Рассмотрим алгоритм на простейшем примере:

-- линейные операторы,

.
Условие полной интегрируемости системы

следующее
![$[A_i,A_j]x=0,\quad \forall x$ $[A_i,A_j]x=0,\quad \forall x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/4/b4465bed2b3734a67f58f8281a98d41882.png)
. Предположим, что это условие выполнено не тождественно, а лишь на некотором подпространстве. Тогда решение, если оно существует, должно содержаться в этом подпространстве, а значит векторные поля

должны касаться данного подпространства . Мы получаем систему уравнений
![$$B_{ij}x=0,\quad B_{ij}A_kx=0,\quad B_{ij}=[A_i,A_j].$$ $$B_{ij}x=0,\quad B_{ij}A_kx=0,\quad B_{ij}=[A_i,A_j].$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/b/3db801568c42ca45730bea567594cd7a82.png)
Рассуждая аналогично, мы получаем следующую систему

И так далее. Пространства решений этих систем вожены друг в друга. Поэтому последовательность этих пространств стабилизируется через конечное число шагов. Если она стабилизируется к

, то исходная система имеет только нулевое решение. Если эта последовательность стабилизируется к пространству

, то для каждого

система ДУ имеет решение и при том единственное. ПОскольку система ДУ вполне интегрируема на

.