Есть ли польза от монополя?

[fizeg]

epros

epros в сообщении #1026760 писал(а):

электромагнитное поле уже нельзя будет описывать антисимметричным тензором напряжённостей

Антисимметричным ничего не мешает. Вот представить его как $F=dA$ действительно нельзя, не введя сингулярность - так называемую нить Дирака. Если же речь про Великое объединение, то электродинамика получается в результате спонтанного нарушения намного большей калибровочной группы, $SO(10)$ например. В этом случае конфигурация получается гладкой именно в смысле исходного GUT-поля.

[epros]

fizeg в сообщении #1026858 писал(а):

Антисимметричным ничего не мешает. Вот представить его как $F=dA$ действительно нельзя

А, точно, это я допустил невнимательность: Дивергенция-то от тензора напряжённостей равна нулю только если он -- ротор векторного потенциала...

fizeg в сообщении #1026858 писал(а):

не введя сингулярность - так называемую нить Дирака

А, про "причёсывание ежа" и про нить Дирака я что-то слышал. Но, честно говоря, не очень хорошо понимаю как эта нить Дирака будет выглядеть с точки зрения электродинамики.

[Munin]

Очень просто: потенциала там нет, а напряжённость обыкновенная.

[epros]

Munin в сообщении #1026881 писал(а):

потенциала там нет, а напряжённость обыкновенная

А как это спасёт от неисполнения закона $\operatorname{div} B = 0$? Я ещё могу понять, если через эту самую нить Дирака утекает излишек дивергенции магнитного поля. Хотя это тоже выглядит странно.

[Munin]

epros в сообщении #1026885 писал(а):

А как это спасёт от неисполнения закона $\operatorname{div} B = 0$?

А в чём смысл говорить про магнитные монополи, и одновременно про этот закон? Я что-то не понимаю.

epros в сообщении #1026885 писал(а):

Я ещё могу понять, если через эту самую нить Дирака утекает излишек дивергенции магнитного поля.

Ну да, именно так и происходит.

[epros]

Munin в сообщении #1026898 писал(а):

А в чём смысл говорить про магнитные монополи, и одновременно про этот закон? Я что-то не понимаю.

Ну, получается, что электродинамика становится другой: Если электромагнитное поле -- уже не вектор, то, например, как в пространстве без токов вывести волновое уравнение?

Munin в сообщении #1026898 писал(а):

Ну да, именно так и происходит.

Т.е. в этой модели закон нулевой дивергенции B всё-таки работает? Как я понимаю, это не должно остаться без экспериментально обнаружимых последствий. Например, если нить Дирака существует и в ней собрано в пучок магнитное поле, то заканчиваться она должна на втором монополе, и при этом данная нить должна создавать между этими двумя монополями неслабое натяжение.

[Munin]

epros в сообщении #1026949 писал(а):

Ну, получается, что электродинамика становится другой: Если электромагнитное поле -- уже не вектор, то, например, как в пространстве без токов вывести волновое уравнение?

Почему не вектор? Всё вектор.

Вот смотрите. В 3-мерном виде:

$$\begin{aligned}\operatorname{div}\mathbf{E}&=4\pi\rho & \operatorname{rot}\mathbf{E}&=-\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}_\mathrm{m}-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{H}}{\partial t} \\\operatorname{div}\mathbf{H}&=4\pi\rho_\mathrm{m} & \operatorname{rot}\mathbf{H}&=\hphantom{-}\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}_{\hphantom{\mathrm{m}}}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}, \\\end{aligned}$$

в 4-мерном:

$$\begin{aligned}\partial_\mu F^{\mu\nu}&=4\pi j^\nu & \partial_\mu G^{\mu\nu}&\equiv\partial_\mu(\tfrac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma})=4\pi j_\mathrm{m}^\nu \\d\mathop{*}F&=4\pi j & dF&=4\pi j_\mathrm{m}. \\\end{aligned}$$

Отсюда, конечно, следует, что потенциал ввести нельзя, но любые уравнения, не включающие потенциала, будут выполняться: уравнения непрерывности

$$\begin{aligned}\operatorname{div}\mathbf{j}+\dfrac{\partial\rho}{\partial t}&=0 & \operatorname{div}\mathbf{j}_\mathrm{m}+\dfrac{\partial\rho_\mathrm{m}}{\partial t}&=0, \\\end{aligned}$$

волновые уравнения

$$\begin{aligned}\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{E}-\Delta\mathbf{E}&=-\dfrac{4\pi}{c^2}\dfrac{\partial}{\partial t}\mathbf{j}_{\hphantom{\mathrm{m}}}-4\pi\operatorname{grad}\rho_{\hphantom{\mathrm{m}}}-\dfrac{4\pi}{c}\operatorname{rot}\mathbf{j}_\mathrm{m} \\\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{H}-\Delta\mathbf{H}&=-\dfrac{4\pi}{c^2}\dfrac{\partial}{\partial t}\mathbf{j}_\mathrm{m}-4\pi\operatorname{grad}\rho_\mathrm{m}+\dfrac{4\pi}{c}\operatorname{rot}\mathbf{j} \\\partial^2 F^{\mu\nu}&=4\pi\bigl((\partial^\mu j^\nu-\partial^\nu j^\mu)-\tfrac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(\partial_\rho j_\mathrm{m}_\sigma-\partial_\sigma j_\mathrm{m}_\rho)\bigr) \\\Delta F&=-4\pi(d\mathop{*}j+\mathop{*}d\mathop{*}j_\mathrm{m}) \\\end{aligned}$$

Выражения для плотности и потока энергии и импульса вообще останутся теми же самыми - токи в них не входят. Заряды передают в поле мощность

$$-\int(\,\mathbf{j\mspace{1mu}E}+\mathbf{j}_\mathrm{m}\mathbf{H})\,dV,$$

в 4-мерном виде (локально)

$$\partial_\nu T_\mu^\nu=-F_{\mu\nu}j^\nu-G_{\mu\nu}j_\mathrm{m}^\nu.$$

-- 14.06.2015 16:40:09 --

epros в сообщении #1026949 писал(а):

Т.е. в этой модели закон нулевой дивергенции B всё-таки работает?

В обобщённых функциях - да. Потому что монополь и выходящая из него нить бесконечно тонкие.

Я говорю немножко о другой модели - с "истинными" монополями. В ней не работает.

В модели с монополем Дирака наблюдать нить нельзя, она не приводит ни к каким наблюдаемым явлениям, так что это "работает" - экспериментально всё равно что "не работает" в описанной мной модели.

epros в сообщении #1026949 писал(а):

Например, если нить Дирака существует и в ней собрано в пучок магнитное поле, то заканчиваться она должна на втором монополе, и при этом данная нить должна создавать между этими двумя монополями неслабое натяжение.

В модели с "истинными" монополями этого натяжения нет. И скажем, в монополях-квазичастицах, которые удалось получить в кристаллах, его тоже нет. А если это натяжение позволить, то монополи слипнутся обратно в диполи, просто моментально.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #1027011 писал(а):

в 4-мерном:

$$\begin{aligned}\partial_\mu F^{\mu\nu}&=4\pi j^\nu & \partial_\mu G^{\mu\nu}&\equiv\partial_\mu(\tfrac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma})=4\pi j_\mathrm{m}^\nu \\d\mathop{*}F&=4\pi j & dF&=4\pi j_\mathrm{m}. \\\end{aligned}$$

Отсюда, конечно, следует, что потенциал ввести нельзя, но любые уравнения, не включающие потенциала, будут выполняться

Потенциала $A_{\mu}$ не может не быть. Это связность. Для ковариантного дифференцирования.

Да, кстати, Вы ещё одну звёздочку Ходжа забыли написать, правильно так:

$$ {*d*} F = 4\pi j $$

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1027741 писал(а):

Потенциала $A_{\mu}$ не может не быть. Это связность. Для ковариантного дифференцирования.

Ну значит, ковариантного дифференцирования не будет.

Хотя да, это плохо...

SergeyGubanov в сообщении #1027741 писал(а):

Да, кстати, Вы ещё одну звёздочку Ходжа забыли написать

Не забыл, а не написал. Есть два варианта: в одном $j$ понимается как 1-форма, в другом - как 3-форма. Физически логичней второй, поскольку тогда $j$ оказывается правильного поведения в смысле плотности.

-- 16.06.2015 14:55:39 --

В целом, я здесь не уверен:

Munin в сообщении #1027011 писал(а):

$$\Delta F&=-4\pi(d\mathop{*}j+\mathop{*}d\mathop{*}j_\mathrm{m})$$

что не напортачил в знаках.

[V_V_V]

Пользы нет никакой. Тут гений (Дирак) ошибся

profrotter:
Бан на две недели за бессодержательные сообщения и троллинг у пользователя уже был. Теперь на месяц.

[Munin]

Munin в сообщении #1027783 писал(а):

Ну значит, ковариантного дифференцирования не будет. Хотя да, это плохо...

Боюсь, это страшная проблема. Вспоминая Ааронова-Бома, это приведёт к тому, что любая квантовая волновая функция будет просто не знать, как вести себя в окрестностях "нового" магнитного поля, а раз монополь в свою очередь может заполнять собой всё пространство (как квантовая частица), то это значит, что мы ничего не знаем о том, как записать волновую функцию электрона в присутствии монополя.

Зато с монополем Полякова-'т Хоофта - никаких проблем! Надо заново про калибровочные поля перечитать...

[Nirowulf]

SergeyGubanov в сообщении #1027741 писал(а):

Потенциала $A_{\mu}$ не может не быть. Это связность. Для ковариантного дифференцирования.

Если нас не волнует калибровочная инвариантность, то нам связность и не особо нужна. Ограничиваясь классикой достаточно модифицированных уравнений Максвелла. А вот если тронуть квантовые дела, то всё станет гораздо хуже, как верно отметил Munin.

[SergeyGubanov]

Лагранжиан для такого модифицированного $F_{\mu \nu}$ какой будет?

[fizeg]

Я тем временем набрел на идею Каббибо-Феррари (1962), о которой раньше как-то не слышал и не в курсе, можно ли до чего-либо интересного с ней дойти. Давайте не будем мучиться со всякими струнами Дирака, а возьмем ДВА потенциала $A$ и $B$ и соберем из них тензор напряженностей как
$F=dA-\star dB$
что очевидно срабатывает только в случае 4-мерного пространства-времени. Тогда уравнения Максвелла получаются красиво симметричными,
$\star d\star F=\star d\star dA = J^{(e)}$
$\star dF=-\star d\star dB = -J^{(m)}$

Просто шикарно. Вот теперь и вопросик как же написать это в лагранжевой форме? Как это применить к теории поля? Наивный способ, взять
$-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+J^{(e)}_\mu A^\mu +J^{(m)}_\mu B^\mu$
дает написанные выше уравнения Максвелла. Однако электрические заряды чувствуют только $A$, а магнитные только $B$. Такая модель будет целиком и полностью эквивалентна просто двум никак не влияющим друг на друга электромагнитным полям, одно построенное из $A$, другое из $B$.

Каббибо и Феррари делали все через Мандельштамовский подход, в котором фигурирует только $F_{\mu\nu}$ (ценой потери локальности и ввода вспомогательных контуров интегрирования) Здесь поступают, кажется, эквивалентным образом, цепляя токи не к самим потенциалам, а к потенциалам с нелокальной добавкой от другого.
$\mathcal{A}^\mu=A^\mu+\frac{1}{2}\int\limits_P^x\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\partial_\alpha B_\mu dy_\nu$
$\mathcal{B}^\mu=B^\mu-\frac{1}{2}\int\limits_P^x\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\partial_\alpha A_\mu dy_\nu$
Я бы не сказал, чтобы то, что оттуда вылезает именно желаемая электродинамика, было для меня очевидным.

-- 18.06.2015, 21:08 --

Munin

Munin в сообщении #1027783 писал(а):

Есть два варианта: в одном $j$ понимается как 1-форма, в другом - как 3-форма. Физически логичней второй, поскольку тогда $j$ оказывается правильного поведения в смысле плотности.

хм, возможно и правда логичней (и закон сохранения тогда просто $dJ^{(3)}=0$), но как-то умудрился с самого начала привыкнуть к 1-форме. Один индекс - 1-форма, такое примитивное мышление Плюс как-то лично мне проще, когда в $J$ входит только сам ток, без всяких $\sqrt{-g}$

[Munin]

fizeg в сообщении #1028638 писал(а):

$\mathcal{A}^\mu=A^\mu+\frac{1}{2}\int\limits_P^x\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\partial_\alpha B_\mu dy_\nu$
$\mathcal{B}^\mu=B^\mu-\frac{1}{2}\int\limits_P^x\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\partial_\alpha A_\mu dy_\nu$
Я бы не сказал, чтобы то, что оттуда вылезает именно желаемая электродинамика, было для меня очевидным.

Интересная мысля. Теперь это надо подставить в ковариантные производные.

fizeg в сообщении #1028638 писал(а):

Плюс как-то лично мне проще, когда в $J$ входит только сам ток, без всяких $\sqrt{-g}$

А что такое для вас ток? Точечные частицы? Вот от этого и надо избавляться, ток - это выражение, слепленное из волновых функций :-) Тогда и $\sqrt{-g}$ все уйдут.

(Про два варианта я прочитал банально в Википедии...)

-- 18.06.2015 20:31:19 --

fizeg в сообщении #1028638 писал(а):

...дает написанные выше уравнения Максвелла. Однако электрические заряды чувствуют только $A$, а магнитные только $B$.

Отсюда вывод: недостаточно добиваться уравнений Максвелла, надо добиваться ещё и силы Лоренца (или сразу полного лагражиана).