2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение14.07.2015, 22:35 


10/02/11
6786
Дифференциальное счисление функций многих переменных это часть курса анализа. Эту часть надо просто освоить по стандартным учебникам, а не заниматься фигней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение14.07.2015, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Oleg Zubelevich в сообщении #1037107 писал(а):
Эту часть надо просто освоить по стандартным учебникам, а не заниматься фигней.

Я старательно прочел стандартный учебник Ильина и Позняка, заглядывал также в не менее стандартный учебник Фихтенгольца. Как мне это помогло, Вы можете наблюдать воочию. Возможно, этот факт говорит о моей, скажем деликатно, малой способности к математическому анализу (хотя с функциями одной переменной таких проблем не возникало). Для меня заниматься "фигней" с выяснением так называемого физического смысла - способ освоить материал. Возможно, у меня голова как-то не так устроена, но это единственная моя голова, других в тот момент не было на складе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение14.07.2015, 23:50 


10/02/11
6786
Хорошо, пусть у нас есть гладкая функция двух переменных $f(t,x)$ и еще гладкая функция скалярного аргумента $x(t)$. Считаем приращения
$$f(t+h_t, x+h_x)=f(t,x)+\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)h_t+\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)h_x+\psi(t,x,h_t,h_x)(|h_x|+|h_t|)$$
где $\psi\to 0$ при $|h_x|+|h_t|\to 0$
и $x(t+h)=x(t)+\dot x(t)h+\alpha(t,h)h,\quad \alpha\to 0$ при $h\to 0$

Вычисляйте: $f(t+h,x(t+h))=f(t+h, x(t)+\dot x(t)h+\alpha(t,h)h)=$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение14.07.2015, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Anton_Peplov в сообщении #1037138 писал(а):
Я старательно прочел стандартный учебник Ильина и Позняка, заглядывал также в не менее стандартный учебник Фихтенгольца.

У Ильина-Позняка главу 14 § 4 тщательно прочитали? Всё поняли? Запишите производную от сложной функции $u=f(x,y),$ где $x=a(t),\quad y=b(t).$

Потом производную от сложной функции $u=f(x,y,z),$ где $x=t,\quad y=b(t),\quad z=c(t).$

У Фихтенгольца, соответственно, глава 5 § 3 п. 181.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение15.07.2015, 00:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Забыли дописать,что в обоих случаях по $t$, хотя это, конечно, по содержанию примера и без меня видно, т. к. больше не по чему будет.

Anton_Peplov в сообщении #1037138 писал(а):
Возможно, этот факт говорит о моей, скажем деликатно, малой способности к математическому анализу
Вы же понимаете, что это неправда. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение15.07.2015, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Munin в сообщении #1037175 писал(а):
У Ильина-Позняка главу 14 § 4 тщательно прочитали? Всё поняли?

Пусть функции $x = a(t)$ и $y = b(t)$ дифференцируемы в точке $t_0$, а функция $z = f(x, y)$ дифференцируема в точке $(x_0, y_0)$, где $x_0 = a(t_0)$ и $y_0 = b(t_0)$. Тогда производная $\frac{df}{dt}$ в точке $t_0$ находится по формуле
$$
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}
$$

о. Павел Флоренский писал(а):
Верую, Господи! А теперь я попытаюсь понять то, во что я верую.

Придадим в точке $t_0$ переменной $t$ приращение $\Delta t$. Тем самым мы придадим функциям $x = a(t)$ и $y = b(t)$ приращения $\Delta x$ и $\Delta y$, которые по условию дифференцируемости будут равны:
$$
\Delta x = \frac{dx}{dt}\Delta t + o_x(\Delta t)
$$

$$
\Delta y = \frac{dy}{dt}\Delta t + o_y(\Delta t)
$$

В свою очередь, приращениям $\Delta x$ и $\Delta y$ отвечает приращение $\Delta f$, которое, опять же по условию дифференцируемости, равно

$$
\Delta f = \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\Delta y + o_f(\Delta x, \Delta y)
$$

Подставляя первые два уравнения в третье, мы обнаруживаем, что

$$
\Delta f = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}\Delta t + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}\Delta t + o(\Delta t)
$$

Теорема доказана.

-- 15.07.2015, 14:40 --

Munin в сообщении #1037175 писал(а):
Потом производную от сложной функции $u=f(x,y,z),$ где $x=t,\quad y=b(t),\quad z=c(t).$

Записываю. По общей формуле, с учетом $x = t$,
$$
\frac{du}{dt} = \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dy}{d t} + \frac{\partial u}{\partial z} \frac{dz}{dt}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение15.07.2015, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Отлично. А теперь, в последнем примере, можно переименовать переменную $x$ в $t,$ и вы получите полную производную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение15.07.2015, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
antimonit в сообщении #1037420 писал(а):
Ну а наглядный пример для стартового случая Вы придумали- то? С объяснением смысла слагаемых или наглядный смысл Вас больше не интересует?

Еще как интересует. Собственно, именно он меня и интересует. Просто помогающий мне уважаемый Munin проэкзаменовал меня на знание математически точной стороны вопроса. А я не в том положении, чтобы кочевряжиться.

Ну а теперь, когда мы выяснили, что формулы я знаю и даже понимаю, откуда они берутся, можем мы перейти к наглядной интерпретации? Вот уважаемый antimonit приводил пример:
antimonit в сообщении #1037125 писал(а):
Представьте, что одномерный стержень с распределенной плотностью плывет вдоль оси у и Вы меряете его плотность, причём плотность самого стержня меняется со временем.

Munin, как Ваше мнение, удобен ли этот пример или нужно подобрать что-то другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение15.07.2015, 16:35 


10/09/14
292
Почитал тему, заметил с геометрической точки зрения вопрос никто не рассмотрел, а я думаю он удобен и даже забегая вперёд, можно подойти к пониманию градиента, только необходимы элементарные знания из аналитической геометрии (АГ).
Рассмотрим всё на примере функции двух переменных $z=f(x,y)$. Во-первых частную производную с геометрической точки зрения можно понимать и как обычную производную, т.е. частные производные $\frac {\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ это суть тангенс угла наклона касательной к кривой, получающейся при сечении поверхности $z=f(x,y)$ плоскостями $x=const, y=const$ в некоторой точке $(x_0,y_0)$, в которой ищем частные производные.
Далее из АГ известно каноническое уравнение прямой $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac {y-y_0} {a_2}=\frac {z-z_0}{a_3}$, где $a_1,a_2,a_3$ координаты направляющего вектора этой прямой. Для частной производной $\frac {\partial f}{\partial x}$ запишем уравнение касательной имеющей данные угловой коэффициент, т.к. координата направляющего вектора вдоль оси $Y$ равна 0 следовательно $a_2=0$, а угол наклона этого направляющего вектора к оси $X$ есть $\frac {\partial f}{\partial x}=\frac{a_3}{a_1}$, и из канонического уравнения получим уравнение касательной в виде $\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {z-z_0}{x-x_0} $, его лучше переписать в виде приводя подобные слагаемые $z-\frac {\partial f}{\partial x}x+(\frac {\partial f}{\partial x}x_0-z_0)$, где $z_0=f(x_0,y_0)$, это уравнение соответствует уравнению прямой вида$Ax+By+C=0$, из АГ известно что направляющий вектор такой прямой имеет координаты $(-B,A)$, т.о. координаты направляющего вектора нашей касательной$(\frac {\partial f}{\partial x},0,1)$, здесь мы учли что вдоль оси$Y$ координата направляющего вектора равна 0. Теми же рассуждениями находим направляющий вектор другой касательной для $\frac {\partial f}{\partial y}$ он будет $(0,\frac {\partial f}{\partial y},1)$. Найдём нормаль к двум нашим скрещивающимся касательным, т.е. нормаль к соприкасающейся плоскости в точке $(x_0,y_0)$, её компоненты находятся как векторное произведение направляющих векторов касательной
$$\begin{vmatrix}
i & j & k \\
\frac {\partial f}{\partial x} & 0 & 1 \\
0 & \frac {\partial f}{\partial y} & 1 
\end{vmatrix}$$
Получаем компоненты нормали $(\frac {\partial f}{\partial x},\frac {\partial f}{\partial y},-\frac {\partial f}{\partial y}\frac {\partial f}{\partial x})$
Теперь используя каноническое уравнение прямой можно записать уравнение нормали
$$\frac{x-x_0}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\frac{y-y-0}{\frac {\partial f}{\partial y}}=-\frac{z-z_0}{\frac {\partial f}{\partial y}\frac {\partial f}{\partial x}}$$, разделим всё это дело на $(-\frac {\partial f}{\partial y}\frac {\partial f}{\partial x})$, получим $$\frac{x-x_0}{-\frac{1}{\frac{\partial f}{\partial x}}}=\frac{y-y_0}{-\frac{1}{\frac{\partial f}{\partial y}}}=\frac{z-z_0}{1}$$.
А теперь посмотрим с другой стороны, представим нашу поверхность - поверхностью уроня некоторого скалярного поля тождественно равного нулю, т.е. $C=F(x,y,z)=z-f(x,y)$ Найдём градиент этого поля $$\nabla C=-\frac{1}{\frac{\partial f}{\partial x}}i-\frac{1}{\frac{\partial f}{\partial y}}j+1k$$ и по определению этот вектор направлен по нормали,что мы уже доказали, т.к. используя каноническое уравнение прямой получим то же уравнения нормали, что получили выкладками выше. Чтож, надеюсь чем то помог в понимании, заодно и сам АГ вспомнил :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение15.07.2015, 21:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Viktor92 в сообщении #1037469 писал(а):
Во-первых частную производную с геометрической точки зрения можно понимать и как обычную производную
Так её ведь и вообще можно понимать как обычную: пусть $f^*(x)(y) = f(x,y)$, тогда$$f'_2(x,y) = (f^*(x))'(y).$$Или даже лучше, что будет отражать геометрическое описание, пусть $s(x)(y) = (x,y)$, тогда$$f'_2(x,y) = (f\circ s(x))'(y),$$хотя самым лучшим будет всё-таки сначала определить производную Фреше, а потом $f'_i(\mathbf r) = (f'(\mathbf r), \mathbf e_i)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение16.07.2015, 03:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Anton_Peplov в сообщении #1037447 писал(а):
Просто помогающий мне уважаемый Munin проэкзаменовал меня на знание математически точной стороны вопроса

Вообще-то цель была другая: навести на понимание. Вижу, что она не достигнута.

Anton_Peplov в сообщении #1037447 писал(а):
Ну а теперь, когда мы выяснили, что формулы я знаю и даже понимаю, откуда они берутся, можем мы перейти к наглядной интерпретации?..
Munin, как Ваше мнение, удобен ли этот пример или нужно подобрать что-то другое?

Я вам указал наглядную интерпретацию, но раз она вам оказалась не нужна, то умолкаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение16.07.2015, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Что ж, я понимаю, как утомительно со мной возиться на протяжении четырех страниц. Дайте, тогда, пожалуйста, ответ на простой вопрос. Ответ односложный: да или нет.

Пусть есть запаянный сосуд с жидкостью. Жидкость из него не выливается и в него не вливается, потому что он запаян. А вот внутри могут быть всякие течения - допустим, там стоят насосы, или сосуд снаружи пинают ногами, или еще что-нибудь.
Распределение плотности жидкости по точкам сосуда задается функцией $\rho (x, y, z, t)$.

Допустим теперь, что в точке $M_0 = (x_0, y_0, z_0)$ в любой момент времени выполнено условие $\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0$. Я понимаю так, что в точку $M_0$ втекает столько же жидкости, сколько и вытекает из нее. Вопрос: это верно или неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение16.07.2015, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Anton_Peplov в сообщении #1037682 писал(а):
Допустим теперь, что в точке $M_0 = (x_0, y_0, z_0)$ в любой момент времени выполнено условие $\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0$. Я понимаю так, что в точку $M_0$ втекает столько же жидкости, сколько и вытекает из нее. Вопрос: это верно или неверно?

Верно.

Само по себе это условие говорит о том, что жидкость в точке не накапливается (не уплотняется), и не тратится (не разуплотняется).

По условию непрерывности, это одновременно означает условие $\operatorname{div}\vec{\jmath}=0.$ А вот это условие как раз говорит, что в пространстве потоки устроены так, что сколько втекает в точку, столько и вытекает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение производной
Сообщение16.07.2015, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Да, это я и имел в виду.
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 59 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group