Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[vicvolf]

shwedka в сообщении #725532 писал(а):

Сложность у Вас все время будет в том, что придется оправдывать предельные переходы при $B\to\infty$, a это сильно непросто.
Можно, конечно, попытаться воспользоваться обобщенным пределом. По теореме Хана-Банаха существует расширение линейного функционала 'предел' с подпространства последовательностей, имеющих предел, на все пространство ограниченных последовательностей. Такое распространение, конечно, не единственно, но возможно выбрать специальное расширение, которое дает 'предел', естественным образом себя ведущий при некоторых элементарных операциях. Например, такой специальный 'предел' инвариантен, если у последовательности отбросить несколько первых членов, либо если каждый член написать два раза...
Диксмье (J. Dixmier) в 60-е и 70- е годы этим занимался, позже такие результаты сильно пригодились в развитии некоммутатвной геометрии.

Большое спасибо, но пока это не требуется. В теме было показано, что асимптотическая плотность не обладает счетной аддитивностью и поэтому не является вероятностной мерой на бесконечном интервале. Я использую плотность последовательности на конечном интервале, которая является конечной вероятностной мерой.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #725790 писал(а):

tolstopuz в сообщении #725617 писал(а):

vicvolf в сообщении #725607 писал(а):

Я просил дать ссылку, если ранее рассматривалась плотность одной последовательности в другой последовательности. Такой ссылки дано не было. Поэтому это новизна. Поскольку ранее не рассматривалась данная плотность, то естественно не доказывалась, что она является вероятностной мерой.

Если за $P(f)$ взять вашу $P(f,A,B)$, то рассмотренная по ссылке величина $P(B\mid A)$ тождественно равна вашей плотности одной последовательности в другой. Также доказано, что она является вероятностной мерой. Следовательно, ваши слова не соответствуют действительности и введенная вами величина новизны не представляет.

Да, так можно получить формулу, но никто ее не получил. Значит не было необходимости. А у меня была такая необходимость, так как интересовался плотностью последовательности простых чисел в последовательности, образованной многочленами.

Тривиальных преобразований и нового обозначения недостаточно для новизны.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #725843 писал(а):

Тривиальных преобразований и нового обозначения недостаточно для новизны.

Бог с этой новизной. Это попахивает защитой диссертации. Я уже давно ее защитил

[vicvolf]

Хотя некоторые участники форума считают это очевидным, но я все таки приведу доказательство этого утверждения.

Утверждение
Пусть на интервале натурального ряда [A,B) имеются две целочисленные, монотонно-возрастающие последовательности: $f(n),g(n)$.
Тогда плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $g(n)$ на интервале [$A,B$) - $P(f\cap g/g,A,B)=\frac {\pi(f\cap g,A,B)} {\pi(g,A,B)}}$ является конечной вероятностной мерой, если последовательность $g(n)$ имеет хотя бы один член на интервале натурального ряда [A,B).

Доказательство
1. Если последовательности $f(n),g(n)$ совпадают на интервале натурального ряда [A,B), то $P(f\cap g/g,A,B)=1$.
2. $P(f\cap g/g,A,B)=\frac {\pi(f\cap g,A,B)} {\pi(g,A,B)}}\geq 0$,так как числитель всегда неотрицателен, а знаменатель положителен на интервале натурального ряда [A,B).
3. Конечная аддитивность.
Пусть имеются две непересекающиеся последовательности $f_1(n),f_2(n)$, тогда:
$P((f_1+f_2)\cap g/g,A,B)=P((f_1+f_2)\cap g,A,B)/P(g,A,B)=\frac {\pi((f_1+f_2)\cap g,A,B)} {\pi(g,A,B)}}=\frac {\pi(f_1 \cap g,A,B) + \pi(f_2 \cap g,A,B)}{\pi(g,A,B)}}=P(f_1\cap g,A,B)/P(g,A,B) +P(f_2\cap g,A,B)/P(g,A,B) =P(f_1\cap g/g,A,B)+P(f_2\cap g/g,A,B)$
ч.т.д.
Примечание.
Если не выполняются условия целочисленности и монотонного возрастания последовательностей, то последовательности могут иметь больше значений, чем количество натуральных чисел на интервале [A,B). В этом случае плотности последовательностей могут стать больше 1 и поэтому не являться вероятностной мерой.

[vicvolf]

Другие участники форума имеют противоположное мнение, что плотность одной последовательности, как доля другой последовательности (условная плотность) не является вероятностной мерой за исключением тривиальных случаев и приводят контрпримеры, которые я разберу. Но сначала примеры условной плотности, которая является условной вероятностью.
Рассмотрим значения вероятностной меры на интервале [3,30) для разных последовательностей:
$f(n)$-последовательность простых чисел, $g_1(n)=2n+1, g_2(n)=n^2+1$. Тогда:
$P(f\cap g_1/g_1,3,30)=\frac {\pi(f\cap g_1,3,30)} {\pi(g_1,3,30)}}=9/14$,
$P(f\cap g_2/g_2,3,30)=\frac {\pi(f\cap g_2,3,30)} {\pi(g_2,3,30)}}=3/10$.
Как видите не тривиальные значения 0 или 1.
А теперь контрпример.
$f(n)$-последовательность простых чисел, $g_3(n)=4n+1, g_4(n)=4n+3$.
Рассмотрим вероятностную меру на интервале [5,43). Тогда значения вероятностной меры для указанных последовательностей:
$P_1=P(f\cap g_3/g_3,5,43)=\frac {\pi(f\cap g_3,5,43)} {\pi(g_3,5,43)}}=6/10$,
$P_2=P(f\cap g_4/g_4,5,43)=\frac {\pi(f\cap g_4,5,43)} {\pi(g_4,5,43)}}=5/9$.
Хотя последовательности: $(f\cap g_3)$ и $(f\cap g_4)$ не имеют пересечений, но $P_1+P_2>1$. Почему? Что аддитивность условной плотности не выполняется?
Аддитивность выполняется. Здесь ошибка. Нельзя суммировать плотности одной последовательности как доли разных последовательностей $g_3(n),g_4(n)$.
А теперь правильный пример выполнения аддитивности.
Рассмотрим вероятностную меру на интервале [7,27) и значения этой вероятностной меры для последовательностей $g(n)=2n+1, f_1(n)=4n+1,f_2(n)=4n+3$.
$P_1=P(f_1\cap g/g,7,27)=\frac {\pi(f_1\cap g,7,27)} {\pi(g,7,27)}}=5/10=1/2$,
$P_2=P(f_2\cap g/g,7,27)=\frac {\pi(f_2\cap g,7,27)} {\pi(g,7,27)}}=5/10=1/2$.
$P_1+P_2=1$.
Теперь проверим. Найдем:
$P((f_1+f_2)\cap g/g,7,27)=\frac {\pi((f_1+f_2)\cap g,7,27)} {\pi(g,7,27)}}=10/10=1$.
Все верно.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #730853 писал(а):

Утверждение
Пусть на интервале натурального ряда [A,B) имеются две целочисленные, монотонно-возрастающие последовательности: $f(n),g(n)$.
Тогда плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $g(n)$ на интервале [$A,B$) - $P(f\cap g/g,A,B)=\frac {\pi(f\cap g,A,B)} {\pi(g,A,B)}}$ является конечной вероятностной мерой, если последовательность $g(n)$ имеет хотя бы один член на интервале натурального ряда [A,B).

В данном случае под монотонно-возрастающей последовательностью понимается строго возрастающая последовательность на интервале [A,B).
Покажем, что целочисленные строго возрастающие последовательности на интервале натурального ряда [A,B) с добавлением последовательностей, не имеющих членов и имеющих один член на данном интервале образуют сигма-алгебру.
1. Имеется последовательность, не имеющая членов на интервале [A,B).
2. Если последовательность $f(n)$ принадлежит [A,B), то последовательность дополнение f(n) до натурального ряда на интервале [A,B) также принадлежит [A,B).
Например, $f(n)$ - последовательность простых чисел на интервале [A,B), то дополнение $f(n)$ - последовательность составных чисел также принадлежит интервалу [A,B) натурального ряда.
3. Если последовательности $f_1(n),f_2(n)$ принадлежат [A,B), то $f_1\cap f_2$ также принадлежит интервалу [A,B). Для объединения последовательностей доказательство проводится через дополнение.

[vicvolf]

Пояснения к доказательству п.2
В случае, если последовательность f(n) не имеет членов на интервале натурального ряда [A,B), то дополняющей строго возрастающей последовательностью является натуральный ряд на интервале [A,B).
В случае, если последовательность является натуральным рядом на интервале [A,B), то дополняющей является последовательность, не имеющая членов на интервале [A,B).
В случае, если последовательность содержит только один член на интервале [A,B) и принимает там значение f(x), где х натуральное число, то дополняющей является натуральный ряд на интервале [A,B) с выколотой точкой f(x).
Для строго возрастающей последовательности на интервале [A,B), принимающей значение $f(x_1), f(x_2), ...f(x_m)$
натурального ряда на интервале [A,B), дополняющей является строго возрастающая последовательность натурального ряда на интервале [A,B) с выколотыми точками $f(x_1), f(x_2), ...f(x_m)$.

Пояснение к доказательству п. 3
В случае, если две строго возрастающие последовательности не имеют общих членов или имеют один общий член на интервале [A,B), то последовательность пересечения также либо не имеет членов на интервале [A,B), либо содержит один общий член на интервале [A,B).
В случае, если две строго возрастающие последовательности имеют более одного общего члена на интервале [A,B) - $f(y_1)<f(y_2)<...f(y_l)$, то последовательность пересечения на интервале [A,B) - $f(y_1)<f(y_2)<...f(y_l)$ естественно является строго возрастающей.

На указанной сигме-алгебре для плотности последовательности, как доли натурального ряда на интервале [A,B) ранее были доказаны три свойства вероятностной меры на конечном интервале, т.е. указанная плотность является конечной вероятностной мерой на интервале [A,B) -$P(A,B)$.
Далее было доказано следствие 2. Напомню его.

Следствие 2
Значением вероятностной меры на интервале от 2 до х - $P(2,x)$ для последовательности простых чисел $f(n)$ является плотность $P(f,2,x)$ равная:
$P(f,2,x) =1/ln(x)+o(1/ln(x)). $(4)

Доказательство
На основании указанных выше свойств (1-3) на интервале от 2 до х плотность последовательности простых чисел $f(n)$ - $P(f,2,x)$ является значением вероятностной меры $P(2,x)$ .
Формула (4) получается на основании асимптотического закона распределения простых чисел и определения о-малой.

Ранее была определена плотность одной последовательности, как доля другой последовательности и показано, что она также является конечной вероятностной мерой.
Было доказано свойство 4 о плотности общей последовательности, образованной пересечением последовательностей, принадлежащих к указанной сигме алгебре, которая является аналогом вероятности совмещения событий.

Указанные выше 4 свойства являются 4 аксиомами, на которой базируется теории вероятности. Поэтому для плотности последовательности, как доли натурального ряда на интервале [A,B) выполняются все формулы теории вероятности, т.е. может быть построена вероятностная модель.

Таким образом выполняются предпосылки для гипотез о простых числах, базирующихся на выполнении следствия 2 и вероятностных моделях:
Харди-Литлвуда - http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Крамера - http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r's_conjecture
Диксона - http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Di ... cture.html
и др.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #731888 писал(а):

Таким образом выполняются предпосылки для гипотез о простых числах, базирующихся на выполнении следствия 2 и вероятностных моделях:
Харди-Литлвуда - http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

Ваши рассуждения о гипотезе Харди-Литтлвуда по сути сводятся к плохому пересказу известного рассуждения, которое можно найти, например, в статье Bateman и Horn, где они обобщают эту гипотезу.

Цитата:

$$Q(f_1,\cdots f_k;N) \sim h_1^{-1}h_2^{-1}\cdots h_k^{-1}C(f_1,\cdots,f_k)\int_2^N(\log u)^{-k}du \eqno (1)$$

...
The heuristic argument in support of (1) may be put into various forms, but essentially amounts to the following. In some sense the chance that a large positive integer $m$ is prime is around $1/\log m$. Since $\log f_i(n)$ is around $h_i \log n$, the chance that $f_1(n), f_2(n), \cdots, f_k(n)$ are all primes would seem to be about

$$h_1^{-1}h_2^{-1}\cdots h_k^{-1}(\log n)^{-k}.$$

But this ignores the fact that $f_1(n),f_2(n),\cdots,f_k(n)$ are not quite random integers. Thus for each prime $p$ we must apply a correction factor $r_p/s_p$, where $r_p$ is the chance that for random $n$ none of the integers $f_1(n),f_2(n),\cdots,f_k(n)$ is divisible by $p$ and $s_p$ is the change that none of the integers in a random $k$-typle is divisible by $p$. But clearly $r_p=1-\omega(p)/p$ and $s_p=(1-1/p)^k$. Thus the chance that $f_1(n),f_2(n),\cdots,f_k(n)$ are all primes for a large positive integer $n$ taken at random is about

$$h_1^{-1}h_2^{-1}\cdots h_k^{-1}C(f_1,\cdots,f_k)(\log n)^{-k}.$$

Hence we would expect $Q(f_1,\cdots f_k;N)$ to be about

$$h_1^{-1}h_2^{-1}\cdots h_k^{-1}C(f_1,\cdots,f_k)\sum_{n=2}^N(\log n)^{-k},$$

which is essentialy the same as the approximation given in (1). This "derivation" of the heuristic formula (1) by the simple expedient of multiplying $p$-adic densities has the virtue that an analogous method gives results known to be correct in Waring's problem and in the theory of quadratic forms.

(В вашем случае с кортежами $f_i(n)=n+a_i$, $h_i=1$.)

Как видите, этот "вывод" (кавычки авторские) кишит словами вида "not quite", "would seem to be about", "we would expect", "essentialy the same", поэтому попытки его обосновать, расписывая страницами тривиальные формулы вероятностной теории меры, выглядят смешно и не несут полезной информации.

vicvolf в сообщении #731888 писал(а):

Крамера - http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r's_conjecture

Извините, вы вообще открывали статью Крамера?

Цитата:

With respect to the ordinary prime numbers, it is well known that, roughly speaking, we may say that the chance that a given integer $n$ should be a prime is approximately $\frac 1 {\log n}$. This suggests that by considering the following series of independent trials we should obtain sequences of integers presenting a certain analogy with the sequence of ordinary prime numbers $p_n$.
Let $U_1, U_2, U_3, \ldots$ be an infinite series of urns containing black and white balls, the chance of drawing a white ball from $U_n$ being $\frac 1 {\log n}$ for $n>2$, while the composition of $U_1$ and $U_2$ may be arbitrarily chosen. We now assume that one ball is drawn from each urn, so that an infinite series of alternately black and white balls is obtained. If $P_n$ denotes the number of the urn from which the $n$th white ball in the series was drawn, the numbers $P_1, P_2, \ldots$ will form an increasing sequence of integers, and we shall consider the class $C$ of all possible sequences $(P_n)$. Obviously the sequence $S$ of ordinary prime numbers $(p_n)$ belongs to this class.

Как видите, для каждого $n$ делается независимое испытание со своей вероятностью успеха $\frac 1 {\log n}$, и из номеров удачных испытаний составляется последовательность, похожая на простые. Это не имеет отношения к вашей вероятностной мере.

[vicvolf]

tolstopuz писал(а):

Ваши рассуждения о гипотезе Харди-Литтлвуда по сути сводятся к плохому пересказу известного рассуждения, которое можно найти, например, в статье Bateman и Horn, где они обобщают эту гипотезу.

Читайте внимательно последнее сообщение. Я никаких рассуждений по гипотезам не делаю, а полностью доверяю их авторам. Я только обосновываю предпосылки гипотез. Все эти гипотезы начинаются со слов - предположим, что вероятность, что натуральное число n является простым равна $1/\ln(n)$, а затем строится модель, основанная на теории вероятности (вероятностная модель).
Если бы эти предположения были доказаны, то авторы бы не начинали гипотезы с таких слов и они бы уже не были гипотезами.
Извините, анализировать гипотезу Харди-Литлвуда по гипотезе Bateman-Horn - это все равно, что из пушки стрелять по воробьям

[tolstopuz]

Такое ощущение, что вы вообще не читаете, что я пишу, лишь выхватываете отдельные слова.

vicvolf в сообщении #733051 писал(а):

Все эти гипотезы начинаются со слов - предположим, что вероятность, что натуральное число n является простым равна $1/\ln(n)$, а затем строится модель, основанная на теории вероятности (вероятностная модель).

Как я указал выше, вероятностная модель Крамера не имеет ничего общего с вашей вероятностной моделью, поэтому ваши рассуждения никаким образом не могут ее обосновывать.

А с гипотезой Харди-Литлвуда дело обстоит так: вы тщательнейшим образом выписываете тривиальные свойства одной конкретной меры на конечном интервале, а затем повторяете своими словами чужие рассуждения, этой мерой не пользующиеся.

vicvolf в сообщении #733051 писал(а):

Если бы эти предположения были доказаны, то авторы бы не начинали гипотезы с таких слов и они бы уже не были гипотезами.

Вы доказываете не необходимые для этих рассуждений предположения, а какие-то свои, потом пытаетесь выдать их за нужные, хотя вам неоднократно указывали разницу. Обычно такое называют жульничеством.

vicvolf в сообщении #733051 писал(а):

Извините, анализировать гипотезу Харди-Литлвуда по гипотезе Bateman-Horn - это все равно, что из пушки стрелять по воробьям

Не извиню. Давайте по существу. Если вы запутались, подставьте указанные мной значения для $f_i$ и $h_i$, и получится "доказательство" гипотезы Харди-Литлвуда средствами теории вероятностей, до боли напоминающее ваши попытки. Статья опубликована в 1962 году и честно называется "Эвристическая асимптотическая формула..." В чем же новизна вашего подхода?

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #733172 писал(а):

А с гипотезой Харди-Литлвуда дело обстоит так: вы тщательнейшим образом выписываете тривиальные свойства одной конкретной меры на конечном интервале, а затем повторяете своими словами чужие рассуждения, этой мерой не пользующиеся.

vicvolf в сообщении #733051 писал(а):

Если бы эти предположения были доказаны, то авторы бы не начинали гипотезы с таких слов и они бы уже не были гипотезами.

Вы доказываете не необходимые для этих рассуждений предположения, а какие-то свои, потом пытаетесь выдать их за нужные, хотя вам неоднократно указывали разницу. Обычно такое называют жульничеством.

Вы обвиняете меня во всех смертных грехах: жульничестве, плагиате. Прошу администраторов форума оценить неадекватное поведение участника!
При том все это делаете с силой достойной наилучшего применения. Невольно задумаешься.....
Однако, делая мне контррекламу, Вы привлекаете к теме внимание специалистов, которые надеюсь выскажут свое мнение.

Теперь вернемся к теме. Начнем с гипотезы Харди-Литлвуда.
В сообщениях ранее я показал, что плотность последовательности, как доля натуральном ряда на конечном интервале [A,B) является вероятностной мерой.
Затем доказал следствие 2 о значении вероятностной меры на интервале [2,x) для плотности последовательности f(n) простых чисел $P(f,2.x)=1/\ln(x)+o(1/\ln(x)).$(1).
Затем я показал возможность использования для данной плотности формул теории вероятности, в том числе вероятности произвения событий.
Обозначим событие, что достаточно большое натуральное х является простым числом - $A_1$.
Обозначим событие, что х+2 является простым числом - $A_2$.
Вероятности событий $Pr(A_1),Pr(A_2),Pr(A_2/A_1)$ при достаточно большом х относятся к одной вероятностной мере - $P(2,x)$, поэтому их можно сравнивать и применить к ним формулу вероятности произведения событий:
$Pr(A_1 \cdot A_2)=Pr(A_1) \cdot Pr(A_2/A_1).$(2)
События $A_1,A_2$ являются зависимыми событиями, так как если произойдет событие $A_1$ и х будет простым числом, то х+2 будет нечетным числом и поэтому $Pr(A_2/A_1)$ отличается от $P(A_1)$, т.е $Pr(A_2/A_1)=C\cdot P(A_1),$ где С не равно 1(подробнее смотри первоисточник, так как я не доказываю гипотезу).
На основании (1),(2) получаем:
$Pr(A_1 \cdot A_2)=Pr(A_1) \cdot Pr(A_2/A_1)=C[1/\ln(x)+o(1/\ln(x))] [1/\ln(x)+o(1/\ln(x))] =C/\ln^2(x)+o(1/\ln^2(x)).$ (3)
Формула (3) соответствут гипотезе Харди-Литлвуда.

То что я написал это очевидный факт, который неоднакратно писался на этом форуме при предположении, что вероятность, что натуральное число х является простым равна $1/\ln(x)$.
Отличие только в том, что я доказал это предположение и показал правомочность использования формул теории вероятности в одной вероятностной мере - $P(2,x)$.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #733457 писал(а):

События $A_1,A_2$ являются зависимыми событиями, так как если произойдет событие $A_1$ и х будет простым числом, то х+2 будет нечетным числом и поэтому $Pr(A_2/A_1)$ отличается от $P(A_1)$, т.е $Pr(A_2/A_1)=C\cdot P(A_1),$ где С не равно 1(подробнее смотри первоисточник, так как я не доказываю гипотезу).

А чем вы вообще занимаетесь? Пишете фантастический роман математическими значками? Если вы пишете "т.е.", это означает следование, которое должно быть обосновано.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #733484 писал(а):

vicvolf в сообщении #733457 писал(а):

События $A_1,A_2$ являются зависимыми событиями, так как если произойдет событие $A_1$ и х будет простым числом, то х+2 будет нечетным числом и поэтому $Pr(A_2/A_1)$ отличается от $P(A_1)$, т.е $Pr(A_2/A_1)=C\cdot P(A_1),$ где С не равно 1(подробнее смотри первоисточник, так как я не доказываю гипотезу).

Если вы пишете "т.е.", это означает следование, которое должно быть обосновано.

Все обосновано!

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #733546 писал(а):

tolstopuz в сообщении #733484 писал(а):

vicvolf в сообщении #733457 писал(а):

События $A_1,A_2$ являются зависимыми событиями, так как если произойдет событие $A_1$ и х будет простым числом, то х+2 будет нечетным числом и поэтому $Pr(A_2/A_1)$ отличается от $P(A_1)$, т.е $Pr(A_2/A_1)=C\cdot P(A_1),$ где С не равно 1(подробнее смотри первоисточник, так как я не доказываю гипотезу).

Если вы пишете "т.е.", это означает следование, которое должно быть обосновано.

Все обосновано! Не понятно только Вам, так как вы не хотите понять!

Не кипятитесь. Покажите обоснование, и мы вместе его рассмотрим.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #733553 писал(а):

Покажите обоснование, и мы вместе его рассмотрим.

Надеюсь Вы не отрицаете, что события $A_1$ и $A_2$ зависимы? Они зависимы потому, что если известно, что событие $A_1$ наступило, то вероятность события $Pr(A_2/A_1)$ изменится по сравнению с $Pr(A_2)$, когда не известно наступило или не наступило событие $A_1$.