Бывают формы, являющиеся и не являющиеся полными дифференциалами.
А речь не о формах.
Вопрос о том, является или не является данное выражение полным дифференциалом -- это в чистом виде вопрос из теории форм (и вы даже знаете, какой).
Нет, в физике - это другой вопрос. Ну вы что, школьную физику забыли?
А просто из бесконечной малости вы на этот вопрос ответить не сможете; разве что если будете уже знать ответ
Разумеется. В физике на этот вопрос ответ известен совершенно другим способом.
В современной теорфизике диф. формы на каждом шагу.
Я в курсе. Но точно так же на каждом шагу - "старые дифференциалы", и причём не только ещё чаще - но и шире, чем в теорфизике. Они охватывают и "общую физику", и экспериментальную, и прикладную. Это общий язык для всех физиков. И даже шире, он же - общий язык для физиков и инженеров.
А без диф.форм даже прожить можно - пользуясь тензорным языком и понятием инвариантности. И немалая часть теорфизики так и делается - хотя такие авторы могут и "не подозревая того, говорить прозой".
Но ладно, про физику -- это здесь вообще оффтоп (хотя я в целом готов продолжить дискуссию). Моё изначальное высказывание было в том, что в современной математике (в той, в которой теоремы доказываются) определение дифференциала уже зафиксировано.
Ну, математика - это не вещь в себе. Я хочу напомнить, что преподавание математики обслуживает в подавляющем большинстве не будущих профессиональных математиков, а будущих профессиональных физиков, инженеров, программистов, а школьное - так и вообще всех. А вопрос задан в "Вопросах преподавания". Так что хочешь - не хочешь, а придётся обсуждать вопрос не только "что такое дифференциал для той математики, в которой теоремы доказываются", но и "что такое дифференциал в той математике, которая мосты и турбины рассчитывает". Надеюсь, вы от этого не отвернётесь.
Причём оно, действительно, является формализацией понятия "бесконечно малого приращения" и аппаратом для сравнения разных бесконечно малых приращений друг с другом.
Вот мне это не очевидно. Проблема возникает в ситуации, когда нематематик привык говорить
(Конечному ненулевому.) Ваша формализация
это
явно запрещает.
Разрешите мне такое словоупотребление (придав ему смысл, как вам захочется, только достаточно легко объясняемый) - и мои претензии исчезнут. Потом останется только распространить этот смысл по всем учебникам математики для нематематиков.
И да, где-то в физике дифференциалом называют просто некоторую инфинитезимальную величину. По-видимому, это обусловлено тем, что (нестрогое) понятие дифференциала было популярно в 19 веке и было единственным языком, на котором можно говорить о бесконечно малых. Но это не значит, что математики должны делать так же; как только определение эволюционировало до строгого, стало понятно, что дифференциал -- это не всякая бесконечно малая величина.
Нет, я как раз настаиваю, что математики
должны делать так же: такое (нестрогое) понятие быстро "пошло в народ" и стало использоваться намного шире, чем в узком сообществе математиков, и после этого некорректным было менять смысл уже используемого термина. Вместо этого, математики, эволюционируя свои понятия, должны были дать им другое название. С чем нет никакой проблемы.
Но допустим, эта огромная ошибка была уже совершена, в начале (или середине?) 20 века, и ситуацию уже не изменить, "заиграно". Тогда встаёт вопрос, как её исправить, и тут я вижу то, что писал выше: математики должны всерьёз прислушаться к претензиям нематематиков, и вернуть отнятое: предоставить средства обращаться с дифференциалом так, как нематематики и привыкли. Уточняя нюансы и вводя строгость, но не отнимая методов вычислений - ведь они уже задействованы, они нужны ежедневно.
Не знаю, лично я понимаю это именно как
. Потому что что такое
? На 1-формах стандартное умножение внешнее, и
по отношению к нему просто равно нулю.
Ну вот, видите, у вас уже трудности со стандартными (у физиков и техников) обозначениями. На 1-формах, может быть, умножение и внешнее, но
понимается в смысле тензорного - потому что значки
слишком загромождают выкладки :-)
Во-первых, вы так и не дали определения дифференциала, ограничившись словом "часть". Что такое "главная линейная часть"? Число? Набор чисел? Вектор? Отображение? Линейный оператор? Функция? Если функция, то откуда куда? Вам, наверное, кажется очевидным, ну вот и напишите.
Хоспади, да subformula же, она же линейная функция, не придирайтесь по мелочам.