Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #733556 писал(а):

tolstopuz в сообщении #733553 писал(а):

Покажите обоснование, и мы вместе его рассмотрим.

Надеюсь Вы не отрицаете, что события $A_1$ и $A_2$ зависимы?

Этот факт вами не доказан (утверждение о нечетности тривиально и ничего не доказывает), но интуиция заставляет меня предполагать, что это так.

Кроме того, вы опять пытаетесь скрыть, что рассматриваете не одну вероятностную меру, а семейство, зависящее от $x$. Это означает, что ваша $C$ тоже является функцией от $x$, что лишает ваши рассуждения связи со статьей, на которую вы ссылаетесь, так как там $C$ - константа, а также делает неверными все ваши дальнейшие рассуждения с о-малыми. Я предупреждал об этом вначале, когда вы вводили вместо одной меры семейство.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #733572 писал(а):

vicvolf в сообщении #733556 писал(а):

tolstopuz в сообщении #733553 писал(а):

Покажите обоснование, и мы вместе его рассмотрим.

Надеюсь Вы не отрицаете, что события $A_1$ и $A_2$ зависимы?

Этот факт вами не доказан (утверждение о нечетности тривиально и ничего не доказывает), но интуиция заставляет меня предполагать, что это так.

Если число х -простое, то х+2 достоверно нечетно. Разве вероятность нечетного числа быть простым не больше, чем вероятность натурального числа быть простым? Да конечно при условии, что х+2 нечетно, но ведь это зависит от того, какое х простое или нет - вот Вам и зависимость событий $A_2$ от $A_1$

Цитата:

Кроме того, вы опять пытаетесь скрыть, что рассматриваете не одну вероятностную меру, а семейство, зависящее от $x$. Это означает, что ваша $C$ тоже является функцией от $x$, что лишает ваши рассуждения связи со статьей, на которую вы ссылаетесь, так как там $C$ - константа, а также делает неверными все ваши дальнейшие рассуждения с о-малыми. Я предупреждал об этом вначале, когда вы вводили вместо одной меры семейство.

Мы рассматриваем достаточно большое х по сравнению с числом 2, поэтому это справедливо. Я делаю предположение, что длина кортежа мала по сравнению с х.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #733574 писал(а):

Если число х -простое, то х+2 достоверно нечетно. Разве вероятность нечетного числа быть простым не больше, чем вероятность натурального числа быть простым?

Мы уже обсуждали это в личной переписке, вы убедились в ошибочности вашего рассуждения, но теперь вы опять начинаете все сначала.

Давайте обозначим упоминаемые вами события буквами:

$A_1$: число $x$ простое.
$A_2$: число $x+2$ простое.
$A_3$: число $x+2$ нечетное.

У вас есть очевидный факт, что вероятность нечетного числа быть простым больше, чем вероятность натурального числа быть простым: $Pr(A_2/A_3) > Pr(A_2)$.
У вас есть еще один очевидный факт, что за простым числом заведомо следует нечетное: $Pr(A_3/A_1) = 1$.
После этого вы утверждаете, что вероятность найти простое число после другого простого числа больше, чем в чистом поле: $Pr(A_2/A_1) > Pr(A_2)$. На каком основании вы делаете этот вывод?

vicvolf в сообщении #733574 писал(а):

Мы рассматриваем достаточно большое х по сравнению с числом 2, поэтому это справедливо.

Если вы используете о-нотацию, забудьте про заклинание "достаточно большое".

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #733594 писал(а):

vicvolf в сообщении #733574 писал(а):

Если число х -простое, то х+2 достоверно нечетно. Разве вероятность нечетного числа быть простым не больше, чем вероятность натурального числа быть простым?

Мы уже обсуждали это в личной переписке, вы убедились в ошибочности вашего рассуждения, но теперь вы опять начинаете все сначала.

Давайте обозначим упоминаемые вами события буквами:

$A_1$: число $x$ простое.
$A_2$: число $x+2$ простое.
$A_3$: число $x+2$ нечетное.

У вас есть очевидный факт, что вероятность нечетного числа быть простым больше, чем вероятность натурального числа быть простым: $Pr(A_2/A_3) > Pr(A_2)$.
У вас есть еще один очевидный факт, что за простым числом заведомо следует нечетное: $Pr(A_3/A_1) = 1$.
После этого вы утверждаете, что вероятность найти простое число после другого простого числа больше, чем в чистом поле: $Pr(A_2/A_1) > Pr(A_2)$. На каком основании вы делаете этот вывод?

Из выполнения события $A_1$ достоверно следует событие $A_3$. При выполнении события $A_3$ меняется вероятность события $A_2$. Поэтому, при выполнении события $A_1$ меняется вероятность события $A_2$. Следовательно события $A_2$ и событие $A_1$ зависимы.

[Nataly-Mak]

vicvolf в сообщении #733653 писал(а):

Следовательно события $A_2$ и событие $A_1$ зависимы.

vicvolf
Извините, что вмешиваюсь в вашу дискуссию. Однако...
И какова же эта зависимость между событиями $A_1$ и $A_2$? Вам известен закон распределения простых чисел-близнецов?
Это очень интересно

Меня этот вопрос интересует вот почему.
Мне нужен большой массив простых чисел-близнецов. Товарищ нашёл в Интернете массив из 100 000 чисел-близнецов (только первые числа из пар близнецов). Этого мало.
Спрашивается: какой массив простых чисел мне нужен для того, чтобы найти, скажем, 200 000 простых чисел-близнецов
Я думаю, что точного ответа на этот вопрос не существует, но могу ошибаться.

[venco]

Простых чисел до 50млн должно хватить.

[Nataly-Mak]

Спасибо, попробую.

[Руст]

vicvolf в сообщении #733653 писал(а):

tolstopuz в сообщении #733594 писал(а):

vicvolf в сообщении #733574 писал(а):

Если число х -простое, то х+2 достоверно нечетно. Разве вероятность нечетного числа быть простым не больше, чем вероятность натурального числа быть простым?

Мы уже обсуждали это в личной переписке, вы убедились в ошибочности вашего рассуждения, но теперь вы опять начинаете все сначала.

Давайте обозначим упоминаемые вами события буквами:

$A_1$: число $x$ простое.
$A_2$: число $x+2$ простое.
$A_3$: число $x+2$ нечетное.

У вас есть очевидный факт, что вероятность нечетного числа быть простым больше, чем вероятность натурального числа быть простым: $Pr(A_2/A_3) > Pr(A_2)$.
У вас есть еще один очевидный факт, что за простым числом заведомо следует нечетное: $Pr(A_3/A_1) = 1$.
После этого вы утверждаете, что вероятность найти простое число после другого простого числа больше, чем в чистом поле: $Pr(A_2/A_1) > Pr(A_2)$. На каком основании вы делаете этот вывод?

Из выполнения события $A_1$ достоверно следует событие $A_3$. При выполнении события $A_3$ меняется вероятность события $A_2$. Поэтому, при выполнении события $A_1$ меняется вероятность события $A_2$. Следовательно события $A_2$ и событие $A_1$ зависимы.

Во первых, у вас вероятность есть только в смысле нормированной частоты. Тем не менее придержусь вашей терминологии "вероятности, события".
Из события следует событие $A_3$ за одним исключением $x=2$, т.е. не совсем достоверно следует

Из выполнения события $A_1$ достоверно следует событие $A_3$.

Согласен со вторым утверждением. Добавим в два раза (считаю х -натуральным).
Нет логики в следующих предложениях.

Поэтому, при выполнении события $A_1$ меняется вероятность события $A_2$.

Возьмите например подмножество $A_1$
$A_4$ - число $x$ простое число вида $6k+1$.
И поробуйте то же самое проигрывать с $A_4$ вместо $A_1$.
У вас получится $Pr(A_2/A_4)>Pr(A_2)$ - полная чушь.

[vorvalm]

Nataly-Mak в сообщении #733739 писал(а):

какой массив простых чисел мне нужен для того, чтобы найти, скажем, 200 000 простых чисел-близнецов

По оценке В.Бруна при $x=2\cdot 10^8,\;\;\pi_2(x)\leqslant 3\cdot 10^5.$

[Nataly-Mak]

vorvalm в сообщении #733854 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #733739 писал(а):

какой массив простых чисел мне нужен для того, чтобы найти, скажем, 200 000 простых чисел-близнецов

По оценке В.Бруна при $x=2\cdot 10^8,\;\;\pi_2(x)\leqslant 3\cdot 10^5.$

Гадаю
$x=2\cdot 10^8$ - это количество натуральных чисел, среди которых я должна найти все простые числа?

[Руст]

Nataly-Mak в сообщении #733880 писал(а):

vorvalm в сообщении #733854 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #733739 писал(а):

какой массив простых чисел мне нужен для того, чтобы найти, скажем, 200 000 простых чисел-близнецов

По оценке В.Бруна при $x=2\cdot 10^8,\;\;\pi_2(x)\leqslant 3\cdot 10^5.$

Гадаю
$x=2\cdot 10^8$ - это количество натуральных чисел, среди которых я должна найти все простые числа?

Если вам нужны только близнецы, то лучше применять решето Эратосфена исключая по каждому простому $p<\sqrt N$ сразу два вычета $0$ и $p-2$ и легко переберете нужное количество близнецов хоть до миллиада.
Оценка Бруна хорошо работает по крайней мере до миллиарда. Кстати согласно оценке Бруна
(1) $Pr(A_2/A_1)<Pr(A_2)$ в протиположность vicvolf.
Причем это не только согласно этой гипотезе. Оценка сверху для близнецов доказанный факт, а не гипотеза.
Т.е. (1) является доказанным утверждением.

[Nataly-Mak]

Чувствую себя несколько неловко, что влезла со своей практической проблемой в теоретическую дискуссию. Ещё раз прошу прощения у ТС.

Проблема моя, наверное, не такая уж сложная, но я всё порядком забыла.
Теперь сижу и думаю, с какого конца начать решение.

1. С решетом Эратосфена в принципе знакома, но программную реализацию этого метода не делала. Писала давно программу для решета Сундарама (где-то здесь эту программу приводила, в Википедии она тоже есть). Но эта программа у меня плохо работала для больших N.
Коллега давно присылал мне программу тоже для решета Сундарама, которая работала быстро для достаточно больших N, но эта программа у меня пропала, когда сдох старый компьютер.

2. Программу поиска близнецов среди массива простых чисел написала, опробовала её на том небольшом массиве простых чисел, который у меня есть, она нормально работает, близнецов выбирает. Ну, тут нет ничего сложного. Правда, не знаю, как хорошо она будет работать, когда количество простых будет довольно большим.

3. Пыталась найти в Интернете большой массив простых чисел, с ходу не получилось.
Значит, надо самой генерировать этот массив.

Вот нашла свою программку генерации простых чисел (решето Сундарама)
post218607.html
Было это так давно, аж в 2009 г.
Программа написана на Бейсике и любезно переписана участниками на другие языки.

[vorvalm]

Оценка В.Бруна дает число простых близнецов в массиве натуральных чисел.

$\pi_2(x)\leqslant \frac{xe^{-\gamma}}{\ln^2x},\;e^{-\gamma}\approx 0,56.$

[Nataly-Mak]

Понятно. Спасибо. Это мне подходит

[Nataly-Mak]

Небольшой эксперимент
сгенерировала по своей программе массив простых в интервале (1,500 000).
Получилось 41534 простых числа, это выполнилось быстро.
По программе поиска близнецов среди простых выбрала близнецов; программа с таким массивом справилась мгновенно, нашла 4565 пар близнецов.
Проверила по имеющемуся у меня массиву близнецов (100 000), всё вроде правильно.
Дело за генерацией большого массива простых чисел (до 50 млн., говорят, должно хватить).

Вот "хвост" полученного программой массива близнецов (записываются только первые числа из пар близнецов):

... 
497111 
 497279 
 497507 
 497771 
 497867 
 498101 
 498257 
 498401 
 498467 
 498521 
 498611 
 498689 
 498779 
 498857 
 499127 
 499139 
 499157 
 499181 
 499361 
 499481 
 499661 
 499691 
KOLICHESTVO PAR BLIZNECOV 4565