2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 28  След.
 
 
Сообщение25.02.2007, 18:50 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Здравствуйте. Опять должен начать с извинений перед Администрацией форума - я AN. Я опять забыл пароль и сменил почтовый ящик, поэтому заново зарегистрировался как serval. Теперь на всех форумах я пользуюсь одним паролем, надеюсь что это поможет его не забыть : )
Предлагаю подумать над задачей: дано уравнение
$$\vec{e}\hat{A_1}\vec{n}=0$$ (1)
где вектор $$\vec{e}=\{1,1,-1\}$$, вектор $$\vec{n}=\{1,3,2\}$$, а матрица оператора $$\hat{A_1}$$ имеет вид
$${A_1}=\left
(\begin{array}{ccc}
1&{x_{a2}}&{x_{a3}}\\
1&{x_{b2}}&{x_{b3}}\\
1&{x_{c2}}&{x_{c3}}
\end{array}\right)$$
Каким условиям должна удовлетворять матрица $${A_1}$$ чтобы уравнение (1) выполнялось?
В развёрнутом виде уравнение (1) выглядит так
$$\left(1,1,-1\right)
\left (\begin{array}{ccc}
1&{x_{a2}}&{x_{a3}}\\
1&{x_{b2}}&{x_{b3}}\\
1&{x_{c2}}&{x_{c3}}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{lll} 1\\3\\2 \end{array}\right)
=0$$
Дополнительно: строки матрицы являются усечёнными до третьего элемента строками треугольника Паскаля
$$\begin{array}{ccccccc}
 &\multicolumn{1}{|c}{x_{i1}}&x_{i2}&x_{i3}&x_{i4}&x_{i5}&\ldots\\ \hline
1&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&0&0&\ \\
2&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&0&0&\ \\
3&\multicolumn{1}{|c}{1}&2&1&0&0&\ldots\\
4&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&3&1&0&\ \\
5&\multicolumn{1}{|c}{1}&4&6&4&1&\ \\
\vdots&\multicolumn{1}{|c}{\ }&\vdots&\ &\ &\ &\ddots
\end{array}$$
а условия на матрицу $${A_1}$$ соответствуют условиям для Пифагоровых троек (ВТФ для случая $$n=2$$)
$$a=2mn$$
$$b=m^2-n^2$$
$$c=m^2+n^2$$
в традиционной записи
$$a^2+b^2=c^2$$

Добавлено спустя 34 минуты 30 секунд:

И ещё. Для случая $$n=3$$ уравнение $$\vec{e}\hat{A_1}\vec{n}=0$$ примет вид
$$\left(1,1,-1\right)
\left (\begin{array}{cccc}
1&{x_{a2}}&{x_{a3}}&{x_{a4}}\\
1&{x_{b2}}&{x_{b3}}&{x_{b4}}\\
1&{x_{c2}}&{x_{c3}}&{x_{c4}}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{lll} 1\\7\\12\\6 \end{array}\right)=0$$
Можно ли отсюда сделать какие-либо выводы о его разрешимости?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2007, 17:40 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Я рассказывал, что с помощью бесконечного семейства описанных выше треугольников (упорядоченных векторных множеств) можно представить натуральные числа скалярными произведениями их строк. Либо, через координаты перемножаемых векторов, точками 4-х мерного пространства.
Ещё я рассказывал, что у меня есть пример такого разложения (векторной факторизации) простого числа. Сейчас у меня таких примеров уже 118. Это среди первых 10.000.000 натуральных чисел. Собственно, количество зависит от задаваемого размера и количества треугольников. Предполагаю, что при достаточно большой величине этих параметров таким способом факторизуются все простые числа.
Интересно другое - есть ли закономерность в распределении векторов, дающих при скалярном перемножении простые числа? 118 найденных разложений для статистики мало. Продолжаю копать.

Добавлено спустя 53 минуты 44 секунды:

Если кому-нибудь интересно, могу выложить найденные примеры с указанием перемножаемых векторов в формате ([t1,s1],[t2,s2]), где t1 - номер 1-го (из двух) треугольника, s1 - номер строки в нём, t2 и s2 - соответственно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2007, 22:26 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Почему моя тема самая популярная по просмотрам и совершенно заурядная по ответам? Нет специалистов в комбинаторике и геометрии одновременно? Я сам не специалист ни в том ни в другом.
На всякий случай, представлюсь - Андрей Назаренко, 40 лет, живу в Симферополе, окончил местный университет по кафедре терфизики, сейчас учусь в Киевском политехе по защите информации. Вменяем. Не собираюсь ниспровергать основы. Хочу одного - заинтересованного собеседника. Буду благодарен если порекомендуете. Для справки - проблема, действительно, существует. Показывал, минимум, десятку математиков (в т.ч. своим преподавателям) - никто этого не видел. И никого это не интересует пока нет конкретных приложений. Видимо, пока я не взломаю нацбанк Украины никто не обратит внимания : ) Шутка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2008, 13:05 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Что можно сказать о свойствах линейного оператора матрица которого составлена только положительными числами?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2008, 21:02 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
serval писал(а):
Почему моя тема самая популярная по просмотрам и совершенно заурядная по ответам? Нет специалистов в комбинаторике и геометрии одновременно?

Потому, что не интересна. И, раз уж я стал отвечать, позвольте заметить, что Ваше сообщение — оффтоп.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2008, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
serval писал(а):
Что можно сказать о свойствах линейного оператора матрица которого составлена только положительными числами?

Теорема Фробениуса-Перрона
Максимальное собственное число просто и равно спектральному радиусу, соответствующий собственный вектор имеет положительные компоненты.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2008, 00:10 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Насчет ВТФ. У меня тут получается, что при больших степенях ситуация становится чем-то похожей на случай нулевой степени, когда сложив две единицы нельзя получить единицу же.
Только тут для получения бесконечно различных чисел нужно использовать бесконечно близкие, с разницей много меньше 1, что выводит их из ряда натуральных. Пока плохо понимаю, что это. Буду проверять.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2008, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
serval писал(а):
сейчас учусь в Киевском политехе по защите информации. Вменяем.
(мной выделено существенное для дальнейшего слово)
serval писал(а):
Насчет ВТФ. У меня тут получается, что при больших степенях ситуация становится чем-то похожей на случай нулевой степени, когда сложив две единицы нельзя получить единицу же.
Только тут для получения бесконечно различных чисел нужно использовать бесконечно близкие, с разницей много меньше 1, что выводит их из ряда натуральных. Пока плохо понимаю, что это. Буду проверять.
Вам не кажется, что Ваше последнее заявление может вызвать сомнения в справедливости процитированного мной Вашего предыдущего заявления? :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2008, 13:03 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Как вставить картинку? По локальному пути не вставляется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.02.2008, 02:47 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
serval
Воспользуйтесь, например, услугами imageshack.net

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2008, 15:19 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Решение квадратного уравнения имеющего натуральные различные корни сводится к следующему.
Известно некоторое число S. Известно также, что оно является суммой n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k. При этом, первый член этой прогрессии равен 1, а шаг равен 2. Требуется найти k и n.
Можно ли это сделать не прибегая к квадратному же уравнению?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 07:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
serval в сообщении #159147 писал(а):
Известно некоторое число S. Известно также, что оно является суммой n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k.

$s=(k+(n-1)\frac{d}{2})n$
serval в сообщении #159147 писал(а):
При этом, первый член этой прогрессии равен 1, а шаг равен 2.


$k=1$ Шаг - это разность прогрессии? $d=2 \Rightarrow s=n^2$
serval в сообщении #159147 писал(а):
Требуется найти k и n.

$k=1, n=\sqrt s. $ Если $s$ не является полным квадратом, то $n$ не натурально. Могло быть ещё хуже при $d<0$.
serval в сообщении #159147 писал(а):
Можно ли это сделать не прибегая к квадратному же уравнению?

А где квадратное уравнение то?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2008, 13:37 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Я не говорил, что k=1. S является суммой n членов начиная с k-го, т.е. суммой членов с k по k+n-1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2008, 09:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
serval в сообщении #159439 писал(а):
Я не говорил, что k=1

Если Вы внимательно посмотрите, то именно это и было сказано. Продолжая Ваш витиеватый стиль говорить сложно о простом, надо было сказать, что первое слагаемое суммы - это k-й член арифметической прогрессии с разностью 2, начинающейся с единицы.

Ну, теперь разъяснилось, что к чему - речь идёт о сумме нечётных чисел от $2k-1$ до $2k-3+2n$ включительно.

Тогда $S=n(2k-2+n)$ - разложение $S$ на два натуральных делителя. Выбираем делитель $n\leqslant \sqrt S$ одинаковой чётности с $S$ и получаем $k=1+\frac{1}{2}\Big(\frac{S}{n}-n\Big)$.
Если $S$ взята не с потолка, а действительно является суммой некоторых последовательных нечётных чисел, то случай чётной, но не делящейся на 4 суммы не представится и выбор будет возможен и в общем случае он не однозначен.

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

Опять не вижу никаких квадратных уравнений или я опять что-то не так понял?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2008, 14:34 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Смотрю внимательно
Цитата:
первый член этой прогрессии равен 1

Прогрессии, а не суммы. Впрочем, принимаю замечание и буду стараться излагать максимально однозначно.
Цитата:
Опять не вижу никаких квадратных уравнений или я опять что-то не так понял?

Умножьте выражение для k на n и получите квадратное уравнение относительно n.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 413 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 28  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group