Параллельный перенос вдоль пути на поверхности

[Oleg Zubelevich]

всетаки итерационный процесс нужен, и понятно как задачу решать, а красивого результата здесь нет

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим алгоритм на простейшем примере: $v_k(x)=A_kx,\quad A_k:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$ -- линейные операторы, $ k=1,\ldots,n$.

Условие полной интегрируемости системы

$$\frac{\partial x}{\partial t^k}=A_kx$$

следующее $[A_i,A_j]x=0,\quad \forall x$. Предположим, что это условие выполнено не тождественно, а лишь на некотором подпространстве. Тогда решение, если оно существует, должно содержаться в этом подпространстве, а значит векторные поля $v_k$ должны касаться данного подпространства . Мы получаем систему уравнений

$$B_{ij}x=0,\quad B_{ij}A_kx=0,\quad B_{ij}=[A_i,A_j].$$

Рассуждая аналогично, мы получаем следующую систему

$$B_{ij}x=0,\quad B_{ij}A_kx=0,\quad B_{ij}A_kA_lx=0$$

И так далее. Пространства решений этих систем вожены друг в друга. Поэтому последовательность этих пространств стабилизируется через конечное число шагов. Если она стабилизируется к $\{0\}$, то исходная система имеет только нулевое решение. Если эта последовательность стабилизируется к пространству $L,\quad \dim L\ge 1$, то для каждого $x\in L$ система ДУ имеет решение и при том единственное. ПОскольку система ДУ вполне интегрируема на $L$.

[Утундрий]

Кстати, есть родственная задача нахождения тетрады по заданной спиновой связности. Но там заданы только роторы и как записать условия интегрируемости совсем не ясно.

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #1028436 писал(а):

о для каждого $x\in L$ система ДУ имеет решение и при том единственное. ПОскольку система ДУ вполне интегрируема на $L$.

в смысле для каждого начального условия $x(0)\in L$ имеет решение и при том единственное. Для $x(0)\notin L$ решений нет

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1028436 писал(а):

Пространства решений этих систем вожены друг в друга. Поэтому последовательность этих пространств стабилизируется через конечное число шагов.

Не более чем какое?

[Oleg Zubelevich]

это очевидно, не более чем $m$

[Munin]

Вам очевидно, а для меня это всё на незнакомом языке, и по ходу дела я несколько раз теряю нить. Спасибо.

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1028453 писал(а):

есть родственная задача нахождения тетрады по заданной спиновой связности. Но там заданы только роторы и как записать условия интегрируемости совсем не ясно.

Откопал: topic68569.html (удобная всё же штука - поиск кем-то определённым созданных тем)