2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Отношение принадлежности
Сообщение04.04.2015, 22:34 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
На заборе пишут, что принадлежность элемента $x$ к множеству $X$ - это бинарное отношение. Так ли это? И если так, то какие элементы оно связывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение04.04.2015, 22:55 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Смотря что считать принадлежностью и что считать отношением. Если под принадлежностью понимать нечто туманное на манер $\{(x,y):x\in y\}$, а под отношением понимать множество, состоящее из пар, то принадлежность не является отношением, так как то «туманное» множеством не является. Точнее говоря, не существует множества, состоящего из всех пар $(x,y)$ таких, что $x\in y$. В этом смысле принадлежность вообще не существует, не является объектом теории множеств. (Его можно, разве что, назвать, отношением-классом или класс-отношением, но едва ли об этом сейчас стоит говорить.) Ну а если как-то разумно ограничить область значений $x$ и $y$, то принадлежность будет отношением. Например, $\{(x,y):x,y\in Z,\ x\in y\}$ — отношение на множестве $Z$, т.е. бинарное отношение между элементами множества $Z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение04.04.2015, 23:09 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Т.е. объяснить что такое $x \in X$ можно только с помощью аксиом?
AGu в сообщении #1000195 писал(а):
Например, $\{(x,y):x,y\in Z,\ x\in y\}$ — отношение на множестве $Z$, т.е. бинарное отношение между элементами множества $Z$.

Не понял примера. Что конкретно тут можно взять в качестве $x$, $y$ и $Z$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение04.04.2015, 23:23 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
AGu в сообщении #1000195 писал(а):
Например, $\{(x,y):x,y\in Z,\ x\in y\}$

Вообще-то говорить о множествах, элементы которого суть (пусть иногда) элементы друг друга -- как минимум некультурно и, наверное, % в 99.9 ещё и практически бесполезно. Да и вопрос был явно не об этом.

Kras в сообщении #1000179 писал(а):
принадлежность элемента $x$ к множеству $X$ - это бинарное отношение. Так ли это?

Для нормальных людей -- нет. Не для этого придумано понятие отношения. Ну а извратить обобщить на забор это понятие можно как угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение04.04.2015, 23:33 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
ewert

Просто в интернете много бредоресурсов, которые сбивают с толку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение04.04.2015, 23:36 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Kras в сообщении #1000199 писал(а):
Т.е. объяснить что такое $x \in X$ можно только с помощью аксиом?
Смотря кому объяснить. :-) Если студенту, то — да, только с помощью аксиом, в рамках теории множеств. Ну а если школьнику — тут все способы хороши. Можно поиграть в буратины и яблоки в их карманах, не знаю. :-) Заданный Вами вопрос относится к теории множеств, потому я и отвечаю на него в рамках теории множеств. На университетском уровне любой другой ответ был бы непрофессиональным.

Kras в сообщении #1000199 писал(а):
AGu в сообщении #1000195 писал(а):
Например, $\{(x,y):x,y\in Z,\ x\in y\}$ — отношение на множестве $Z$, т.е. бинарное отношение между элементами множества $Z$.
Не понял примера. Что конкретно тут можно взять в качестве $x$, $y$ и $Z$?
Вопрос нехороший. Он нехороший потому, что та конструкция не зависит от $x$ и $y$, она зависит только от $Z$. Поэтому хороший вопрос был бы такой: что конкретно можно взять в качестве $Z$? Ответ — любое множество. (От слова «вообще».) Пофантазируйте сами. Возьмите, например, $Z=\bigl\{\varnothing,\{\varnothing\}\bigr\}$ и попробуйте понять, из каких пар будет состоять отношение принадлежности между его элементами.

Можете также послушать и ewert'а, известного своими методическими вывертами. Он Вам наверняка все очень доходчиво расскажет, пока я буду спать. До завтра...

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение04.04.2015, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8063
ewert в сообщении #1000205 писал(а):
Kras в сообщении #1000179 писал(а):
принадлежность элемента $x$ к множеству $X$ - это бинарное отношение. Так ли это?

Для нормальных людей -- нет. Не для этого придумано понятие отношения.
Не понял. А я вот слышал, что в смысле теорий, формализованых в логике первого порядка, бинарным отношением именуется двуместный предикатный символ (ну и не только). В данном случае таковым символом является $\in$. Так что слова "принадлежность -- это бинарное отношение" приобретают вроде как определённый смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение04.04.2015, 23:46 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
epros в сообщении #1000212 писал(а):
в смысле теорий, формализованых в логике первого порядка, бинарным отношением именуется двуместный предикатный символ.

В смысле чего угодно можно формально определить что угодно. Однако вне матлогики, т.е. просто в математике, под отношением понимается нечто гораздо более жёстко определённое -- именно отношение между элементами, иерархическая вложенность которых друг в друга ни разу не предполагается.

-- Вс апр 05, 2015 00:53:06 --

Так, конкретнее. Был задан вопрос:

Kras в сообщении #1000179 писал(а):
принадлежность элемента $x$ к множеству $X$ - это бинарное отношение

Так вот для матлогика -- почему бы и нет, в качестве экзерсиса. А для просто математика -- нелепо. Ибо у него своё формальное определение отношения, причём необходимое не для окончательной и бесповоротной завёртки бантиков, а просто для работы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение04.04.2015, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8063
ewert в сообщении #1000215 писал(а):
под отношением понимается нечто гораздо более жёстко определённое -- именно отношение между элементами, иерархическая вложенность которых друг в друга ни разу не предполагается.
Вот я и не понимаю таких определений с логическим кругом внутри. Что значит "отношение -- это отношение"? Скажем, слова "отношение -- это объект, определяемый формулой с двумя свободными переменными" -- я понимаю, а это -- нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 00:04 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
epros в сообщении #1000219 писал(а):
Скажем, слова "отношение -- это объект, определяемый формулой с двумя свободными переменными" -- я понимаю, а это -- нет.

Это просто потому, что вам (sic) нужно шашечки, а нам нужно ехать. Для вас это свободная игра предикатов, а для нас -- всего лишь подмножество декартова произведения. Ровно что для работы и нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 00:07 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
AGu в сообщении #1000208 писал(а):
Ответ — любое множество.

Если взять множество натуральных чисел, то таких пар не существует (ни один элемент не принадлежит элементу). В результате получается пустое подмножество декартова квадрата.
AGu в сообщении #1000208 писал(а):
$Z=\bigl\{\varnothing,\{\varnothing\}\bigr\}$

В этой ситуации $Z \times Z=\bigl\{\langle\varnothing,\varnothing\rangle,\langle\varnothing,\{\varnothing\}\rangle,\langle\{\varnothing\},\varnothing\rangle,\langle\{\varnothing\},\{\varnothing\}\rangle\bigr\}$. Здесь пустое отношение тоже будет подмножеством, но будет ли оно удовлетворять всем условиям? Кажется я снова запутался.

Но $\bigl\{\langle\varnothing,\{\varnothing\}\rangle\bigr\}$ вполне сгодится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 00:13 
Аватара пользователя


11/06/12
7768
Минск
На заборах много чего пишут. Удивляюсь, что уважаемые люди бросились отвечать какому-то гопнику на идиотский, в сущности, вопрос, не удосужившись даже уточнить, на каком именно заборе он это прочёл. Kras, ответьте, пожалуйста, на каком заборе в каком источнике пишут, что принадлежность элемента множеству является бинарным отношением?

-- 05.04.2015, 00:16 --

Kras в сообщении #1000227 писал(а):
В этой ситуации $Z \times Z=\bigl\{<\varnothing,\varnothing>,<\varnothing,\{\varnothing\}>,<\{\varnothing\},\varnothing>,<\{\varnothing\},\{\varnothing\}>\bigr\}$. Здесь пустое отношение тоже будет подмножеством, но будет ли оно удовлетворять всем условиям? Кажется я снова запутался.
Дайте мне это развидеть! Что значат все эти угловые скобки (которые на самом деле даже не скобки, а знаки «больше-меньше»)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21619
Уфа

(Oh mein Gott.)

Kras в сообщении #1000227 писал(а):
$Z \times Z=\bigl\{<\varnothing,\varnothing>,<\varnothing,\{\varnothing\}>,<\{\varnothing\},\varnothing>,<\{\varnothing\},\{\varnothing\}>\bigr\}$
I CAN HAZ LANGLE RANGLE? SRSLY. Почему многих уже, по идее, должных смекнуть, что тех — вещь всё-таки богатая, так тянет угловые скобки обозначать знаками больше-меньше, а не поискать правильный способ немножко дольше? \langle\varnothing,\varnothing\rangle $\langle\varnothing,\varnothing\rangle$. Ну и вообще в теории множеств особых поводов для использования угловых вместо обычных круглых как будто бы нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 00:21 
Заслуженный участник


11/05/08
31333

(Оффтоп)

О-о, не обратил внимания.

AGu в сообщении #1000208 писал(а):
Заданный Вами вопрос относится к теории множеств,

ОтнюдЬ. Понятие бинарного отношения -- отнюдь не теоретико-множественное. (хотя, конечно, никто не в силах и им запретить это словосочетание использовать)

AGu в сообщении #1000208 писал(а):
Ответ — любое множество. (От слова «вообще».) Пофантазируйте сами. Возьмите, например, $Z=\bigl\{\varnothing,\{\varnothing\}\bigr\}$ и попробуйте понять, из каких пар будет состоять отношение принадлежности между его элементами.

Это ещё смешнее. Вы уверены, что предложенное Вами множество -- именно любое?... что, например, $Z=\bigl\{1,\,2\bigr\}$ -- принадлежит к этому же классу?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение принадлежности
Сообщение05.04.2015, 00:22 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Aritaborian в сообщении #1000232 писал(а):
На заборах много чего пишут. Удивляюсь, что уважаемые люди бросились отвечать какому-то гопнику на идиотский, в сущности, вопрос, не удосужившись даже уточнить, на каком именно заборе он это прочёл. Kras, ответьте, пожалуйста, на каком заборе в каком источнике пишут, что принадлежность элемента множеству является бинарным отношением?

Идиотский вопрос задал я, поэтому под гопником вы понимаете конкретно меня. На заборе в источнике никаких вопросов не было. Там просто пишут, что принадлежность элемента множеству является бинарным отношением, это да, это прямо так и написано. Но меня такое утверждение сильно удивило и запутало, поэтому я и решил обратиться на форум.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group