закон о сохранении энергии

[gienna]

Уважаемые посетители форума, прошу извинить за ликбез.
Ответ на пост г. TRINITI от Пт Дек 21, 2007 20:54:40

Магнитное поле характеризуется полем векторов магнитной индукции В. Т.е., локально, в точке x,y,z, пространства - вектором

\[ \vec B_{x,y,z} \]

или объемной плотностью энергии

\[ w_{x,y,z} = \frac{1}{2}\mu _0 B_{x,y,z}^2 \]

, а в плоскости x,y – магнитным потоком

\[ d\Phi _{x,y} = B_{x,y} dS \]

. Интегрально – энергией магнитного поля, заключенной в объеме V,

\[ W = \frac{1}{2}\mu _0 \int\limits_V {B_{x,y,z}^2 } dV \]

или магнитным потоком, пересекающим поверхность S,

\[ \Phi _s = \int\limits_S {B_{x,y} dS} \]

.
Рассмотрим магнитный поток, пересекающий поверхность ABCD, который создавается двумя длинными параллельными проводниками 1 и 2 радиусом ρ с током I, текущим в противоположных направлениях (Рис.1). При этом, в первом случае проводник 2 находится на расстоянии R от проводника 1 (точки B, C), а во втором – на расстоянии r (точки E, F); при этом r < R, т.е. проводники сближаются.


Рис. 1
Магнитный поток, пересекающий прямоугольную поверхность

\[ S = \Delta l(r_2 - r_1 ) \]

при

\[ \vec B \bot S \]

будет равен:

\[ \Phi _s = \Delta l\int\limits_{r_1 }^{r_2 } {B_r dr} = \Delta l\frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}2I\int\limits_{r_1 }^{r_2 } {\frac{{dr}}{r}} = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}2I\Delta l\left[ {\ln r} \right]_{r_1 }^{r_2 } = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}2I\Delta l\ln \frac{{r_2 }}{{r_1 }} \]

(считаем

\[ \Delta l < < L \]

, где L – длина проводников).
Кстати, из этой формулы видно, что значение

\[ r_1 \]

не должно быть равно нулю, а

\[ r_2 \]

- бесконечности, так как при этом поток равен бесконечности. Можно, конечно, учесть распределение индукции внутри проводника, перейдя от тока к плотности тока, но с другим пределом ничего сделать нельзя – логарифм бесконечности равен бесконечности. Так как здесь задачей является определение изменения магнитного потока при совмещении проводников (увеличивается он или уменьшается), то можно ограничиться рассмотрением изменения потока, пересекающего прямоугольник ABCD, расположенный на плоскости, в которой лежат проводники 1 и 2 и стороной (AD) которого является участок проводника 1 длиной Δl.
Теперь рассмотрим как изменяется суммарный магнитный поток, пересекающий ABCD при перемещении проводника 2 из первой позиции (расстояние R от проводника 1) во вторую позицию (расстояние r от проводника 1). При этом линия AD проходит на расстоянии ρ от оси проводника.
Согласно принципу суперпозиции полей, потоки, создаваемые проводниками складываются (в плоскости, в которой лежат проводники 1 и 2, вектора В1 и В2 параллельны). В первом случае потоки, пересекающие ABCD складываются (а, в той же плоскости, слева от проводника 1 и справа от проводника 2 – вычитаются). Во втором случае – потоки, пересекающие AEFD складываются, а пересекающие EBCF – вычитаются.
1. Проводник 2 в первой позиции (на расстоянии R от проводника 1):

\[ \Phi _{\Sigma _1 } = \Phi _{ABCD} = \Phi _1 + \Phi _2 = 2\frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}2I\Delta l\ln \frac{R}{\rho } = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}2I\Delta l\ln \frac{{R^2 }}{{\rho ^2 }} \]

.
2. Проводник 2 во второй позиции (на расстоянии r от проводника 1):

\[ \Phi _{\Sigma _2 } = \Phi _{ABCD} = \Phi _{AEFD} + \Phi _{EBCF} \]

,

\[ \Phi _{AEFD} = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}2I\Delta l\ln \frac{{r^2 }}{{\rho ^2 }} \]

,

\[ \Phi _{EBCF} = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}2I\Delta l\left( {\ln \frac{R}{r} - \ln \frac{{R - r + \rho }}{\rho }} \right) = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}2I\Delta l\left( {\ln \frac{{R\rho }}{{r(R - r + \rho )}}} \right) \]

, тогда

\[ \Phi _{\Sigma _2 } = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}2I\Delta l\left( {\ln \frac{{R\rho }}{{r(R - r + \rho )}} + \ln \frac{{r^2 }}{{\rho ^2 }}} \right) = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}2I\Delta l\left( {\frac{{Rr}}{{(R - r + \rho )\rho }}} \right) \]

.
Определим относительное изменение потока при перемещении проводника из первой позиции во вторую:

\[ n = \frac{{\Phi _{\Sigma _2 } }}{{\Phi _{\Sigma _1 } }} = \frac{{\ln \left( {\frac{{Rr}}{{(R - r + \rho )\rho }}} \right)}}{{\ln \left( {\frac{{R^2 }}{{\rho ^2 }}} \right)}} = \frac{{\ln \left( {\frac{1}{{(\frac{R}{r} - 1 + \frac{\rho }{r})}}\frac{R}{\rho }} \right)}}{{\ln \left( {\frac{{R^2 }}{{\rho ^2 }}} \right)}} \]

. Так как

\[ \frac{R}{\rho } > > 1 \]

и

\[ \frac{R}{r} > 1 \]

, то

\[ n_{r < R} = \frac{{\Phi _{\Sigma _2 } }}{{\Phi _{\Sigma _1 } }} < 1 \]

; это значит, что магнитный поток, пересекающий ABCD при приближении проводника 2 к проводнику 1 убывает. Например, предположим, что

\[ \frac{R}{\rho } = 100 \]

, а

\[ \frac{R}{r} = 10 \]

, тогда

\[ n = \frac{{\Phi _{\Sigma _2 } }}{{\Phi _{\Sigma _1 } }} \approx 0.22 \]

. В пределе, при

\[ r = R \]

,

\[ \frac{{\Phi _{\Sigma _2 } }}{{\Phi _{\Sigma _1 } }} = 1 \]

; и при

\[ r = \rho \]

(когда проводники сведены вплотную),

\[ n = \frac{{\Phi _{\Sigma _2 } }}{{\Phi _{\Sigma _1 } }} \to 0 \]

.
Следовательно, увеличение индукции в промежутке между проводниками (за счет уменьшения расстояния между ними) не компенсирует уменьшение индукции за проводником 2 и магнитный поток, пересекающий выделенную поверхность ABCD уменьшается.
Это значит, что магнитное поле при совмещении проводников ослабляется, что, собственно и предполагалось (что, вобще-то, давно известно и очевидно).
В то же время сила, действующая на отрезок проводника Δl по мере сближения проводников возрастает:

\[ F_r = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I^2 }}{r}\Delta l \]

и, при перемещении проводника из r2 в r1, прикладывается работа

\[ A = \int\limits_{r_2 }^{r_1 } {F_r dr} \]

.
Эффект ослабления (компенсации) магнитного поля при совмещении проводников с противоположно направленными токами давно и с успехом используется в бифилярных обмотках для получения катушек с очень малой индуктивностью, в частности, безъиндуктивных сопротивлений.
Энергия же магнитного поля (полная, учитывающая все элементы контура) определяется по формуле

\[ W = \frac{{LI^2 }}{2} \]

, где L – индуктивность. Таким образом, в бифилярных обмотках совмещение проводников позволяет уменьшить индуктивность до малых значений, что означает соответствующее уменьшение энергии магнитного поля.
[/img]

[VAS]

По поводу закона сохранения энергии у меня возникли сомнения, или я чего-то не понимаю. Суть вопроса вот в чем. Возьмем конденсатор и зарядим его от любого источника питания и отключим его. Энергия, накопленная в конденсаторе равна половине произведения напряжения и заряда полученного конденсатором. Возьмем второй конденсатор равный по емкости с первым и подсоединим его к первому.Напряжение на двух конденсаторах уменьшиться вдвое, так как заряд, получаемый конденсатором равен произведению емкости конденсатора на приложенное напряжение, заряд для двух конденсаторов остается неизменным, увеличилась суммарная емкость. В результате, энергия, накопленная в двух конденсаторах, будет в два раза меньше, чем было в одном. Куда исчезла энергия? Проверял на опыте, все подтверждается. Стоит только присоединить второй конденсатор, и энергия пропала притом безвозвратно. Если не сложно, объясните куда?

[Sergiy_psm]

VAS писал(а):

Возьмем второй конденсатор равный по емкости с первым и подсоединим его к первому

Как присоединим, паралельно или последовательно?

VAS писал(а):

увеличилась суммарная емкость.

Увеличится емкость или уменьшится зависит от того как вы их соединили. Если паралельно, то увеличится, если последовательно - то уменьшится.

Добавлено спустя 46 минут 27 секунд:

Если я вас правильно понял, то у вас сначала был конденсатор емкостью $C$, который вы подключили к источнику напряжением $U$. Заряд на пластинах коденсатора $q =C \cdot U$. Потом отключив от иcточника, вы паралельно подсоединили второй конденсатор такой же $C$. Заряд каждого конденсатора стал равен $\frac{q}{2}$, а измеренное напряжение системы $\frac{U}{2}$. Вас смущает то, что сначала энергия конденсатора была $W_1=\frac{q \cdot U}{2}$, а после $W_2=\frac{q \cdot U}{4}$. Но учтите, что заряд - величина, которая сохраняется локально. Если в одном месте он убывает, то из этого места течет ток (уравнение сохранения заряда $div \vec j = - \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}$). А раз при распределении зарядов прошел ток, то энергия потерялась в виде джоулева тепла, т.е. как раз половина и исчезла.

[vdolgoshey]

Как бы там не было с превращением энергии эл. поля в джоулево тепло, а заряд должен сохраняться.

[Sergiy_psm]

vdolgoshey писал(а):

а заряд должен сохраняться.

Несомненно...

[VAS]

[quote="Sergiy_psm"]А раз при распределении зарядов прошел ток, то энергия потерялась в виде джоулева тепла, т.е. как раз половина и исчезла.[/quote]

При прохождении тока по проводнику энергия в виде джоулевого тепла выделяется в том случае, если есть падение напряжения на концах проводника. В случае с двумя конденсаторами разница потенциалов на концах проводников соединяющие конденсаторы равна нулю. Значит, энергия не может теряться на проводниках (или теряется незначительно на собственном сопротивлении проводников, если использовать сверхпроводники, то тепловых потерь не будет)

[Sergiy_psm]

VAS писал(а):

...если есть падение напряжения на концах проводника.

Конечно! Сначала у вас и была разность потенциалов. Иначе заряды на перераспределились бы. Потенциалы выровнялись, ток исчез.

VAS писал(а):

если использовать сверхпроводники

Учтите, что проводники имеют индуктивность. Тогда в случае идеального проводника, у вас бы получится колебательный контур, в котором энергия из электрического поля будет перетекать в магнитное поле и так далее. Но у вас случай реальный, а в любом реальном колебательном контуре энергия из системы уходит.