Обобщение производной

[ewert]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1035603 писал(а):

Почему, если не секрет?

Ну он кажется мне излишне формалистичен. Тем более для физиков, на которых он себя позиционирует. Т.е. мне нравится, когда он апеллирует к каким-то абстрактным соображениям; но не нравится, как он это делает технически. Ну вкусовщина с моей стороны, не спорю.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1035457 писал(а):

Про дифференциал в связи с дифференцируемостью говорят вообще все, только многие почему-то стесняются назвать его линейным оператором (или значением линейного оператора, но это уже дело вкуса). Зорич вот не стесняется и произносит это открытым текстом.

Ок. Будем для удобства говорить о функции двух переменных $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Зафиксируем аргумент $\vec r = (x, y)$ и придадим ему приращение $\Delta r = (\Delta x, \Delta y)$. Приращением функции $\Delta z$ назовем

$\Delta z = f(\vec r + \Delta \vec r) - f(\vec r)$.

Если $\Delta z$ представимо в виде

$\Delta z = L (\Delta \vec r) + o (\vec r)$

где $L (\Delta \vec r)$ - линейный функционал, функция называется дифференцируемой в точке $\vec r = (x, y)$. Вот определение в терминах Зорича. Значение $L (\Delta \vec r)$ при данном $\vec r$ называется дифференциалом функции в точке $\vec r = (x, y)$, соответствующим приращению аргумента $\Delta \vec r$.

Поскольку по свойствам линейного функционала $L (\Delta \vec r) = \alpha \Delta x + \beta \Delta y$, где $\alpha$ и $\beta$ не зависят ни от $\Delta x$, ни от $\Delta y$, приходим к определению в терминах Фихтенгольца:

$\Delta z = \alpha \Delta x + \beta \Delta y + o (\vec r)$

Теперь Зорич каким-то образом переходит от $L (\vec r, \Delta \vec r)$ к $L (\vec r)$, и называет это "дифференциалом, касательным отображением или производным отображением, действующим из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$". Как он это делает? Ни о каком пределе никакого отношения при $\Delta \vec r \to 0$ не упомянуто. Далее, если $L(\vec r)$ не зависит от $\Delta x, \Delta y$, то она должна полностью определяться коэффициентами $\alpha$ и $\beta$. Ну и каков вид функции $L = L(\alpha, \beta)$?

[ewert]

Einsov в сообщении #1035604 писал(а):

Насколько мне известно, в обобщенных функциях помимо аргумента могут присутствовать ещё и другие параметры.

Нету там никаких параметров. "Учите матчасть, ребята; там так бьют, так бьют!..." (с)

-- Сб июл 11, 2015 00:34:12 --

Anton_Peplov в сообщении #1035608 писал(а):

Как он это делает?

Да никак не делает. Что для Зорича, что для Фихтенгольца -- "главная линейная часть" есть тупо линейный функционал (ну или оператор, если выходное пространство более чем одномерно). Они оба говорят ровно об одном и том же, только немного разным языком (не забывайте, что Фихтенгольцу стукнуло уже лет чуть ли не 70, а тогда теории операторов как таковой -- и, главное, соответствующей идеологии -- ещё не сложилось).

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1035610 писал(а):

Да никак не делает. Что для Зорича, что для Фихтенгольца -- "главная линейная часть" есть тупо линейный функционал (ну или оператор, если выходное пространство более чем одномерно).

Ок, значит, я превратно понял его слова, что $L(\vec r)$ - функционал $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Он имел в виду функциональную зависимость от $\Delta \vec r$.

Но ладно, это дифференциал, с ним все понятно. А вот что по поводу производной? Она же не дифференциал и не зависит от приращения, а только от точки. Ведь ради производной-то я и затеял весь этот сыр-бор. Для функции одной переменной производной называется число $\alpha$ из вышеприведенной формулы. Оно зависит от точки, и таким образом получается $\alpha(x)$ Для функции двух переменных, если действовать в том же духе, производной можно было бы назвать пару $(\alpha, \beta)$. Она зависит от точки $(x, y)$, и, таким образом, получается, что производная - функция $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$.

Но хочется (мне; вот такой я странный) какую-нибудь функцию, которая:
1. Зависела бы только от точки, но не от приращения;
2. Действовала из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$, как и исходная функция $f$.
3. При переходе к функции одной переменной совпадала бы с производной.
Вот скажите мне честно, я мужественно приму это известие - такая функция невозможна?

[provincialka]

Мне кажется, что выписанные свойства слишком расплывчатые. Ну, возмите например, сумму частных производных, то есть $\alpha+\beta$ . Подойдет?

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1035616 писал(а):

Но ладно, это дифференциал, с ним все понятно. А вот что по поводу производной?

А если с первым понятно, то что может быть непонятно со вторым?...

Там ровно то же самое, просто выходное пространство не одномерно, вот и всё.

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1035620 писал(а):

Подойдет?

Под эти свойства - да, подойдет. Как и куча других функций, которые можно сконструировать из $\alpha$ и $\beta$. Например, корень из суммы квадратов частных производных. Или среднее значение от них (складываем все частные производные и делим на их количество). Или минимальное значение. Или максимальное. Или медианное. Или... В общем, нужны еще какие-то требования.
Кто там из великих говорил, что три четверти дела - правильно сформулировать вопрос?

-- 11.07.2015, 01:29 --

Впрочем, достаточно ясно, что если таких требований никто не сформулировал и такой функции не предложил, значит, нужды в этом не было. То есть такое обобщение производной на функции нескольких переменных за века развития и применения матанализа никому не понадобилось. Значит, и я вполне смогу обойтись без него.
Осталось принять этот факт и успокоиться.

[Anton_Peplov]

Придумал четвертое требование.

Существование этой функции в точке должно быть эквивалентно дифференцируемости исходной функции $f$ в этой точке. Что автоматически исключает все функции, для существования которых достаточно существования частных производных, ибо для дифференцируемости его не достаточно.

Осталось показать, что и ему можно удовлетворить множеством разных способов. Об этом надо будет завтра подумать. Ночь глубокая надо мной, разум мой затуманен.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1035616 писал(а):

1. Зависела бы только от точки, но не от приращения

Каррируйте.
Была функция $f\colon X\times Y\to Z$, а станет функция $g\colon X\to(Y\to Z)$ (где $Y\to Z\equiv Z^Y$ — множество функций из $Y$ в $Z$) такая, что $g(x) = y\mapsto f(x,y)$. Или, что то же самое, $g(x)(y) = f(x,y)$.

[ex-math]

Anton_Peplov в сообщении #1035616 писал(а):

А вот что по поводу производной? Она же не дифференциал и не зависит от приращения, а только от точки.

Так полученный оператор и зависит только от точки. В одномерном случае он вырождается в умножение на зависящее от точки число. Что Вас не устраивает?

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1035616 писал(а):

Но ладно, это дифференциал, с ним все понятно. А вот что по поводу производной? Она же не дифференциал и не зависит от приращения, а только от точки.

Вы не улавливаете один момент. Одну и ту же величину можно назвать и "зависящей" и "не зависящей", в зависимости от вашего взгляда на неё.

Например, наиболее естественной производной от скалярной функции $n$ переменных является "внешний дифференциал" или "ковекторный градиент" - просто набор частных производных $\Bigl(\dfrac{\partial f}{\partial x_1},\dfrac{\partial f}{\partial x_2},\ldots\Bigr).$ Но как интерпретировать этот набор? Его можно считать просто величиной, а можно - функционалом на векторах. Ведь действительно, если взять любой вектор $v=(v_1,v_2,\ldots),$ то с ним можно вычислить скалярное произведение данного ковектора - и получится число. Вот и вопрос, зависит эта величина от $v,$ или не зависит? Можно сказать и так и так, и оба раза будут правильными.

Anton_Peplov в сообщении #1035622 писал(а):

Впрочем, достаточно ясно, что если таких требований никто не сформулировал и такой функции не предложил, значит, нужды в этом не было. То есть такое обобщение производной на функции нескольких переменных за века развития и применения матанализа никому не понадобилось.

Нет, просто всем давным-давно известно, что обобщение производной на функции нескольких переменных приводит к другим конструкциям, нарушающим ваше требование 2. Оно ошибочно. Надо понимать, что $\to\mathbb{R}$ - это только в частном случае функций одной переменной, а при обобщении это меняется.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1035608 писал(а):

$\Delta z = L (\Delta \vec r) + o (\vec r)$

Anton_Peplov в сообщении #1035608 писал(а):

$\Delta z = \alpha \Delta x + \beta \Delta y + o (\vec r)$

Везде $o(\Delta\vec r)$.

Anton_Peplov в сообщении #1035608 писал(а):

Ни о каком пределе никакого отношения при $\Delta \vec r \to 0$ не упомянуто.

Предел "спрятан" в $o(\Delta\vec r)$.

Anton_Peplov в сообщении #1035608 писал(а):

Ну и каков вид функции $L = L(\alpha, \beta)$?

$L=L(\vec r)$.

Anton_Peplov в сообщении #1035608 писал(а):

где $L (\Delta \vec r)$ - линейный функционал

Общепринятая путаница функции с её значением. Функционал здесь $L=L(\vec r)$ (зависит от точки $\vec r$), а $L(\Delta\vec r)$ — его значение в точке $\Delta\vec r$.

Anton_Peplov в сообщении #1035616 писал(а):

А вот что по поводу производной?

Вот линейный функционал $f'(\vec r)=L(\vec r)$ и есть производная в точке $\vec r$. А $f'=L$ — отображение $f'\colon\mathbb{R}^2\to\mathscr L(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$ в пространство линейных функционалов — и есть производная функция (чуть выше запись $L=L(\vec r)$ тоже есть "общепринятая путаница функции с её значением").

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1035691 писал(а):

общепринятая путаница функции с её значением. Функционал здесь $L=L(\vec r)$ (зависит от точки $\vec r$), а $L(\Delta\vec r)$ — его значение в точке $\Delta\vec r$.

При фиксированной точке $\vec r\ $ $L(\Delta\vec r)$ - линейный функционал от $\Delta\vec r$, что и позволяет записать $L(\Delta\vec r) = \alpha \Delta x + \beta \Delta y$.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1035608 писал(а):

Теперь Зорич каким-то образом переходит от $L (\vec r, \Delta \vec r)$ к $L (\vec r)$,

Никуда он не переходит: первого обозначения у него нет, только второе. Зорич всё же не настолько легкомыслен в обозначениях.

Anton_Peplov в сообщении #1035608 писал(а):

Вот определение в терминах Зорича. Значение $L (\Delta \vec r)$ при данном $\vec r$ называется дифференциалом функции в точке $\vec r = (x, y)$, соответствующим приращению аргумента $\Delta \vec r$.

Ничуть. Есть две традиции: называть дифференциалом значение функционала на приращении или называть так сам функционал. Зорич придерживается второй (что однозначно следует из приведённой мною цитаты), и напрасно Вы приписываете первую.

Возможно, это спровоцировано терминологической небрежностью Зорича: называть $L(x)$ "функцией" формально, конечно, можно, но практически неприемлемо из-за практически неизбежных при этом недоразумений. Следовало сказать "отображение" или "оператор".

-- Сб июл 11, 2015 13:46:43 --

Anton_Peplov в сообщении #1035698 писал(а):

При фиксированной точке $\vec r\ $ $L(\Delta\vec r)$ - линейный функционал от $\Delta\vec r$,

Линейный функционал (в этом контексте) -- не "от", а "на". Соответственно, и обозначают его не как $L(\Delta\vec r)$, а как $L\Delta\vec r$, или как $L(\vec r)\Delta\vec r$, или в крайнем случае как $L(\vec r,\Delta\vec r)$ (последнее не очень выгодно).

[Padawan]

DiMath в сообщении #1035420 писал(а):

Anton_Peplov Тогда уж вводите так:

$$\lim\limits_{x \to x_0}^{}\frac{\rho (f(x),f(x_0))}{\rho (x, x_0)}$$

Я бы написал верхний предел вместо предела. Для дифференцируемых функций в $\mathbb R^n$ -- это модуль градиента. А в общем случае -- "локальная константа липшицевости", так можно назвать.