Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[tolstopuz]

AV_77 в сообщении #720937 писал(а):

tolstopuz в сообщении #720926 писал(а):

И скорее всего в ключевом месте этот переход будет просто невозможен, иначе все было бы слишком просто

И мы снова возвращаемся к вопросу о существовании предела.

Кстати, Шнирельман обошел проблему с этим конкретным пределом - в его определении плотности вместо $\lim$ стоит $\inf$. Можно вообще взять $\lim \inf$ или $\lim \sup$ с осмысленными результатами.

По ссылке из википедии нашел статью Steuding, Jörn, Probabilistic number theory. Там есть простой пример последовательности, не имеющей асимптотической плотности: натуральные числа, десятичная запись которых начинается с единицы.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #721161 писал(а):

Кстати, Шнирельман обошел проблему с этим конкретным пределом - в его определении плотности вместо $\lim$ стоит $\inf$. Можно вообще взять $\lim \inf$ или $\lim \sup$ с осмысленными результатами.

Просто Шнирельману была нужна нижняя граница плотности. Может быть взята, если нужно, верхняя граница плотности. В случае асимптотической плотности нижняя граница плотности должна равняться верхней.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #721309 писал(а):

tolstopuz в сообщении #721161 писал(а):

Кстати, Шнирельман обошел проблему с этим конкретным пределом - в его определении плотности вместо $\lim$ стоит $\inf$. Можно вообще взять $\lim \inf$ или $\lim \sup$ с осмысленными результатами.

Просто Шнирельману была нужна нижняя граница плотности. Может быть взята, если нужно, верхняя граница плотности. В случае асимптотической плотности нижняя граница плотности должна равняться верхней.

Есть тонкая разница между нижней границей и нижним пределом :)

Например, плотность по Шнирельману последовательности четных чисел равна $0$, потому что это нижняя граница. А нижний предел, как и верхний, для этой последовательности равен $1/2$.

[vicvolf]

Исправление первых сообщений.

Будем рассматривать последовательности, которые принимают значения только из натурального ряда.
Обозначим количество членов последовательности $f(n)$ на интервале [A,B) (B>A) натурального ряда $\pi(f,A,B)$ и рассмотрим плотность, как долю членов последовательности $f(n)$ в последовательности натурального ряда на интервале [A,B):
$P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}.$(1)
Покажем, что для введенной таким образом плотности последовательности (1), выполняются свойства вероятностной меры на конечном пространстве.
1. Если последовательность $f(n)$ совпадает с натуральным рядом на интервале [$A,B$), то:
$P(f,A,B)= \frac {\pi(f,A,B)} {B-A} = \frac {B-A} {B-A} =1.$
2. Для любой последовательности $f(n)$, которая принимает значения только из натурального ряда на интервале [$A,B$):
$P(f,A,B)= \frac {\pi(f,A,B)} {B-A} \geq 0$,
так как числитель принимает только неотрицательные значения, а знаменатель -положительные (по определению B>A).
3.Конечная аддитивность.
Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале натурального ряда [$A,B$), тогда:
$P(f+g,A,B)=P(f,A,B)+P(g,A,B) - P(f \cap g,A,B),(2)$
где $P(f \cap g,A,B)$ - плотность общих членов обеих последовательностей на интервале [$A,B$) натурального ряда.

Доказательство
На основании определения (1) имеем:
$P(f+g,A,B)=\frac {\pi(f+g,A,B) }{B-A} $
По формуле включений и исключений получаем:
$\frac {\pi(f+g,A,x) }{B-A}=\frac {\pi(f,A,B)+\pi(g,A,B)-\pi(f \cap g,A,B) }{B-A}=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}+\frac {\pi(g,A,B)} {B-A}-\frac {\pi(f \cap g,A,B) }{B-A}=P(f,A,B)+P(g,A,B)-P(f \cap g,A,B)$
ч.т.д.

Следствие 1
Если последовательности $f(n),g(n)$ не имеют общих членов, то на основании (2), $P(f+g,A,B) =P(f,A,B)+P(g,A,B),$(3)
так как $\pi(f \cap g,A,B)=0$.

Таким образом, плотность последовательности, как доли натурального ряда, является вероятностной мерой на конечном интервале [A,B) (B>A) натурального ряда и для нее выполняются утверждения теории вероятности.

Следствие 2
Плотность последовательности простых чисел $f(n)$ на интервале натурального ряда [$2,x$) на основании асимптотического закона распределения простых чисел равна $\frac {1} {\ln(x)},$(4)
поэтому на основании доказанных выше свойств плотности последовательности является вероятностной мерой.

Докажем еще одно свойство, которое выполняется для плотности последовательности, как доли натурального ряда на интервале [$A,B$).

4. Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале [$A,B$), тогда:
$P(f\cap g,A,B) =P(f,A,B) \cdot P(f \cap g/f,A,B) ,(5)$
где $P(f\cap g/f,A,B)-$ плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,B$), а $P(f,A,B)$ не равно 0.

Доказательство
На основании определения (1) плотности $P(f\cap g/f,A,B)= \frac {\pi(f\cap g/f,A,B)} {B-A}.$
Преобразуем и при условии, что $P(f,A,B)$ и соответсвенно $\pi(f,A,B)$ не равны 0, получим:
$ \frac {\pi(f\cap g/f,A,B)} {B-A}=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A} \cdot \frac {\pi(f\cap g/f,A,B)} {\pi(f,A,B)}}=P(f,A,B) \cdot P(f\cap g/f,A,B).$ ч.т.д.

Свойство 4 аналогично формуле вероятности произведения двух зависимых событий A, B:
$P(A\cap B)=P(B) \cdot P(A/B),$(6)
где $P(A/B)$ - вероятность выполнения события A при условии выполнения события B, если события $A, B \in \sigma$ и P(B) не равно 0.

Из доказанных выше свойств 1-4 для плотности последовательности, как доли натурального ряда, выводятся остальные свойства, аналогичные формулам теории вероятности.
Далее в сообщении от 04.05.2013 асимптотическую плотность последовательности читать, как плотность последовательности.

-- 09.05.2013, 10:23 --

tolstopuz в сообщении #721343 писал(а):

Есть тонкая разница между нижней границей и нижним пределом :)
Например, плотность по Шнирельману последовательности четных чисел равна $0$, потому что это нижняя граница. А нижний предел, как и верхний, для этой последовательности равен $1/2$.

и равен асимптотической плотности. Понял Вас.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #721418 писал(а):

Следствие 2
Плотность последовательности простых чисел $f(n)$ на интервале натурального ряда [$2,x$) на основании асимптотического закона распределения простых чисел равна $\frac {1} {\ln(x)},$(4)

Проверьте для некоторых конкретных значений $x$, например, для $x=5$.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #721623 писал(а):

Проверьте для некоторых конкретных значений $x$, например, для $x=5$.

Кстати $2/(5-2)=0,66...$ и $1/ln5$ примерно равны.
Надо вставить, как Вы сказали, крылатую фразу
Плотность последовательности простых чисел $f(n)$ на интервале натурального ряда [$2,x$) на основании асимптотического закона распределения простых чисел для достаточно больших х равна $\frac {1} {\ln(x)},$(4).

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #721629 писал(а):

tolstopuz в сообщении #721623 писал(а):

Проверьте для некоторых конкретных значений $x$, например, для $x=5$.

Кстати $2/(5-2)=0,66...$ и $1/\ln5$ примерно равны.
Надо вставить, как Вы сказали, крылатую фразу
Плотность последовательности простых чисел $f(n)$ на интервале натурального ряда [$2,x$) на основании асимптотического закона распределения простых чисел для достаточно больших х равна $\frac {1} {\ln(x)},$(4).

Ни для какого натурального $x$ указанная плотность не может быть равна указанному выражению с логарифмом, так как первая рациональна, а второе иррационально.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #721763 писал(а):

Ни для какого натурального $x$ указанная плотность не может быть равна указанному выражению с логарифмом, так как первая рациональна, а второе иррационально.

Рациональная плотность равна 1/ln(x) в том же смысле, что и вероятность (отношение количества благоприятных исходов к общему числу исходов), которая также рациональна.

-- 10.05.2013, 10:37 --

Someone в сообщении #720849 писал(а):

vicvolf в сообщении #720787 писал(а):

Гипотеза Крамера: справедлива с вероятностью 1 - это означает, что она справедлива почти наверное.

Но это не означает, что гипотеза справедлива.

Да Вы правы, что из сходимости почти наверняка не следует сходимость наверняка. Это относится и к гипотезе Крамера.
Но, как я уже писал, я не ставил целью доказательство гипотез о простых числах. Я просто показал, что гипотезы о простых числах, доказанные их авторами при предположении о вероятностной модели распределения простых чисел справедливы, в том числе гипотеза Крамера с вероятностью 1.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #721824 писал(а):

Рациональная плотность равна 1/ln(x) в том же смысле, что и вероятность (отношение количества благоприятных исходов к общему числу исходов), которая также рациональна.

Давайте оставаться в рамках адекватности. Я не понимаю, в каком смысле рациональное число может быть равно иррациональному.

[vicvolf]

Продолжение

Из справедливости вероятностной модели (свойств 1-3 и следствия 2) вытекает справедливость других гипотез о простых числах. Например, из гипотезы Харди-Литтлвуда следует справедливость гипотезы о бесконечности простых близнецов и более общего случая - о бесконечности несоставных k-кортежей, состоящих из простых чисел.
Руст в своей теме "Равномерность" дал следующую классификацию по видам равномерности последовательностей в сообщении от 13.10.2012:
"На самом деле получаются более сильная равномерность распределения, чем необходимая для ГР и РГР равномерность в среднем. Соответственно, они должны привести к решению задач, не вытекающих из ГР и РГР, например бинарная проблема Гольдбаха-Эйлера, бесконечность пар простых $(p,p+a)$ при любом четном $a$ (в частности решение проблемы близнецов, иницировавших эту тему), гипотеза Лежандра. Что касается гипотезы Крамера, упоминаемой здесь, она не получается из теории равномерности."
Да, гипотеза Крамера основываются на вероятностной модели простых чисел. Добавлю сюда также гипотезу Харди-Литлвуда и другие, авторы которых при доказательстве использовали вероятностную модель простых.
Естественно из вероятностной модели простых чисел следует сильная равномерность простых чисел и справедливость гипотез, которые на ней основываются (например, как я показал, из гипотезы Харди-Литлвуда следует бесконечность простых близнецов и.т.д).
Из сильной равномерности простых чисел следует равномерность в среднем и справедливость гипотез, которые на ней основываются (гипотезы Римана и расширенной гипотезы Римана), что показал Руст.
Таким образом, можно сказать, что из вероятностной модели о простых числах следует справедливость сильной равномерности и равномерности в среднем для простых чисел и гипотез о простых числах, которые на них основываются.

Буду благодарен замечания и предложения.

-- 10.05.2013, 11:29 --

tolstopuz в сообщении #721829 писал(а):

vicvolf в сообщении #721824 писал(а):

Рациональная плотность равна 1/ln(x) в том же смысле, что и вероятность (отношение количества благоприятных исходов к общему числу исходов), которая также рациональна.

Давайте оставаться в рамках адекватности. Я не понимаю, в каком смысле рациональное число может быть равно иррациональному.

В смысле рационального приближения иррациональных чисел. Почему у Вас такой вопрос не возникает, когда говорят, что вероятность натурального числа х являться простым равна $1/ln(x)$?

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #721834 писал(а):

В смысле рационального приближения иррациональных чисел. Почему у Вас такой вопрос не возникает, когда говорят, что вероятность натурального числа х являться простым равна $1/ln(x)$?

Потому что при этом не говорят о конечном интервале.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #721846 писал(а):

Потому что при этом не говорят о конечном интервале.

В этом случае имеется в виду конечное x и вероятность $1/ln(x)>0$.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #721848 писал(а):

tolstopuz в сообщении #721846 писал(а):

Потому что при этом не говорят о конечном интервале.

В этом случае имеется в виду конечное x и вероятность $1/ln(x)>0$.

Приведите строгое утверждение, чтобы было о чем говорить.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #721886 писал(а):

Приведите строгое утверждение, чтобы было о чем говорить.

После обсуждения с tolstopuz.

Следствие 2
Значением вероятностной меры на интервале от 2 до х - $P(2,x)$ для последовательности простых чисел $f(n)$ является плотность $P(f,2,x)$ равная:
$P(f,2,x) =1/ln(x)+o(1/ln(x)). $(4)

Доказательство
На основании указанных выше свойств (1-3) на интервале от 2 до х плотность последовательности простых чисел $f(n)$ - $P(f,2,x)$ является значением вероятностной меры $P(2,x)$ .
Формула (4) получается на основании асимптотического закона распределения простых чисел и определения о-малой.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #724117 писал(а):

Значением вероятностной меры на интервале от 2 до х - $P(2,x)$ для последовательности простых чисел $f(n)$ является плотность $P(f,2,x)$ равная:
$P(f,2,x) =1/\ln(x)+o(1/\ln(x)). $(4)

Резюмирую три страницы топика.

Обозначим за $f$ последовательность простых чисел, а за $f_x$ - ее подпоследовательность, состоящую из простых чисел, меньших $x$.

Обозначим за $d(x)$ плотность простых чисел, меньших $x$ (считать будем с двойки - выброшенная единица не влияет на асимптотику). Известно, что $d(x) \sim 1/\ln x$, что можно записать в виде $d(x)=1/\ln x+o(1/\ln x)$.

Обозначим за $P_{a,b}$ дискретную равномерную меру на интервале $\left[a,b\right)$. Известно, что она является вероятностной мерой. Очевидно, что $d(x) = P_{2,x}(f_x)$. Будем обозначать правую часть как $P(f,2,x)$.

В итоге получаем $P(f,2,x) =1/\ln x+o(1/\ln x)$.

Я ничего не пропустил?