Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #746165 писал(а):

величины $P(A_1), P(A_2)$ и подобные им называть вероятностями неправомерно, так как они не являются вероятностями. Это какие-то персонажи вашей сказки, не имеющие математического определения.

При рассмотрении асимптотических формул плотности простых чисел, теоремы Мертенса и.т.д. нас мало интересует предельное значение. Оно в обоих случаях равно 0. Нас больше интересует, по каким функциям осуществляется приближение к 0 в зависимости от n. Вот пример такого исследования теоремы Мертенса - http://mathworld.wolfram.com/MertensTheorem.html

Таким образом, мы исследуем указанные последовательности на интервале [2,n) и функция плотности на данном интервале является вероятностной мерой $P(2,n)$.

Как понимать асимптотические формулы с использованием уточнения от 12.07.13? Это значит в качестве вероятности берется приближенное значение бесконечной дроби. Например, в качестве вероятности $P(A_1)$ берется значение $1/\ln(n)$ с точностью до n-ого знака в вероятностной мере $P(2,n)$.

-- 15.07.2013, 20:45 --

Sonic86 в сообщении #746262 писал(а):

vicvolf в сообщении #746186 писал(а):

Используя формулу Мертенса можно записать:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) \sim 1/\ln(n) ,$ где C-постоянная Эйлера.
Это эквивалентно:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) =1/\ln(n) +o(1/\ln(x)).(2)$

А как $n$ и $x$ связаны? $n=x$? А то символы $o(f(x,y)), O(f(x,y))$ - от функций 2-х переменных надо еще подумать что означают...

Спасибо! Это описка. Правильно - $e^C \prod_{p<n} (1-1/p) =1/\ln(n) +o(1/\ln(n)).(2)$

-- 15.07.2013, 21:30 --

Исправление

$$C_2(n)=P(A_1)P(A_2/A_1)/P(A_1)P(A_2)=P(A_2/A_1)/P(A_2)=e^C\prod_{p<n}\frac {1-w_2(p)/p} {(1-1/p)}/e^C \prod_{p<n} (1-1/p)=$$

$$=\prod_{p<n}\frac {1-w_2(p)/p} {(1-1/p)^2}.(9)$$

[vicvolf]

При представлении асимптотических равенств с конечным значением n допускается ошибка - R(n), которая равна модулю разности между истинным и приближенным значением, являющегося функцией от n.
В частности при представлении асимптотической плотности последовательности простых чисел f(n) допускается ошибка:
$R_1(n)=|P(f,2,n)-1/\ln(n)|.$ (1)
При представлении формулы Мертенса допускается ошибка:
$R_2(n)=|\prod_{p\leq n} (1-1/p)-e^{-C}/\ln(n)|.$ (2)
Имеются различные оценки этих ошибок. В частности оценка ошибки $R_2(n)$ приведена в работе -
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Me ... eorem.html
Например, при $n=10^6$ по данной оценке $R_2(n)=1,2 \cdot 10^{-4}$, что значительно превосходит ошибку представления в вероятностной мере $P(2,n)$ равную $1/n=10^{-6}.$
При данной оценке найдем $\lim \limits_{n \to \infty} {\frac {R_2(n)} {1/\ln(n)}}.$
На основании правила Лопиталя легко показать, что:
$\lim \limits_{n \to \infty} {\frac {R_2(n)} {1/\ln(n)}}=\frac {3e^{-C}} {4\pi}\lim \limits_{n \to \infty} {1/\sqrt{n}}=0.$ (3)
На основании (3): $R_2(n)=o(1/\ln(n)),$ что соответствует следствию 2.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #746271 писал(а):

Как понимать асимптотические формулы с использованием уточнения от 12.07.13? Это значит в качестве вероятности берется приближенное значение бесконечной дроби. Например, в качестве вероятности $P(A_1)$ берется значение $1/\ln(n)$ с точностью до n-ого знака в вероятностной мере $P(2,n)$.

То есть "в качестве вероятности" берется вовсе не вероятность. А дальше вы с честными глазами врете:

vicvolf в сообщении #746186 писал(а):

поэтому все значения вероятностей $P(A_1), P(A_2),...P(A_k), P(A_2/A_1), P(A_3/A_1,A_2),...,P(A_k/A_1,A_2,...,A_{k-1})$ принадлежат одной вероятностной мере и их можно сравнивать и для них справедлива формула вероятности произведения событий.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #746448 писал(а):

vicvolf в сообщении #746271 писал(а):

Как понимать асимптотические формулы с использованием уточнения от 12.07.13? Это значит в качестве вероятности берется приближенное значение бесконечной дроби. Например, в качестве вероятности $P(A_1)$ берется значение $1/\ln(n)$ с точностью до n-ого знака в вероятностной мере $P(2,n)$.

То есть "в качестве вероятности" берется вовсе не вероятность.

Берется, как раз вероятность $P(f,2,n)$ в вероятностной мере $P(2,n)$.

[vicvolf]

Продолжение

Теперь рассмотрим:
$P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3)=P(A_1) P(A_2/A_1) P(A_3/A_2,A_1)=C_3(n) P(A_1) P(A_2) P(A_3).$ (10)
Из (10) следует:
$C_3(n)=\frac {P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/A_2,A_1)} {P(A_1)P(A_2)P(A_3)}=C_2(n)\frac {P(A_3/A_1,A_2)} {P(A_3)}=\frac {e^C\frac {\prod_{p\geq n} (1-w_3(p)/p)} {\prod_{p\geq n}(1-1/p)^2}} {e^C\prod_{p\geq n}(1-1/p)}=\frac {\prod_{p\geq n} (1-w_3(p)/p)} {\prod_{p\geq n}(1-1/p)^3}} ,(11)$
где постоянная $e^C$ по моей гипотезе не зависит являются ли $n, n+2n_1$ простыми числами или нет, а $w_3(p)$ - число решений сравнения $n(n+2n_1)(n+2n_1+2n_2) \equiv 0(\mod p).$
$C_3(n)=0$, если числа $n, n+2n_1, n+2n_1+2n_2$ образуют полную систему вычетов по модулю 3.
и.т.д.
$P(A_1 \cdot A_2... \cdot A_k)=P(A_1) P(A_2/A_1) ...P(A_k/A_{k-1},...,A_1)=C_k(n) P(A_1) P(A_2)... P(A_k).$ (12)
Из (12) следует:
$C_k(n)=\frac {P(A_1)P(A_2/A_1)...P(A_k/A_{k-1},...,A_1)} {P(A_1)P(A_2)...P(A_k)}=C_2(n) \frac {C_3(n)} {C_2(n)} ...\frac {C_{k-1}(n)} {C_{k-2}(n)}\frac {P(A_k/A_{k-1},...,A_1)}{P(A_k)} =\frac {e^C\frac {\prod_{p\geq n} (1-w_k(p)/p)} {\prod_{p\geq n}(1-1/p)^{k-1}}} {e^C\prod_{p\geq n}(1-1/p)}= \frac {\prod_{p\geq n} (1-w_k(p)/p)} {\prod_{p\geq n}(1-1/p)^{k}}} ,(13)$
где постоянная $e^C$ по моей гипотезе не зависит являются ли $n, n+2n_1,...n+2n_1+...+2n_{k-1}$ простыми числами или нет, а $w_k(p)$ - число решений сравнения $n(n+2n_1)...(n+2n_1+...+2n_{k-1}) \equiv 0(\mod p).$
$C_k(n)=0$, если начиная с числа $l\leq k$, числа $n, n+2n_1,... n+2n_1+...+2n_{l-1}$ образуют полную систему вычетов по модулю l.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #746452 писал(а):

tolstopuz в сообщении #746448 писал(а):

vicvolf в сообщении #746271 писал(а):

Как понимать асимптотические формулы с использованием уточнения от 12.07.13? Это значит в качестве вероятности берется приближенное значение бесконечной дроби. Например, в качестве вероятности $P(A_1)$ берется значение $1/\ln(n)$ с точностью до n-ого знака в вероятностной мере $P(2,n)$.

То есть "в качестве вероятности" берется вовсе не вероятность.

Берется, как раз вероятность $P(f,2,n)$ в вероятностной мере $P(2,n)$.

Вы теряете остатки адекватности. Вы называете $P(f, 2, n)$ - функцию от $n$ - числом $P(f)$.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #746731 писал(а):

Вы называете $P(f, 2, n)$ - функцию от $n$ - числом $P(f)$.

Давайте не будем путать. Разговор идет о вероятностной мере $P(2,n)$ с фиксированным значением n. Именно в этой вероятностной мере ищется значение вероятности (число) для конкретной последовательности f(n) - $P(f,2,n).$
Для того, чтобы снять вопросы - решу ваш любимый пример. Определим вероятность, что число $10^{100}+1$ является простым. Если бы я взял число $10^{100}$, то вы сказали, что вероятность этого равна 0. Конечно $10^{100}+1$ является нечетным числом и учет этого повысит данную вероятность, но будем исходить только из асимптотического закона для последовательности простых чисел f(n) - $P(f,2,n) \sim 1/\ln(n).$ Это означает $\lim \limits_{n \to \infty} {P(f,2,n)}=\lim \limits_{n \to \infty} { 1/\ln(n)}=0 }$, но для любого n - $1/\ln(n)>0$. Это в отношение вашего вечного ответа, что бывает только одно равенство. Как видите, асимптотическое равенство равенством не является.
Искомая вероятность равна $1/\ln(10^{100})=0.004342944819032516$, определена на компьютере с высокой точностью $10^{-18}$. А точность представления в данной вероятностной мере равна $10^{-100}$, т.е. ответ в данной вероятностной мере такой же. Вот, что такое равенство.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #746787 писал(а):

Это в отношение вашего вечного ответа, что бывает только одно равенство. Как видите, асимптотическое равенство равенством не является.

Прекращайте этот театр абсурда.

vicvolf в сообщении #746787 писал(а):

А точность представления в данной вероятностной мере равна $10^{-100}$, т.е. ответ в данной вероятностной мере такой же. Вот, что такое равенство.

Бессмысленный набор слов.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)» в связи с бесперспективностью обсуждения, плохими формулировками определений и утверждений и невозможностью их нормально сформулировать по требованию ЗУ, наличием большого количества разнообразных ошибок при работе с элементарными понятиями и систематическое игнорирование этих ошибок

[nnosipov]

Поддерживаю этот перенос, причина которого как нельзя точно сформулирована.