости $xOz$. Сечение рельефа этой плоскостью есть график функции одной переменной $m_{y_0} = m_{y_0}(x)$. От этой функции можно взять производную в точке $x_0$. Она и будет частной производной $\dfrac{\partial m}{\partial x}$ в точке $(x_0, y_0)$.

Теперь поговорим о времени. Пусть будет по-прежнему функция двух переменных, только одна из них - время, $m = m(t, y)$. Рассечем "рельеф местности" плоскостью, проходящей через прямую $y = y_0$ параллельно плоскости $tOz$. Сечение рельефа этой плоскостью есть график функции одной переменной $m_{y_0} = m_{y_0}(t)$. То есть имеем одномерный стержень $Oy$, по которому распределена величина $m$, и она меняется со временем. Функция $m_{y_0} = m_{y_0}(t)$ задает, как меняется со временем величина $m$ в точке стержня с координатой $y_0$. Можно взять от нее производную в момент $t_0$, она будет скоростью этого изменения в в момент $t_0$, и она же - частной производной $\dfrac{\partial m}{\partial t}$ в точке $(t_0, y_0)$. Здесь пока все правильно?

Что меня беспокоит: в общем случае для функции двух переменных $m = m(t, y)$ может быть зависимость $y = y(t)$, благодаря чему и появляется понятие полной производной и ее формула $\dfrac{dm}{dt} = \dfrac{\partial m}{\partial t} + \dfrac{\partial m}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t} $. Но как это показать в нашей модели с "рельефом местности" или с одномерным стержнем?

[kp9r4d]

Давайте по-другому лучше. Пусть у нас есть некоторый устоявшийся поток жидкости или газа в некоторой области $G$ в $\mathbb{R}^3$, пусть $f(x) = f(x^1,x^2,x^3) $ давление в точке $x = (x^1,x^2,x^3)$ и если мы будем перемещаться в этой области по закону $x = x(t)$ то в момент времени $t$ мы будем регистрировать давление $f(x(t))$, скорость изменения этого давления - это $\frac{d(f \circ x)}{dt}$, это и есть ваша полная производная.

[Anton_Peplov]

kp9r4d
А если мы не будем перемещаться, а будем торчать в одной точке $(x^1_0, x^2_0, x^3_0)$? Тогда давление, которое мы измеряем, не будет меняться со временем? И, таким образом, $\dfrac{\partial f}{\partial t} = 0$? Но в общем-то случае равенство $\dfrac{\partial f}{\partial t} = 0$ не выполняется, так что и эта модель не дает полной картины. Или я опять чего-то не понял?

[kp9r4d]

Anton_Peplov

Anton_Peplov в сообщении #1036713 писал(а):

А если мы не будем перемещаться, а будем торчать в одной точке $(x^1_0, x^2_0, x^3_0)$? Тогда давление, которое мы измеряем, не будет меняться со временем?

Верно.

Anton_Peplov в сообщении #1036713 писал(а):

И, таким образом, $\dfrac{\partial f}{\partial t} = 0$?

$f$ не зависит от $t$ поэтому запись

Anton_Peplov в сообщении #1036713 писал(а):

$\dfrac{\partial f}{\partial t} = 0$

я не очень понял. Однако $\frac{d(f \circ x)}{dt} = 0$ действительно.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1036702 писал(а):

Итак, рассечем "рельеф местности" плоскостью, проходящей через прямую $y = y_0$ параллельно плоскости $xOz$. Сечение рельефа этой плоскостью есть график функции одной переменной $m_{y_0} = m_{y_0}(x)$. От этой функции можно взять производную в точке $x_0$. Она и будет частной производной $\dfrac{\partial m}{\partial x}$ в точке $(x_0, y_0)$.

Теперь поговорим о времени. Пусть будет по-прежнему функция двух переменных, только одна из них - время, $m = m(t, y)$. Рассечем "рельеф местности" плоскостью, проходящей через прямую $y = y_0$ параллельно плоскости $tOz$. Сечение рельефа этой плоскостью есть график функции одной переменной $m_{y_0} = m_{y_0}(t)$. То есть имеем одномерный стержень $Oy$, по которому распределена величина $m$, и она меняется со временем. Функция $m_{y_0} = m_{y_0}(t)$ задает, как меняется со временем величина $m$ в точке стержня с координатой $y_0$. Можно взять от нее производную в момент $t_0$, она будет скоростью этого изменения в в момент $t_0$, и она же - частной производной $\dfrac{\partial m}{\partial t}$ в точке $(t_0, y_0)$. Здесь пока все правильно?

Да, на мой взгляд.

Anton_Peplov в сообщении #1036702 писал(а):

Что меня беспокоит: в общем случае для функции двух переменных $m = m(t, y)$ может быть зависимость $y = y(t)$, благодаря чему и появляется понятие полной производной и ее формула $\dfrac{dm}{dt} = \dfrac{\partial m}{\partial t} + \dfrac{\partial m}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t} $. Но как это показать в нашей модели с "рельефом местности" или с одномерным стержнем?

Надо перестать забегать вперёд паровоза. Выбросьте время обратно.

Изучите сначала понятия производной по направлению, полного дифференциала, и производной сложной функции.