Что такое дифференциал?

[g______d]

indonata в сообщении #1014818 писал(а):

в чем же проблема, с чем вы не согласны

Во-первых, вы так и не дали определения дифференциала, ограничившись словом "часть". Что такое "главная линейная часть"? Число? Набор чисел? Вектор? Отображение? Линейный оператор? Функция? Если функция, то откуда куда? Вам, наверное, кажется очевидным, ну вот и напишите.

Ну и что $dx=\Delta x$. В данном конкретном случае это похожие вещи (хотя и разные), но в общем случае это очень разные вещи, которые преобразуются по-разному при заменах переменной.

Их, в принципе, легко спутать, потому что и область определения, и область значений, и касательное, и кокасательное пространство -- всё $\mathbb R$, но попробуйте то же самое сделать, например, для функций на окружности.

-- Ср, 13 май 2015 18:47:39 --

Я, кстати, повторяюсь. Даже в этой теме всё это есть, написанное другими. Тем с тем же содержанием здесь есть ещё несколько. Мне всё-таки кажется, что вы только первое сообщение и прочитали (в котором эти задачи были риторическими).

[Munin]

g______d в сообщении #1014795 писал(а):

Бывают формы, являющиеся и не являющиеся полными дифференциалами.

А речь не о формах.

g______d в сообщении #1014795 писал(а):

Вопрос о том, является или не является данное выражение полным дифференциалом -- это в чистом виде вопрос из теории форм (и вы даже знаете, какой).

Нет, в физике - это другой вопрос. Ну вы что, школьную физику забыли?

g______d в сообщении #1014795 писал(а):

А просто из бесконечной малости вы на этот вопрос ответить не сможете; разве что если будете уже знать ответ

Разумеется. В физике на этот вопрос ответ известен совершенно другим способом.

g______d в сообщении #1014795 писал(а):

В современной теорфизике диф. формы на каждом шагу.

Я в курсе. Но точно так же на каждом шагу - "старые дифференциалы", и причём не только ещё чаще - но и шире, чем в теорфизике. Они охватывают и "общую физику", и экспериментальную, и прикладную. Это общий язык для всех физиков. И даже шире, он же - общий язык для физиков и инженеров.

А без диф.форм даже прожить можно - пользуясь тензорным языком и понятием инвариантности. И немалая часть теорфизики так и делается - хотя такие авторы могут и "не подозревая того, говорить прозой".

g______d в сообщении #1014795 писал(а):

Но ладно, про физику -- это здесь вообще оффтоп (хотя я в целом готов продолжить дискуссию). Моё изначальное высказывание было в том, что в современной математике (в той, в которой теоремы доказываются) определение дифференциала уже зафиксировано.

Ну, математика - это не вещь в себе. Я хочу напомнить, что преподавание математики обслуживает в подавляющем большинстве не будущих профессиональных математиков, а будущих профессиональных физиков, инженеров, программистов, а школьное - так и вообще всех. А вопрос задан в "Вопросах преподавания". Так что хочешь - не хочешь, а придётся обсуждать вопрос не только "что такое дифференциал для той математики, в которой теоремы доказываются", но и "что такое дифференциал в той математике, которая мосты и турбины рассчитывает". Надеюсь, вы от этого не отвернётесь.

g______d в сообщении #1014795 писал(а):

Причём оно, действительно, является формализацией понятия "бесконечно малого приращения" и аппаратом для сравнения разных бесконечно малых приращений друг с другом.

Вот мне это не очевидно. Проблема возникает в ситуации, когда нематематик привык говорить $dx=(\text{какому-то числу}).$ (Конечному ненулевому.) Ваша формализация

g______d в сообщении #1014264 писал(а):

внешний дифференциал $p$-формы или дифференциал отображения многообразий как отображение между касательными пространствами

это явно запрещает.

Разрешите мне такое словоупотребление (придав ему смысл, как вам захочется, только достаточно легко объясняемый) - и мои претензии исчезнут. Потом останется только распространить этот смысл по всем учебникам математики для нематематиков.

g______d в сообщении #1014795 писал(а):

И да, где-то в физике дифференциалом называют просто некоторую инфинитезимальную величину. По-видимому, это обусловлено тем, что (нестрогое) понятие дифференциала было популярно в 19 веке и было единственным языком, на котором можно говорить о бесконечно малых. Но это не значит, что математики должны делать так же; как только определение эволюционировало до строгого, стало понятно, что дифференциал -- это не всякая бесконечно малая величина.

Нет, я как раз настаиваю, что математики должны делать так же: такое (нестрогое) понятие быстро "пошло в народ" и стало использоваться намного шире, чем в узком сообществе математиков, и после этого некорректным было менять смысл уже используемого термина. Вместо этого, математики, эволюционируя свои понятия, должны были дать им другое название. С чем нет никакой проблемы.

Но допустим, эта огромная ошибка была уже совершена, в начале (или середине?) 20 века, и ситуацию уже не изменить, "заиграно". Тогда встаёт вопрос, как её исправить, и тут я вижу то, что писал выше: математики должны всерьёз прислушаться к претензиям нематематиков, и вернуть отнятое: предоставить средства обращаться с дифференциалом так, как нематематики и привыкли. Уточняя нюансы и вводя строгость, но не отнимая методов вычислений - ведь они уже задействованы, они нужны ежедневно.

g______d в сообщении #1014802 писал(а):

Не знаю, лично я понимаю это именно как $d(x^n)$. Потому что что такое $(dx)^n$? На 1-формах стандартное умножение внешнее, и $(dx)^n$ по отношению к нему просто равно нулю.

Ну вот, видите, у вас уже трудности со стандартными (у физиков и техников) обозначениями. На 1-формах, может быть, умножение и внешнее, но $(dx)^n$ понимается в смысле тензорного - потому что значки $\otimes$ слишком загромождают выкладки :-)

g______d в сообщении #1014820 писал(а):

Во-первых, вы так и не дали определения дифференциала, ограничившись словом "часть". Что такое "главная линейная часть"? Число? Набор чисел? Вектор? Отображение? Линейный оператор? Функция? Если функция, то откуда куда? Вам, наверное, кажется очевидным, ну вот и напишите.

Хоспади, да subformula же, она же линейная функция, не придирайтесь по мелочам.

[g______d]

Munin в сообщении #1015083 писал(а):

Нет, в физике - это другой вопрос. Ну вы что, школьную физику забыли?

Я не помню, что у меня по этому поводу было в школе, но в университете на физике в разных местах встречалась задача типа "дано выражение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$. Является ли оно полным дифференциалом". По-моему, на механике это было, на термодинамике и стат. физике, и даже на лабах. Более того, про необходимое условие (равенство перекрёстных производных) я, кажется, первый раз на физике и услышал. Ну и что, будете дальше говорить, что к формам это не имеет отношения?

Munin в сообщении #1015083 писал(а):

Разрешите мне такое словоупотребление (придав ему смысл, как вам захочется, только достаточно легко объясняемый) - и мои претензии исчезнут. Потом останется только распространить этот смысл по всем учебникам математики для нематематиков.

Вычисление значения формы на касательном векторе. Но вообще, по-моему, полезно задуматься, есть ли какой-то инвариантный смысл в фразе "$dx=2$" и если есть, то какой.

Munin в сообщении #1015083 писал(а):

ет, я как раз настаиваю, что математики должны делать так же

Вы серьёзно? Любую инфинитезимальную величину называть дифференциалом? А $\varepsilon$ и $\delta$ тоже дифференциалы? И константа связи в теории возмущений?

Даже в самых плохих курсах анализа так не делают. И хорошие физики тоже так не делают.

Munin в сообщении #1015083 писал(а):

На 1-формах, может быть, умножение и внешнее, но $(dx)^n$ понимается в смысле тензорного - потому что значки $\otimes$ слишком загромождают выкладки

В смысле? Именно $(dx)^n$ ни разу не видел. Что это? $dx\otimes\ldots\otimes dx$? Но это очень специальная вещь. А если это $dx^1\otimes \ldots\otimes dx^n$, то оно стандартно обозначается $d^n x$ или даже просто $dx$ (с комментарием).

[arseniiv]

Надо признать, насчёт $(dx)^n$ я имел в виду только знаменатель и всякие вторые-дифференциалы-которые-неправильные.

[Munin]

g______d в сообщении #1015166 писал(а):

Я не помню, что у меня по этому поводу было в школе, но в университете на физике в разных местах встречалась задача типа "дано выражение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$. Является ли оно полным дифференциалом".

А, не, это не та задача.

Ситуация такая. Есть пространство состояний, скажем, $M.$ Есть функции состояния $f(m).$ А есть эволюция системы в пространстве $M\times R,$ где ещё одна координата обозначает время. Эволюция есть линия $l\subset M\times R.$ Есть функции, определённые на $l,$ и встаёт вопрос о том, являются ли они функциями на $M$ - например, 1-формами на $M$ (не обязательно точными, то есть дифференциалами скалярных функций).

g______d в сообщении #1015166 писал(а):

Вычисление значения формы на касательном векторе.

Даже в случае $dm=\rho\,dV$?

g______d в сообщении #1015166 писал(а):

Но вообще, по-моему, полезно задуматься, есть ли какой-то инвариантный смысл в фразе "$dx=2$" и если есть, то какой.

Нет, в этом - нет никакого. А вот в "$dx=2\text{ мм}$" - есть.

g______d в сообщении #1015166 писал(а):

Вы серьёзно? Любую инфинитезимальную величину называть дифференциалом?

Нет, не любую. Физики же не любую называют.

g______d в сообщении #1015166 писал(а):

В смысле? Именно $(dx)^n$ ни разу не видел. Что это? $dx\otimes\ldots\otimes dx$? Но это очень специальная вещь. А если это $dx^1\otimes \ldots\otimes dx^n$, то оно стандартно обозначается $d^n x$ или даже просто $dx$ (с комментарием).

Физики вообще, если вы заметили, буквой $x$ часто обозначают не всю совокупность координат, а одну координату. А $(dx)^n$ вы не видели потому, что это пишется без скобочек: $dx^n.$ Да, может в знаменателе. А если перевернуть дробь - то в числителе. Где окажется. Не важно. Потому что правила умножения на символы $dx$ действуют как на обычные скалярные величины, а не на дифформы.

[g______d]

Munin в сообщении #1015279 писал(а):

Даже в случае $dm=\rho\,dV$?

О, это хороший пример. Это равенство двух мер. Но мера тоже является 1-формой (точнее, потоком в смысле де Рама).

Munin в сообщении #1015279 писал(а):

А $(dx)^n$ вы не видели потому, что это пишется без скобочек: $dx^n.$ Да, может в знаменателе. А если перевернуть дробь - то в числителе. Где окажется. Не важно. Потому что правила умножения на символы $dx$ действуют как на обычные скалярные величины, а не на дифформы.

Можно, пожалуйста, несколько примеров использования в статьях в приличных журналах?

[Geen]

g______d в сообщении #1015282 писал(а):

точнее, потоком в смысле де Рама

Это, наверное, круто, но в бытность студентом я такого точно не слышал

(это не наезд, если что)

[Munin]

g______d в сообщении #1015282 писал(а):

Но мера тоже является 1-формой (точнее, потоком в смысле де Рама).

А нельзя ли подробней? Каким боком эту формулу вы расшифровываете как равенство двух мер? С каких это пор мера - 1-форма (а не $n$-форма, ну хотя бы)? Какую роль играет символ $d$ в этой интерпретации формулы?

g______d в сообщении #1015282 писал(а):

Можно, пожалуйста, несколько примеров использования в статьях в приличных журналах?

В числителе - не уверен, искать надо. В знаменателе - это даже не журналы, а учебники тоннами.

[g______d]

Geen в сообщении #1015286 писал(а):

(это не наезд, если что)

Я не призываю всем подряд это изучать; кроме того, указанный объект -- очень специальная вещь, не всем нужная. Мой пойнт был в другом. В курсе математического анализа принято давать точные определения. В терминах "множество", "отображение", ...

Как только вы попытаетесь формализовать определение дифференциала, вы придёте к чему-то в стиле post1014311.html#p1014311. Или сразу к общему определению. Посмотрите, что делают Рудин и Зорич.

[Munin]

g______d в сообщении #1015288 писал(а):

Мой пойнт был в другом. В курсе математического анализа принято давать точные определения. В терминах "множество", "отображение", ...

Как только вы попытаетесь формализовать определение дифференциала, вы придёте к чему-то в стиле post1014311.html .

Или, внезапно, к похожему, но другому. Операция формализации не однозначная, знаете ли.

[g______d]

Munin в сообщении #1015287 писал(а):

А нельзя ли подробней? Каким боком эту формулу вы расшифровываете как равенство двух мер? С каких это пор мера - 1-форма (а не $n$-форма, ну хотя бы)? Какую роль играет символ $d$ в этой интерпретации формулы?

Извините, я неправильно написал. Конечно, $n$-форма.

На языке мер -- это теорема Радона-Никодима.

Символ $d$ играет здесь ту же роль, что и в обозначении $dx$ для $dx^1\wedge\ldots \wedge dx^n$.

-- Чт, 14 май 2015 16:18:25 --

Munin в сообщении #1015289 писал(а):

Или, внезапно, к похожему, но другому. Операция формализации не однозначная, знаете ли.

Ну... Можете предложить свою. Только сначала удостоверьтесь, что

1) Ваша формализация -- это действительно формализация с точки зрения современного принятого уровня строгости.
2) Вы достаточно хорошо понимаете существующую формализацию, чтобы сказать, что её недостаточно для нужд физики.
3) Ваша формализация лучше стандартной для нужд физики.

Многие пытались, и то, что сейчас есть, -- это лучшее из того, что известно.

-- Чт, 14 май 2015 16:39:59 --

Munin в сообщении #1015287 писал(а):

В числителе - не уверен, искать надо.

Я про числитель, конечно. Потому что в знаменателе он встречается только в выражении $\frac{d^n}{dx^n}$, которое морально является $\frac{\partial^n}{\partial x^n}$ и заменяется на квадратное $d$ только с целью акцентировать отличие полной производной от частной, не вводя новой функции. И к тензорной степени это не имеет отношения вообще никакого. Это просто степень оператора.

[Munin]

g______d в сообщении #1015290 писал(а):

Извините, я неправильно написал. Конечно, $n$-форма.

Тогда-то понятно.

g______d в сообщении #1015290 писал(а):

Символ $d$ играет здесь ту же роль, что и в обозначении $dx$ для $dx^1\wedge\ldots \wedge dx^n$.

Не знал о существовании такого обозначения.

Но это для $dV.$ А как быть с $dm$? Никаких координат и произведения 1-форм здесь в помине нет.

g______d в сообщении #1015290 писал(а):

Ну... Можете предложить свою. Только сначала удостоверьтесь, что

1) Ваша формализация -- это действительно формализация с точки зрения современного принятого уровня строгости.
2) Вы достаточно хорошо понимаете существующую формализацию, чтобы сказать, что её недостаточно для нужд физики.
3) Ваша формализация лучше стандартной для нужд физики.

Многие пытались, и то, что сейчас есть, -- это лучшее из того, что известно.

Давайте уточним: лучшее из того, что вам известно. При том, что вы вообще не копались, а просто удовольствуетесь тем, что всё окей для ваших нужд математики.

Предлагаю: под $df$ понимать не только функцию, но и отдельно взятое значение этой функции. То есть, фиксируется некий элемент касательного пространства $dx$ (здесь принимает смысл выражение $dx=(\text{что-то})$), и от него вычисляется соответствующий функционал.

Насчёт $\delta$ и $d^n x$ - оговорено выше (вами и мной). Обозначение "степени $d$" - может меняться, так чтобы в любом случае получилась формула, осмысленная одним или другим способом ($d^n x$ или $dx\equiv\mathrm{vol}$), и так чтобы в пределах одной формулы или одной серии выкладок использовалось одно соглашение. Кроме того, опционально, может использоваться правило "сокращения всех $d$" для контроля выкладок.

Думаю, этого хватит на многое. Заранее не могу сказать, что на всё.

[g______d]

Munin в сообщении #1015301 писал(а):

Но это для $dV.$ А как быть с $dm$? Никаких координат и произведения 1-форм здесь в помине нет.

Ну, допустим, в одномерном случае. Есть стержень $[a,b]$, масса куска $[a,x]$ которого равна $m(x)$. Тогда $dm$ будет в точности дифференциалом этой функции.

В многомерном случае точно так же: рассмотрите функцию $m(\prod_{i=1}^n (-\infty,x^i])$. Её дифференциал и будет той формой, которую вы будете интегрировать, интегрируя по $dm$.

Конечно, это не всегда можно сделать глобально. Например, есть форма $d\varphi$ на окружности, которая кажется точным дифференциалом, но на самом деле им не является, потому что $\varphi$ не является функцией.

-- Чт, 14 май 2015 18:23:01 --

Munin в сообщении #1015301 писал(а):

некий элемент касательного пространства $dx$

Нет, ну что-то такое можно сделать, но в конечном итоге это будет то же самое; отличаться будет только тем, фиксированно ли что-то дополнительно или нет. И да, в пределах одной статьи вообще ничего не мешает ввести подобное обозначение (теми же словами, что и у вас), и спокойно им пользоваться.

-- Чт, 14 май 2015 18:31:12 --

Munin в сообщении #1015301 писал(а):

То есть, фиксируется некий элемент касательного пространства $dx$

Кстати, это важный момент. Фиксируется не $dx$, а $\frac{\partial}{\partial x}$. Т. е. касательный вектор $\frac{\partial}{\partial x^i}$ вдоль нужного направления. Может показаться, что это то же самое, поскольку базисы двойственны, но у вас же не целый базис, а только один вектор; поэтому $dx^i$ не восстанавливается по $\frac{\partial}{\partial x^i}$ если оно дано только при одном $i$.

[Munin]

g______d в сообщении #1015306 писал(а):

В смысле кокасательного?

Да, пардон.

g______d в сообщении #1015306 писал(а):

Нет, ну что-то такое можно сделать, но в конечном итоге это будет то же самое; отличаться будет только тем, фиксированно ли что-то дополнительно или нет.

И это "отличаться" важно для физики и техники! Я же вам про это уже все уши прожужжал и все зубы заговорил.

g______d в сообщении #1015306 писал(а):

И да, в пределах одной статьи вообще ничего не мешает ввести подобное обозначение (теми же словами, что и у вас)

что и есть неудобство. Хотелось бы, чтобы это было общепринято. В частности, чтобы так было не только в тех статьях, которые физики пишут для физиков, но и в тех, которые математики пишут для физиков.

g______d в сообщении #1015306 писал(а):

Ну, допустим, в одномерном случае.

В одномерном-то всё хорошо! Меня многомерный (по крайней мере, трёхмерный) интересует.

g______d в сообщении #1015306 писал(а):

В многомерном случае точно так же: рассмотрите функцию $m(\prod_{i=1}^n (-\infty,x^i])$. Её дифференциал и будет той формой, которую вы будете интегрировать, интегрируя по $dm$.

Что-то неинвариантное чудится в этом определении.

-- 15.05.2015 04:39:05 --

g______d в сообщении #1015306 писал(а):

Кстати, это важный момент. Фиксируется не $dx$, а $\frac{\partial}{\partial x}$.

Да, кстати! Вот ещё момент, который не совпадает у математиков и в принятой в физике нотации. Физики пишут $dx^i$ только тогда, когда известен базис (или когда явно подразумевается 1-форма), а в других случаях - $d\vec{x},$ отдельно оговаривая, куда он направлен. Обозначение $\frac{\partial}{\partial x}$ зафиксировано за оператором (частной производной или градиента), и в других смыслах не применимо.

[g______d]

Munin в сообщении #1015311 писал(а):

Что-то неинвариантное чудится в этом определении.

То же, что и с окружностью: функция $\varphi$ не определена однозначно и не может быть задана глобально, но форма $d\varphi$ при этом отлично определена.

-- Чт, 14 май 2015 18:41:22 --

Munin в сообщении #1015311 писал(а):

Обозначение $\frac{\partial}{\partial x}$ зафиксировано за оператором (частной производной или градиента),

Касательный вектор -- это и есть оператор, по одному из (и наиболее инвариантному из) определений.