Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[Nataly-Mak]

Ура, проблему решила
Спасибо всем за рекомендации.
Программу коллеги нашла (вспомнила, где он её выкладывал):

svb в сообщении #368976 писал(а):

Забавное это решето Сундарама. Вот попробовал на basic-е...

Может быть, ещё кому пригодится. Очень хорошая программа! Сгенерировала простые в интервале (500 000, 50 000 000) за несколько секунд (на моём тихоходе).
В этом интервале нашлось 2959596 простых чисел.
Ну, а далее выбрала близнецов своей программой, она тоже справилась за несколько секунд. Пар близнецов оказалось 239101.
Вот "хвост" массива близнецов:

...
 49997069 
 49997159 
 49997807 
 49998029 
 49998491 
 49998659 
 49998911 
 49998917 
 49999289 
 49999349 
 49999637 
 49999751 
 49999757 
KOLICHESTVO PAR BLIZNECOV 239101

Если у кого есть такой массив близнецов, проверьте, пожалуйста.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #733653 писал(а):

Из выполнения события $A_1$ достоверно следует событие $A_3$. При выполнении события $A_3$ меняется вероятность события $A_2$. Поэтому, при выполнении события $A_1$ меняется вероятность события $A_2$.

Логическая ошибка, характерная для магического мышления.

При игре на барабане происходит звук, подобный грому.
При звуке, подобном грому, меняется вероятность наступления дождя.
Поэтому при игре на барабане меняется вероятность наступления дождя.

Еще более простой пример такой ошибки:

Все тигры - животные.
Некоторые животные - жвачные.
Следовательно, некоторые тигры - жвачные.

[tolstopuz]

Вот вам еще один вариант нестрогого обоснования гипотезы Харди-Литлвуда.

Чтобы число $n$ было простым, оно не должно делиться на предыдущие простые числа. Если считать факты делимости на разные простые числа независимыми, то получаем

$$P(n)=\prod_{p<n}P_p(n)\approx\prod_{p<n}\frac{p-1}p=\frac 1 2 \frac 2 3 \frac 4 5 \frac 6 7 \frac {10} {11} \frac {12}{13}\ldots$$

(здесь и далее все произведения берутся по простым числам).

Для $p$, малых по сравнению с $\sqrt{n}$, независимость действительно хорошо соблюдается: $(1-P_5(1000))(1-P_7(1000))=\frac{200}{1000}\frac{142}{1000}=0,0284$, а $1-P_{35}(1000)=\frac{28}{1000}=0,028$.

Для $p$, сравнимых с $\sqrt n$ и еще больших, ситуация намного хуже: $(1-P_{23}(1000))(1-P_{29}(1000))=\frac{23}{1000}\frac{29}{1000}=0,001462$, а $1-P_{23\cdot29}(1000)=\frac{1}{1000}=0,001$.

Поэтому введем эмпирический поправочный коэффициент $K(n)$, нейтрализующий зависимость:

$$P(n)=K(n)\prod_{p<n}P_p(n)\approx K(n)\prod_{p<n}\frac{p-1}p=K(n)\frac 1 2 \frac 2 3 \frac 4 5 \frac 6 7 \frac {10} {11} \frac {12}{13}\ldots$$

Нетрудно проверить, что эта формула довольно точно описывает реальное распределение простых чисел, разве что требуемое для подгонки $K(n)$ плавно падает с ростом $n$ с $1.907$ ($n=10^7$) до $1.877$ ($n=10^9$), и дальнейшее поведение неясно.

Если мы знаем, что число $n$ простое, эта дополнительная информация дает уточненное значение вероятности простоты числа $n+2$:

$$Q(n)=K'(n)\prod_{p<n}Q_p(n)\approx K'(n)\prod_{2<p<n}\frac{p-2}{p-1}=K'(n)\frac 1 2 \frac 3 4 \frac 5 6 \frac 9 {10} \frac {11}{12}\ldots$$

Опыты показывают, что $K'(n)$ стабильно чуть больше $K(n)$, где-то на $0,3-0,35\%$ при $2\cdot10^8<n<10^9$. При нашей "строгости" такая погрешность не имеет значения.

Нетрудно заметить, что

$$\frac{Q(n)}{P(n)}\approx\prod_{p<n}\frac{Q_p(n)}{P_p(n)}\approx2\prod_{2<p<n}\frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\approx2C_2$$

Следовательно,

$$P(n)Q(n)\approx2C_2P(n)^2$$

в чем, собственно, и состоит гипотеза.

[vicvolf]

Руст в сообщении #733836 писал(а):

Нет логики в следующих предложениях.
Поэтому, при выполнении события $A_1$ меняется вероятность события $A_2$.

Возьмите например подмножество $A_1$
$A_4$ - число $x$ простое число вида $6k+1$.
И поробуйте то же самое проигрывать с $A_4$ вместо $A_1$.
У вас получится $Pr(A_2/A_4)>Pr(A_2)$ - полная чушь.

Все не так просто. Да, конечно простые числа x вида 6k+1 дают х+2 - составные вида 6K+3. Однако простые числа х вида 6k-1 дают х+2 - нечетные вида 6K+1, среди которых плотность простых чисел в 3 раза больше, чем среди натурального ряда.
Кстати здесь я говорил только о том, что $P(A_2)$ не равно $P(A_2/A_1)$. Что кто-то считает, что они равны?

-- 07.06.2013, 19:32 --

tolstopuz в сообщении #734134 писал(а):

Нетрудно заметить, что

$$\frac{Q(n)}{P(n)}\approx\prod_{p<n}\frac{Q_p(n)}{P_p(n)}\approx2\prod_{2<p<n}\frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\approx2C_2$$

..

Узнаю формулу расчета коэффициента в формуле Харди-Литлвуда для простых близнецов, который был сделан еще авторами гипотезы. Не понял зачем повторяться без цитирования автора.
http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #734142 писал(а):

Узнаю формулу расчета коэффициента в формуле Харди-Литлвуда для простых близнецов, который был сделан еще авторами гипотезы. Не понял зачем повторяться без цитирования автора.
http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

Я рад, что вы узнали формулу. Теперь попробуйте оценить приведенное выше ее обоснование :)

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #734134 писал(а):

Нетрудно заметить, что

$$\frac{Q(n)}{P(n)}\approx\prod_{p<n}\frac{Q_p(n)}{P_p(n)}\approx2\prod_{2<p<n}\frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\approx2C_2$$

На основании гипотезы Харди-Литлвуда $2C_2=1,32032...$ -
http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
На основании гипотезы Харди-Литлвуда количество членов последовательности простых близнецов f(n) на интервале натурального ряда [2,x) определяется формулой:
$\pi(f,2,x) \sim 1,32\int_{2}^{x}{\frac {dt} {\ln^2(t)}}.$ (1)
Формула 1 эквивалентна формуле для плотности последовательности простых близнецов f(n) на интервале натурального ряда [2,x):
$P(f,2,x) \sim 1,32/\ln^2(x).$ (2)
Теперь в терминах теории вероятности. Обозначим событие, что натуральное число х является простым числом - $A_1$, а событие, что натуральное число х+2 является простым числом - $A_2$. Тогда формулу 2 можно записать, как вероятность произведения событий:
$Pr(A_1 \cdot A_2)=Pr(A_1)Pr(A_2/A_1)=1,32/\ln^2(x).$ (3)
Гипотеза Харди-Литлвуда доказывается при предположении, что
$Pr(A_1)=1/\ln(x).$ (4)
При большом х выполняется:
$Pr(A_2)=1/\ln(x).$ (4.1)
Из формул 3, 4 и 4.1 следует:
$Pr(A_2/A_1)=Pr(A_1 \cdot A_2)/Pr(A_1)=1,32/\ln(x)>Pr(A_2)=1/\ln(x).$ (5)
Таким образом, из формулы 5 следует:
$Pr(A_2/A_1)>Pr(A_2).$

-- 08.06.2013, 14:18 --

Руст в сообщении #733888 писал(а):

Кстати согласно оценке Бруна
(1) $Pr(A_2/A_1)<Pr(A_2)$ в протиположность vicvolf.
Причем это не только согласно этой гипотезе. Оценка сверху для близнецов доказанный факт, а не гипотеза.
Т.е. (1) является доказанным утверждением.

То что Вы написали означает, что является доказанным фактом, что гипотеза Харди-Литлвуда не верна, так как по этой гипотезе $Pr(A_2/A_1)>Pr(A_2)$.
Ссылка на оценку Бруна здесь не уместна, так как оценка Бруна не противоречит гипотезе Харди-Литлвуда.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #734367 писал(а):

Из формул 3, 4 и 4.1 следует:
$Pr(A_2/A_1)=Pr(A_1 \cdot A_2)/Pr(A_1)=1,32/\ln(x)>Pr(A_2)=1/\ln(x).$ (5)

Естественно, если принимать гипотезу Харди-Литлвуда как данность, это утверждение тривиально из нее следует.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #734374 писал(а):

vicvolf в сообщении #734367 писал(а):

Из формул 3, 4 и 4.1 следует:
$Pr(A_2/A_1)=Pr(A_1 \cdot A_2)/Pr(A_1)=1,32/\ln(x)>Pr(A_2)=1/\ln(x).$ (5)

Естественно, если принимать гипотезу Харди-Литлвуда как данность, это утверждение тривиально из нее следует.

Если не считать простое число 2, то $A_2\cdot A_3=A_2$, что допустимо при больших х.
При больших х также справедливо $Pr(A_1)=Pr(A_2)=1/\ln(x)$.
Тогда, так как $Pr(A_3/A_1)=1$, то:
$Pr(A_1\cdot A_2)=Pr(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3)=Pr(A_1)Pr(A_3/A_1) Pr(A_2/A_1,A_3)=Pr(A_1) Pr(A_2/A_1,A_3).(1)$
Так как плотность простых чисел среди нечетных чисел больше, чем плотность простых в натуральном ряде, то:
$Pr(A_2/A_1,A_3)>Pr(A_2),$ следовательно
$Pr(A_1\cdot A_2)> Pr(A_1)Pr(A_2).$ (2)
На основании 2:
$Pr(A_1\cdot A_2)=C\cdot Pr(A_1)Pr(A_2)=C/\ln^2(x),$ (3) где С>1.
Формула 3 соответствует гипотезе Харди-Литлвуда.
Из этого следует: $Pr(A_2/A_1)>Pr(A_2).$

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #734430 писал(а):

Так как плотность простых чисел среди нечетных чисел больше, чем плотность простых в натуральном ряде

Это утверждение записывается как $Pr(A_2/A_3)>Pr(A_2)$.

vicvolf в сообщении #734430 писал(а):

$Pr(A_2/A_1,A_3)>Pr(A_2)$

А это другое утверждение - "плотность простых чисел среди нечетных чисел, следующих за простыми, больше, чем плотность простых в натуральном ряде".

Вы опять пытаетесь выдать одно утверждение за другое.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #734607 писал(а):

vicvolf в сообщении #734430 писал(а):

Так как плотность простых чисел среди нечетных чисел больше, чем плотность простых в натуральном ряде

Это утверждение записывается как $Pr(A_2/A_3)>Pr(A_2)$.

vicvolf в сообщении #734430 писал(а):

$Pr(A_2/A_1,A_3)>Pr(A_2)$

А это другое утверждение - "плотность простых чисел среди нечетных чисел, следующих за простыми, больше, чем плотность простых в натуральном ряде".

Разобьем все натуральные числа на 4 непересекающихся класса: 4n-3, 4n-2, 4n-1,4n (где n - натуральное число).
Числа вида 4n-2 и 4n - четные числа, а числа вида 4n-3 и 4n-1 - нечетные. Если натуральное число x - простое не равное 2, то оно принадлежит классу 4n-3 или 4n-1. Если простое число х принадлежит классу нечетных чисел 4n-3, то простое число х+2 принадлежит классу нечетных чисел 4n-1, а если простое х принадлежит классу нечетных чисел 4n-1, то простое число х+2 принадлежит классу нечетных чисел 4n+1, при этом классы нечетных чисел 4n-1 и 4n+1 также не пересекаются.
Поэтому плотность простых чисел среди нечетных чисел следующих за простыми равна плотности простых чисел в классах чисел вида 4n-1 и 4n+1, которая равна -$2/\ln(x)$. Естественно она больше плотности простых в натуральном ряде -$1/\ln(x)$.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #734658 писал(а):

Поэтому плотность простых чисел среди нечетных чисел следующих за простыми равна плотности простых чисел в классах чисел вида 4n-1 и 4n+1, которая равна -$2/\ln(x)$.

Вы опять путаете две вероятности: $Pr(A_2/A_3)=2/\ln x$ - очевидный факт, а $Pr(A_2/A_1)=2C_2/\ln x$ - гипотеза Харди-Литлвуда, которой вы хотите придумать правдоподобное объяснение, но у вас не получается.

Как видите, $Pr(A_2/A_1) < Pr(A_2/A_3)$, то есть факт простоты нечетного числа $x$ уменьшает шанс нечетного числа $x+2$ быть простым. Не правда ли, забавно?

Вы можете сами в этом убедиться прямым экспериментом. Вот здесь есть большая таблица с количествами простых, близнецов и некоторых кортежей:

http://sage.math.washington.edu/home/ks ... _R_NICELY/

Например, на интервале $\left[3,1000000\right)$ есть $78497$ простых чисел и $8169$ пар близнецов. Это означает, что вероятность нечетного числа быть простым равна $Pr(A_2/A_3)=\frac{78497}{500000}\approx 15,7\%$. С другой стороны, у нас есть $78497$ нечетных чисел, идущих после простых, и из них простыми являются $8169$. Это означает, что вероятность числа после простого также быть простым равна $Pr(A_2/A_1)=\frac{8169}{78497}\approx10,4\%$, то есть меньше. И разница как раз в $C_2$ раз.

-- Вс июн 09, 2013 19:35:42 --

Знание о том, что $x$ простое, дает нам разнообразную информацию, влияющую на вероятность простоты числа $x+2$.

1. Как вы справедливо заметили, число $x+2$ гарантированно нечетно. Это дает двойку.
2. Произвольное число не делится на $3$ с вероятностью $\frac 2 3$, но, так как $x$ не делится на $3$, у нас не три, а только два варианта: либо $x=3n+1$ и $x+2$ делится на $3$, либо $x=3n+2$ и $x+2$ не делится на $3$. То есть вместо $\frac 2 3$ мы имеем меньшую вероятность неделимости $x+2$ на $3$, а именно $\frac 1 2$, что дает поправку в $\frac 3 4$.
3. Та же ситуация с делимостью на $5$, что дает $\frac {15}{16}$.
...

Как видите, только первый факт увеличивает вероятность, остальные ее уменьшают, поэтому вашего рассуждения о нечетности совершенно недостаточно. Более того, только в предположении о независимости вероятностей делимости на различные простые числа мы можем рассматривать их как коэффициенты и получить пресловутое $2C_2$ как бесконечное произведение. Не забывайте, кстати, о счетной аддитивности, требуемой для этой операции. Кроме того, надо доказать, что, кроме вышеупомянутых, нет других факторов, влияющих на эту вероятность. И еще нужно доказать, что при любом простом $p$ остатки от деления простых чисел на $p$ распределены равномерно.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #734713 писал(а):

гипотеза Харди-Литлвуда, которой вы хотите придумать правдоподобное объяснение, но у вас не получается.

Я повторяю я не доказываю гипотезу Харди-Литлвуда, я ее уже доказал через асимптотику topic62088-75.html. Но сейчас разговор не об этом. Сейчас я говорю о вероятностых предпосылках к доказательству гипотез о простых числах и в частности гипотеза Харди-Литлвуда, а доказательством занимаетесь Вы. Вот о нем и поговорим.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #734956 писал(а):

Сейчас я говорю о вероятностых предпосылках к доказательству гипотез о простых числах и в частности гипотеза Харди-Литлвуда

Пока никаких предпосылок у вас нет. Есть тривиальные факты из теории меры, не относящиеся к гипотезам. Когда вы пытаетесь их притянуть друг к другу, у вас постоянно возникают не просто ошибки, а элементарные ляпы, наводящие на мысль, что при вашем уровне математической подготовки лучше этим делом вообще не заниматься.

vicvolf в сообщении #734956 писал(а):

а доказательством занимаетесь Вы. Вот о нем и поговорим.

В очередной раз прошу внимательнее читать мои сообщения. Я не занимаюсь доказательством, так же как и вы. Я даю нестрогое обоснование, так как ваши неумелые попытки вызывают у меня когнитивный диссонанс.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #734134 писал(а):

Вот вам еще один вариант нестрогого обоснования гипотезы Харди-Литлвуда.
Чтобы число $n$ было простым, оно не должно делиться на предыдущие простые числа. Если считать факты делимости на разные простые числа независимыми, то получаем

$$P(n)=\prod_{p<n}P_p(n)\approx\prod_{p<n}\frac{p-1}p=\frac 1 2 \frac 2 3 \frac 4 5 \frac 6 7 \frac {10} {11} \frac {12}{13}\ldots$$

(здесь и далее все произведения берутся по простым числам).

Это вероятность, что натуральное число n является простым числом. Кстати легко показать, что $\prod_{p<n}\frac{p-1}p \sim 1/\ln(n)$.

Цитата:

Поэтому введем эмпирический поправочный коэффициент $K(n)$, нейтрализующий зависимость:

Значит все таки есть зависимость и предположение о независимости остатков по простому модулю не верно. Можно получить эту формулу из моей предпосылки вероятности, что натуральное n является простым числом - $1/\ln(n)$ без предположения о независимости остатков.

Цитата:

и дальнейшее поведение неясно.

Вот именно, а при моем предположении дальнейшее поведение ясно.

Цитата:

Если мы знаем, что число $n$ простое, эта дополнительная информация дает уточненное значение вероятности простоты числа $n+2$:

$$Q(n)=K'(n)\prod_{p<n}Q_p(n)\approx K'(n)\prod_{2<p<n}\frac{p-2}{p-1}=K'(n)\frac 1 2 \frac 3 4 \frac 5 6 \frac 9 {10} \frac {11}{12}\ldots$$

Опыты показывают, что $K'(n)$ стабильно чуть больше $K(n)$, где-то на $0,3-0,35\%$ при $2\cdot10^8<n<10^9$. При нашей "строгости" такая погрешность не имеет значения.

Все эти нестрогости не нужны. Все это вытекает из моей предпосылки и.т.д.
Вы торопитесь с ответом и не даете мне закончить сообщение, поэтому получаются 2 сообщения вместо одного.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #734966 писал(а):

Кстати легко показать, что $\prod_{p<n}\frac{p-1}p \sim 1/\ln(n)$.

Это неверно, и в этом можно легко убедиться, посмотрев числовые данные. Скажем, если $n=1000000$, то $\prod_{p<n}\frac{p-1}p\approx 0,04064$, в то время как $1/\ln n\approx 0,07238$. Можете посмотреть и для других значений $n$ - ситуация такая же.

vicvolf в сообщении #734966 писал(а):

Значит все таки есть зависимость и предположение о независимости остатков по простому модулю не верно. Можно получить эту формулу из моей предпосылки вероятности, что натуральное n является простым числом - $1/\ln(n)$ без предположения о независимости остатков.

Из вашей предпосылки следует неверный вывод. Следовательно, предпосылка неверна.