2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 02:13 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
Kras в сообщении #1000289 писал(а):
Пустое отношение тоже является подмножеством произведения $Z \times Z=\bigl\{\langle\varnothing,\varnothing\rangle,\langle\varnothing,\{\varnothing\}\rangle,\langle\{\varnothing\},\varnothing\rangle,\langle\{\varnothing\},\{\varnothing\}\rangle\bigr\}$.
Нет, отчего же пустое? Это не то, что загадывал AGu.
(что Вы обозначаете угловыми скобками?)

$Z\times Z$ состоит из упорядоченных пар
$(\varnothing,\varnothing)$
$(\varnothing,\{\varnothing\})$
$(\{\varnothing\},\varnothing)$
$(\{\varnothing\},\{\varnothing\})$
В каждой паре и первый, и второй элемент принадлежат $Z$. Вам остается найти пару (пары), в которой первый элемент принадлежит второму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 07:00 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск

(Спасибо!)

svv, спасибо! Вы не представляете, как я рад этому Вашему сообщению. Оно тут чуть ли не единственное «вменяемое» (ну кроме модераторских, разумеется :-)) и уж точно единственное по делу. Тему фактически превратили в помойку. Надеюсь, теперь эти бунтари угомонятся.


Kras, Вы очень близки к правильному ответу. Прислушайтесь к совету svv, и у Вас все получится. (Более того, правильный ответ уже промелькнул в одном из Ваших сообщений. Вы просто не были в нем уверены.)

Мне показалось, что Вы как-то неправильно понимаете обозначение для множества объектов, обладающих указанным свойством. Запись $\{\text{объект}:\text{условие}\}$ обозначает совокупность всех объектов, удовлетворяющих данному условию. Такая совокупность единственна. Поэтому Ваши фразы типа «тоже годится» по этому поводу говорят о каком-то недопонимании.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 07:17 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Не промелькнул, а
Kras в сообщении #1000227 писал(а):
$\bigl\{\langle\varnothing,\{\varnothing\}\rangle\bigr\}$ вполне сгодится

Но почему не сгодится пустое отношение?
Я понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 07:23 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Kras в сообщении #1000332 писал(а):
Но почему не сгодится пустое отношение?
Потому что слово «сгодится» тут вообще неуместно. Я уже сказал, такое множество единственно. Поэтому на его роль не могут «сгодиться» разные претенденты. Еще раз, речь идет о множестве ВСЕХ объектов, удовлетворяющих указанному условию. Такое множество только одно.

Ну а ответ — правильный. (И других правильных ответов здесь нет и быть не может.) Поздравляю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 11:10 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
AGu в сообщении #1000330 писал(а):
Надеюсь, теперь эти бунтари угомонятся.
А ну-ка, кто тут против нас с AGu? Выходи, биться будем!

AGu в сообщении #1000195 писал(а):
Ну а если как-то разумно ограничить область значений $x$ и $y$, то принадлежность будет отношением. Например, $\{(x,y):x,y\in Z,\ x\in y\}$ — отношение на множестве $Z$, т.е. бинарное отношение между элементами множества $Z$.
Скажите, пожалуйста, почему Вы не написали что-нибудь такое, более спокойное?:
$\{(x,Y):x\in Z,\;Y\subset Z,\ x\in Y\}$
Задавая, например, $n$ элементов $Z$, мы тем самым задаем и $2^n$ его подмножеств $Y$. Но сами $Y$ элементами $Z$ не являются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 11:22 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
svv в сообщении #1000394 писал(а):
Скажите, пожалуйста, почему Вы не написали что-нибудь такое, более спокойное?:
$\{(x,y):x\in Z,y\subset Z,\ x\in y\}$
Согласен, это более «жизненный» пример. Я просто не хотел преждевременно отвлекаться на такие уводящие в сторону вопросы, как считается ли отношением подмножество $Z_1\times Z_2$ (где, например, $Z_1=Z$ и $Z_2=\mathcal P(Z)$) или надо чтобы оно непремено было подмножеством квадрата $Z\times Z$ (ведь кто-то различает отношения и соответствия, а кто-то нет), что такое вообще $\mathcal P(Z)$, почему оно существует и т.д. и т.п. А так — да, конечно, мой пример сильно абстрактный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 11:26 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
Спасибо.
(Я очень люблю быстро написать сообщение и потом много-много раз его редактировать.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 11:38 
Заслуженный участник


08/04/08
8417
Давайте я включу наивного, отвечу непрофессионально, и м.б. Kras все поймет. Можете меня поругать за непрофессионализм, я заранее соглашусь с этим. Поскольку у меня ощущение, что он просто не в курсе. Ну а если я ошибаюсь, ну и ладно.

Kras, если слово "принадлежит" понимать интуитивно, то $\in$ - это бинарное отношение. Например, на множестве людей можно ввести бинарное отношение $P(a,b):$ $a$ - отец $b$, здесь $a,b$ - люди. Или на множестве человеческих изделий можно ввести бинарное отношение "$a$ - деталь $b$", здесь $a,b$ - человеческие изделия. В соотношении $x\in X$ $x$ - это произвольный элемент, а $X$ - это произвольное множество.
Вроде бы все просто и понятно.
Но в математике все должно быть формализовано. И когда мы задаем вопрос "что такое отношение?", желая его выразить в терминологии теории множеств, то имеется определение: бинарное отношение на множествах $A;B$ - это произвольное подмножество $A\times B$. Тогда наше отношение "быть отцом" определяется на множестве людей в декартовом квадрате, а отношение "быть деталью", определяется на множестве человеческих изделий в декартовом квадрате, отношение принадлежности определяется на произведении $\text{множество всех элементов}\times\text{множество всех множеств}$. Причем в качестве формализации $\text{множество всех элементов}$ в теории множеств предлагается тоже $\text{множество всех множеств}$. Т.е. например есть множество $M=\{1;2;3\}$. Вот тогда $1\in M,2\in M,3\in M$, все остальные $x\not\in M$. Значит отношение $\in$ содержит подмножество $\{(1;\{1;2;3\}),(2;\{1;2;3\}),(3;\{1;2;3\})\}$, а еще оно содержит много чего другого. Здесь причем $1;2;3$ - это тоже некие множества, их можно выписать явно, но это не принципиально.
Вроде бы все просто и понятно.
И про это говорил ewert, что если Вам надо ехать, то этого достаточно, много математиков так и работает и получает вполне осмысленные результаты.
А если Вам "нужны шашечки", логическая строгость и непротиворечивость, то идем дальше.
Но на самом деле мы все прекрасно знаем, что наивная теория множество содержит общеизвестный парадокс Рассела. И $ \text{множество всех множеств}$ просто не существует. И проблема здесь не в отношении принадлежности, а в теории множеств, это стандартная проблема, которую все знают и которую здесь все отвечающие сразу имеют ввиду.
Дальше идут стандартные варианты или костыли, решающие эту проблему:
1) Ограничить универсум ($Z$ в сообщении AGu, но тогда Вы можете спросить, а почему именно этот универсум - ну тут хоть какой-нибудь)
2) Использовать аксиоматические теории: ZF, ZFC, NBG, что-то еще. Но там нет понятия отношения, там просто аксиомы. Зато там нет противоречий (что устанавливается интуитивно, доказать это мы не сможем).

Вот все, можете ругать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8063
У меня вот какой вопрос возник: О чём вся эта тема? Т.е. с какого перепуга вместо двух букв "да" в ответе она уже породила трёхстраничную дискуссию про отличия классов от множеств, парадоксы Рассела и прочую не относящуюся к делу (имхо) дребедень? Давайте тогда ещё обсудим вопрос в терминах иерархии типов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 11:54 
Заслуженный участник


08/04/08
8417
epros в сообщении #1000410 писал(а):
"да"
о, правда? а почему? есть доказательство?
собс-но, ответ "да" никому не интересен, интересны рассуждения

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 12:00 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Sonic86, спасибо. Я Вас не буду ругать, Вы все хорошо рассказали.
epros, Вы слишком умны для этой темы.
:-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group