2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 14  След.
 
 Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение02.05.2013, 20:42 
Некоторые форумчане скажут - опять он занудничает со своей плотностью последовательности :-) Потерпите немного, скоро обсудим...

Продолжим рассматривать плотность последовательности, как доли натурального ряда чисел. Будем рассматривать последовательности, которые принимают значения только из натурального ряда.
Обозначим количество членов последовательности $f(n)$ на интервале [A,B) (B>A) натурального ряда $\pi(f,A,B)$ и рассмотрим плотность, как долю членов последовательности $f(n)$ в последовательности натурального ряда на интервале [A,B):
$P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}.$(1)
По аналогии (1) введем понятие плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда [$A,\infty$), так называемую асимптотическую плотность:
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} },$(2)
или $P(f,A,x)\sim \frac {\pi(f,a,x)} {x-A},$(3)
где $\pi(f,A,x)$ - количество членов последовательности $f(n)$ на интрвале [$A,x$) натурального ряда.
Покажем, что для введенной таким образом асимптотической плотности последовательности (2), (3), выполняются свойства вероятностной меры.
1. Если последовательность $f(n)$ совпадает с натуральным рядом на интервале [$A,\infty$), то:
$P(f,A,x)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} }=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {x-A} {x-A} }=1.$
2. Для любой последовательности $f(n)$, которая принимает значения только из натурального ряда на интервале [$A,\infty$):
$P(f,A,x)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} }\geq 0$,
так как числитель принимает только неотрицательные значения, а знаменатель -положительные (по определению x>A).
3. Покажем счетную аддитивность- для последовательностей $f_1,f_2,...f_n,...$, являющихся долей натурального ряда на интервале [$A,\infty$), не имеющих общих членов, выполняется:
$P(f_1+f_2+...+f_n+...)=P(f_1)+P(f_2)+...+P(f_n)+...$.

Сначала докажем.
Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале натурального ряда [$A,\infty$), тогда:
$P(f+g,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)}+\lim \limits_{x \to \infty} {P(g,A,x)}-\lim \limits_{x \to \infty} {P(f \cap  g,A,x)},(4)$ или
$P(f+g,A,\infty) \sim P(f,A,x)+P(g,A,x)-P(f \cap g,A,x),(5)$
где $P(f \cap g,A,x)$ - плотность общих членов обеих последовательностей на интервале [$A,x$) натурального ряда.

Доказательство
На основании определения (1) имеем:
$P(f+g,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f+g,A,x)} {x}}$
По формуле включений и исключений получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f+g,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)+\pi(g,A,x)-\pi(f \cap g,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)} {x}}+\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(g,A,x)} {x}}-\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f \cap g,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)}+\lim \limits_{x \to \infty} {P(g,A,x)}-\lim \limits_{x \to \infty} {P(f \cap  g,A,x)},$
или $P(f+g,A,x) \sim P(f,A,x)+P(g,A,x)-P(f \cap g,A,x).$ ч.т.д.

Следствие 1
Если последовательности $f(n),g(n)$ не имеют общих членов, то на основании (4), (5) $P(f+g,A,x) \sim P(f,A,x)+P(g,A,x),$(6)
так как $\pi(f \cap g,A,x)=0$.

На основании следствия 1, используя определение сигма алгебры:
$f_n \in \sigma (n=1,2,...) \cup_n f_n \in \sigma, \cap_n f_n \in \sigma$, счетная аддитивность доказывается методом математической индукции.

Таким образом, асимптотическая плотность последовательности, как доли натурального ряда, является вероятностной мерой и для нее выполняются утверждения теории вероятности.

Следствие 2
Асимптотическая плотность последовательности простых чисел $f(n),$ на интервале натурального ряда [$A,\infty$) на основании асимптотического закона распределения простых чисел равна :
$P(f,2,x) \sim \frac {1} {\ln(x)},$(7)
поэтому на основании доказанных выше свойств асимптотической плотности последовательности (7) является вероятностной мерой.

Продолжение следует.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение03.05.2013, 17:44 
Продолжение

Докажем еще одно свойство, которое выполняется для асимптотической плотности последовательности, как доли натурального ряда на интервале [$A,\infty$).

4. Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале [$A,\infty$), тогда:
$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f\cap g,A,x)} =\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)}  \cdot \lim \limits_{x \to \infty} {P(f \cap g/f,A,x)} ,(8)$

$P(f\cap g,A,x) \sim P(f,A,x) \cdot P(f \cap g/f,A,x) ,(9)$

где $P(f\cap g/f,A,x)-$ асимптотическая плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,\infty$), а $P(f,A,x)$ не равна 0.

Доказательство
На основании определения (1) асимптотической плотности $\lim \limits_{x \to \infty} {P(f\cap g/f,A,x)}= \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {x}}.$
Преобразуем и при условии существования пределов получим:
$ \lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {x}}=\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f,A,x)} {x} \frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {\pi(f,A,x)}}=\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f,A,x)} {x}}\lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\pi(f\cap g/f,A,x)} {\pi(f,A,x)}}=\lim \limits_{x \to \infty}{P(f,A,x)} \cdot \lim \limits_{x \to \infty}{P(f\cap g/f,A,x)}.$
Из определения асимптотики, это эквивалентно:
$P(f\cap g,A,x) \sim P(f,A,x) \cdot P(f \cap g/f,A,x)$
ч.т.д.

Свойство 4 аналогично формуле вероятности произведения двух зависимых событий A, B:
$P(A\cap B)=P(B) \cdot P(A/B),$(10)
где $P(A/B)$ - вероятность выполнения события A при условии выполнения события B, если события $A, B \in \sigma$ и P(B) не равно 0.

Из доказанных выше свойств 1-4 для асимптотической плотности последовательности, как доли натурального ряда, выводятся остальные свойства, анадогичные формулам теории вероятности (сложной вероятности, Байса и.т.д.).

Продолжение следует.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение03.05.2013, 19:38 
vicvolf в сообщении #718887 писал(а):
3. Покажем счетную аддитивность- для последовательностей $f_1,f_2,...f_n,...$, являющихся долей натурального ряда на интервале [$A,\infty$), не имеющих общих членов, выполняется:
$P(f_1+f_2+...+f_n+...)=P(f_1)+P(f_2)+...+P(f_n)+...$.

Это утверждение неверно.
Пусть $f_1(i)=i^2$, $f_{n+1}(i)$ - наименьшее натуральное число, большее $f_n(i)$ и не попавшее в предыдущие последовательности. Довольно легко убедиться, что такое число найдется для любых $n$ и $i$, так как никакое конечное объединение последовательностей нулевой плотности не может покрыть весь натуральный ряд, а плотность $(n+1)$-й последовательности не превосходит плотность $n$-й, то есть также нулевая.
Каждая из этих последовательностей имеет плотность $0$, но их счетное объединение - весь натуральный ряд, имеющий плотность $1$.
Ошибку в ваших рассуждениях предлагаю найти самостоятельно.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение04.05.2013, 17:58 
Спасибо за контрпример. Вы правы. Асимптотическая плотность последовательности, как доли натурального ряда, обладает только конечной аддитивностью и поэтому является вероятностной мерой на конечном пространстве событий.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение04.05.2013, 19:30 
Продолжение

Многие гипотезы о простых числах доказываются из предположения, что распределение простых чисел случайно, точнее из предподложения о случайности события, что натуральное число х является простым числом.
Однако, для использования формул теории вероятности совершенно не обязательно доказывать случайность данного события. Достаточно доказать, что асимптотическая плотность последовательности является вероятностной мерой и обладает свойством 4, что было сделано выше.
Покажем это на некоторых гипотезах о простых числах.

1. Гипотезы Харди-Литлвуда и Диксона.
На основании следствия 2, доказанного выше, вероятность события $A_1$, что достаточно большое натуральное число х является простым числом равна $P(A_1)=1/\ln(x).$(11)
Вероятность события $A_2$, что натуральное число $x+2n_1$ является простым числом при условии, что натуральное число x является простым числом $P(A_2/A_1)>1/\ln(x),$ т.е равна $C/\ln(x), C > 1$, так как известно, что число х является простым числом, поэтому число $x+2n_1$ заведомо является нечетным.
На основании доказанных выше свойств вероятностной меры и свойства 4, используя формулу вероятности произведения зависимых событий:
$P(A_1 \cdot A_2)=P(A_1)P(A_2/A_1)=1/\ln(x) \cdot C/\ln(x)=C/\ln^2(x).$(12)
В частном случае при $n_1=1$ для простых близнецов в работе G.H.Hardy, E.M.Wright "An Introduction to the Theory of Numbers", 5th ed, Oxford, 1979,&22.20 стр.371-373. показано, что С=1,32032...
Вероятность события $A_3$, что натуральное число $x+2n_1+2n_2$ является простым числом при условии, что натуральные числа x, $x+2n_1$ являются простыми числами $P(A_3/A_1,A_2)>1/\ln(x),$ т.е равна $C_2/\ln(x), C_2 > 1$, так как известно, что число $x+2n_1$ является простым числом, поэтому число $x+2n_1+2n_2$ заведомо является нечетным.
Используя формулу вероятности произведения зависимых событий получаем:
$P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3)=P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/A_1,A_2)=1/\ln(x) \cdot C/\ln(x) \cdot C_2/\ln(x)=C_3/\ln^3(x).$(13) и.т.д.
Для несоставных простых кортежей состоящей из k простых чисел аналогично получаем:
$P(A_1 \cdot A_2 \cdot  ...\cdot A_k)=P(A_1)P(A_2/A_1) \cdot ...\cdot P(A_k/A_1,..,A_{k-1})=1/\ln(x) \cdot C/\ln(x) \cdot...\cdot C_{k-1}/\ln(x)=C_k/\ln^k(x),$(14) где $C_k>1$.
Формулы для вычисления $C_k$ приведены в работах:
http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Di ... cture.html

Продолжение следует.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение04.05.2013, 21:17 
vicvolf в сообщении #719527 писал(а):
Спасибо за контрпример. Вы правы. Асимптотическая плотность последовательности, как доли натурального ряда, обладает только конечной аддитивностью и поэтому является вероятностной мерой на конечном пространстве событий.

Кстати, какое у вас пространство событий?

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение04.05.2013, 21:30 
vicvolf в сообщении #718887 писал(а):
По аналогии (1) введем понятие плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда [$A,\infty$), так называемую асимптотическую плотность:
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} },$(2)

Вот вы чего-то утверждаете, доказываете, а ведь этот предел может и не существовать.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение04.05.2013, 23:55 
AV_77 в сообщении #719626 писал(а):
vicvolf в сообщении #718887 писал(а):
По аналогии (1) введем понятие плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда [$A,\infty$), так называемую асимптотическую плотность:
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} },$(2)

Вот вы чего-то утверждаете, доказываете, а ведь этот предел может и не существовать.

По определению x всегда больше А, поэтому знаменатель не равен 0. Рассматривается предел отношения количества членов последовательности, являющейся долей натурального ряда, к количеству членов натурального ряда, поэтому предел всегда существует и находится в диапазоне от 0 до 1.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение05.05.2013, 08:47 
tolstopuz в сообщении #719618 писал(а):
Кстати, какое у вас пространство событий?

Дискретное.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение05.05.2013, 10:20 
Аватара пользователя
vicvolf в сообщении #719670 писал(а):
Рассматривается предел отношения количества членов последовательности, являющейся долей натурального ряда, к количеству членов натурального ряда, поэтому предел всегда существует

Существование предела не доказано.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение05.05.2013, 10:30 
vicvolf в сообщении #719670 писал(а):
Рассматривается предел отношения количества членов последовательности, являющейся долей натурального ряда, к количеству членов натурального ряда, поэтому предел всегда существует и находится в диапазоне от 0 до 1.

Вот в том то и дело, что не всегда. Можно построить последовательность, для которой этот предел не существует. Поэтому для каждого случая нужно доказывать существование.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение05.05.2013, 15:17 
vicvolf в сообщении #719744 писал(а):
tolstopuz в сообщении #719618 писал(а):
Кстати, какое у вас пространство событий?

Дискретное.

Что именно у вас является элементарным событием?

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение05.05.2013, 17:01 
AV_77 в сообщении #719782 писал(а):
Вот в том то и дело, что не всегда. Можно построить последовательность, для которой этот предел не существует. Поэтому для каждого случая нужно доказывать существование.

Последовательности, которые я рассматриваю имеют асимптотическую плотность в натуральном ряде, предел которой не только существует, но и равен 0.
Эта последовательность простых k-кортежей f(n) в натуральном ряде на интервале [$A, \infty$) с асимптотической плотностью:
$P(f,A,x) \sim \frac {C_k} {\ln^k(x)}$, где $C_k$ - постоянная зависящая от k.
Предел которой равен:
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {C_k} {\ln^k(x)} }=0$.
В частном случае, при k=1, получается асимптотическая плотность простых чисел.
Или последовательность квадратов натуральных чисел g(n) в натуральном ряде на интервале [$A, \infty$) с асимптотической плотностью:
$P(g,A,x)\sim \frac {1} {\sqrt{x}}$.
Предел которой равен:
$P(g,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {1} {\sqrt{x}}=0$ и.т.д.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение05.05.2013, 18:09 
vicvolf в сообщении #719969 писал(а):
Последовательности, которые я рассматриваю имеют асимптотическую плотность в натуральном ряде, предел которой не только существует, но и равен 0.

Я не знаю, что вы рассматриваете. Пока видно, что в ваших рассуждениях про асимптотическую плотность никаких ограничений на последовательности нет.

 
 
 
 Re: Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых
Сообщение05.05.2013, 21:18 
AV_77 в сообщении #720035 писал(а):
Я не знаю, что вы рассматриваете. Пока видно, что в ваших рассуждениях про асимптотическую плотность никаких ограничений на последовательности нет.

Хорошо отредактируем.
По аналогии (1) введем понятие плотности последовательности на бесконечном интервале натурального ряда [$A,\infty$), так называемую асимптотическую плотность:
$P(f,A,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {\pi(f,A,x)} {x-A} },$(2) (при условии, что данный предел существует)
или $P(f,A,x)\sim \frac {\pi(f,a,x)} {x-A},$(3)

-- 05.05.2013, 21:53 --

Продолжение

2.Гипотеза Крамера
$p_{n+1}-p_n=O(\ln^2(p_n)),$(15) где $p_n$ - n-ое простое число.
Гипотеза Крамера также основывается на вероятностной модели распределения простых чисел, т.е., что вероятность того, что натуральное число х является простым числом равна $1/\ln(x)$.
Крамер доказал в своей вероятностной модели, что гипотеза справедлива с вероятностью равной 1 - Cramer,Haraid (1936) "On the order of magnitude jf the difference between consecutive prime numbers" Acta Arithmetica T2:23-46.
Шенкс сделал уточнение в формуле (15):
$\lim \limits_{n\to \infty} {sup(\frac {p_{n+1}-p_n} {\ln^2(p_n)})}=a.$(16)
Грэнвилль в 1995 г. показал, что $a=2e^{-\gamma} \approx1,1229...,$ (17)
где $\gamma$ - постоянная Эйлера.

Продолжение следует.

 
 
 [ Сообщений: 205 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 14  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group