2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение29.06.2015, 12:31 


31/12/10
1333
Я думаю, что наличие групп (кортежей) вычетов ПСВ в интервале должно быть
точно определено. Здесь может быть несколько вариантов.
1. Все вычеты группы (кортежа) должны находиться в данном интервале.
2. Некоторые вычеты находятся за пределами интервала.
3. Достаточно, чтобы один вычет группы (кортежа) был бы в данном интервале.

 Профиль  
                  
 
 Re:Группы (кортежи) 4_2_4
Сообщение07.01.2016, 12:19 


31/12/10
1333
Ранее были рассмотрены группы (кортежи) вычетов с разностями (2,4.2) и (6,2,6).
Но есть еще группы (кортежи) простых чисел с разностями между ними (4,2,4) в
ряду простых чисел.
Например, это натуральные группы 13,17,19,23, или 37,41,43,47.
Будем рассматривать эти группы (кортежи) в ПСВ по модулю $M=p\#$.
Приведенная группа (все натуральные вычеты группы уменьшаются на величину первого вычета)
D[4] = (0, 4, 6, 10)
Число таких групп в ПСВ(М) равно $2\varphi_4(M)=2\prod_5^p(p-4)$ - где
$\varphi_4(M)$ - функция Эйлера 4-го порядка.

Особенности таких групп.
1) Первый и третий вычеты групп типа 6n + 1, второй и 4-ый вычет 6n - 1.
2) Первый натуральный вычет группы (кортежа) вида 10х + 3 или 10х + 7,
последний вычет 10х + 13 или 10х + 17 соответственно.
3) Для определения проходимости таких групп по модулю р = 7 необходимо
найти все наибольшие вычеты этих групп в ПСВ по модулю $M=7\#$
в натуральном виде. В ПСВ(210) таких групп 6 с наибольшими вычетами:
23, 47, 107, 113, 173, 197, которые сравнимы р = 7 при 23 - 2, 47 - 5, 107 - 2,
113 - 8, 173 - 5, 197 - 8. Во всех последующих ПСВ при M > 210 наибольшие вычеты
этих групп будут иметь аналогичную сравнимость по модулю р = 7, т.е. р - 2, или
р - 5, или р - 8.

Для дальнейших рассуждений необходимо создать группу (кортеж) из двух
групп D[4] с общей разностью 2р, где р из интервала простых чисел ПСВ, т.е.
$p_{r+1} < p<p^2_{r+1}$
Получим приведенную группу H[8] = (0, 4, 6, 10, 2p - 10, 2p - 6, 2p - 4, 2p).

Например, в ПСВ(210) есть натуральная группа 13,17,19,23,97,101,103,107, где
общая разность 2р = 107 - 13 = 94. Такая группа в ПСВ с минимальными по
абсолютной величине вычетами будет -47,-43,-41,-37,...(0)...+37, 41, 43 ,47.

Так как число вычетов в группе H[8] равно 8, то нам необходимо проверить
проходимость таких групп (кортежей) только до р = 7.
Для определения проходимости групп по модулям р - 3, р - 5, р - 7 находим
модули сравнения вычетов приведенной группы H[8].
Расположим вычеты приведенной группы в следующем порядке.
В первой колонке находятся ненулевые вычеты группы в порядке убывания,
которые сравниваются с 0.
В последующих колонках располагаются вычеты, подлежащие сравнению
с вычетами первой колонки. Всего вычетов 7. Число сравнений 28.

$2p\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;10\;\;\;\;2p-10\;\;\;\;2p-6\;\;\;\;2p-4$

$2p-4\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;10\;\;\;\;2p-10\;\;\;\;2p-6$

$2p-6\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;10\;\;\;\;2p-10$

$2p-10\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;10$

$10\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6$

$\;\;6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4$

$\;\;\;\;4$

Т.к. вычеты приведенной группы четные, то для определенности будем
убирать эту четность, сокращая сравнения на 2.
Все вычисления оставляем читателю и приводим окончательные результаты, т.е.
модули сравнений вычетов приведенной группы (в скобках их число).
Парные модули:
р - 2 (2). р - 3 (2), р - 5) (4), р - 7 (2), р - 8 (2), 10 (2), 6 (2), 4 (4), 2 (2).
Непарные модули:
р, р - 4, р - 6, р - 10.
Это вычеты приведенной группы, взаимно простые с модулем М.

Проходимость по модулю $p=3,\;K(3)=3+m(3)-8$.
Имеем 4 модуля сравнения 6 и два модуля р - 2, которые делают вычеты
6n - 1 сравнимыми по модулю 3, т.е. $m(3)=6,\;K(3)=3+6-8=1$

Проходимость по модулю $p=5,\;k(5)=5+m(5)-8$.
Имеем два модуля р - 3 и два модуля р - 7, которые делают вычеты 10х + 3
и 10х + 7 сравнимыми по модулю 5, т.е.$m(5)=4,\;K(5)=5+4-8=1$

Проходимость по модулю $p=7,\;K(7)=7+m(7)-8$
Имеем два модуля р - 2, два модуля р - 5, два модуля р - 8, поэтому
как мнимум $m(7)=2,\;K(7)=7+2-8=1$

Остается доказать, что число таких групп (кортежей) в любой ПСВ нечетно.

Число любых групп (кортежей) вычетов, существующих в ПСВ по модулю
$M=p\#$ определяется по формуле $A_n\varphi_n(M)$, где
$A_n$ - коэффициент проходимости данной группы.
$A_n=\prod\frac{K(p)}{\varphi_n(p)}$ - по всем р, по которым сравниваются вычеты
данной группы и которые входят в состав модуля $M=p\#$.
$n$ - число вычетов в группе (кортеже).
$K(p)=p+m(p)-n$ - проходимость группы по модулю р (нечетная
при четных $m(p)$ и $n$).
$\varphi_n(p)=p-n\;\; (p>n)$ - функция Эйлера n-го порядка по модулю р (нечетная
при четном n).
$\varphi_n(M)=\prod\varphi_n(p)$ - функция Эйлера n-го порядка по модулю $M=p\#.$

В нашем случае число вычетов в группе H[8] равно 8,
m(p) по всем модулям сравнений вычетов данной группы четные.
Число групп (кортежей) H[8] в любой ПСВ нечетное. Вычеты в группе
расположены симметрично и одна из групп находится среди простых чисел
ПСВ по модулю $M=p\#$ с минимальными по абсолютной величине вычетами.

...-p,-(p - 4),-(p - 6),-(p -10),...(0)...+(p - 10), (p - 6), (p - 4), p

В выборе модуля мы не ограничены, следовательно, в любой ПСВ(М)
группы (кортежи) с разностями (4, 2, 4) есть в интервале простых чисел.

Рассмотрим приведенный ранее пример, где 2р = 94.
Приведенная группа H[8] = (0,4,6,10,84,88,90,94) в ПСВ(210).
Проходимость по модулю р = 3. Имеем 6 сравнимых вычетов
0,6,84,90 и 4,10,88,94, т.е. m(3) = 6, К(3) = 3 + 6 - 8 = 1.
Проходимость по модулю р = 5. Имеем 4 сравнимых вычета
0,10,90 и 4,84,94, т.е. m(5) = 4, K(5) = 5 + 4 - 8 = 1.
Проходимость по модулю р = 7. Имеем 4 сравнимых вычета
0,84; 4,88; 6,90; 10,94, т.е.m(7) = 4, К(7) = 7 + 4 - 8 = 3.
Коэффициент проходимости $A_8=\prod\frac{K(p)}{\varphi_8(p)}=3.
Число групп Н[8] равно 3 в ПСВ(210) с минимальными по абсолютной величине вычетами
1) -107,......-13. 2) -47,......+47. 3) 13,.......107.
В основной ПСВ (минимальные положительные вычеты)
1) 13,.......107. 2) 103,.......197. 3) 163,.......257.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение09.01.2016, 20:35 


31/12/10
1333
Здесь допущена ошибка
vorvalm в сообщении #1088677 писал(а):
Имеем 4 модуля сравнения 6 и два модуля р - 2, которые делают вычеты
6n - 1 сравнимыми по модулю 3,

Следует читать?
"Имеем 4 модуля р - 5 и два модуля р - 2 ".... и далее по тексту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение13.06.2016, 14:30 


31/12/10
1333
Рассмотрим группу вычетов (кортеж) с разностями между
соседними вычетами $(8,4,2,4,2,4,8)$ и общей разностью $32$.
Они существуют в ПСВ и среди простых чисел.
Приведенная группа $H[8]=(0,8,12,14,18,20,24,32).$
Проходимость по модулю $3.$

$m(3)=6,\;K(3)=3+6-8=1.$

Проходимость по модулю $5.$

$m(5)=4,\;K(5)=5+4-8=1.$

Проходимость по модулю $7.$

$m(7)=2,\;K(7)=7+2-8=1.$

$A_8=\prod\frac{K(p)}{\varphi_8(p)}=1.$

Число групп $H[8]$ в ПСВ по модулю $p\#$ равно:

$N(H[8])=A_8\varphi_8(M)=\varphi_8(M).$

В ПСВ по модулям $3\#,\;5\#,\;7\#$ одна такая группа.
В ПСВ по модулю $11\#$ их $3$, по модулю $13\#$ их $15$ и далее
число их растет в соответствии с функцией $\varphi_8(M)$.
Все они состоят из взаимно простых и простых вычетов.
И только в ПСВ по модулю $23\#$ при $\varphi_8(23\#)=22275$ появляется
одна группа $H[8]$, состоящая только из простых чисел
с первым вычетом $50943779$.
В ПСВ по модулю $29\#$ число таких групп уже 20, а в ПСВ по
модулю $31\#$ их $169$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение13.06.2016, 15:30 


23/02/12
1531
Это конечно интересно, но не является доказательством бесконечности таких простых кортежей в натуральном ряде по указанной ниже причине. Я уже писал об этом.
vicvolf в сообщении #1031517 писал(а):

Вы доказываете наличие кортежей определенного вида на интервале ($p_{r+1},p^2_{r+1}$) в любом модуле ПСВ. Из этого вытекает, что он простой, но при увеличении модуля ПСВ эти кортежи могут повторяться, т.е. они не обязательно новые. Поэтому из бесконечности модулей ПСВ не следует бесконечность данного вида простых кортежей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение13.06.2016, 18:29 


31/12/10
1333
В данном случае ни о каком доказательстве речь не идет.
Я просто привел пример существования такой достаточно
большой группы вычетов (кортежей) в ПСВ по модулю $p\#,$
в том числе и состоящих только из простых вычетов.
Для доказательства бесконечности таких групп в натуральном ряду
необходимо рассматривать эти группы в ПСВ по модулю более $50000000\#$.
Это даже трудно себе представить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение23.11.2016, 08:52 


31/12/10
1333
Асимптотика функций Эйлера

Как возникла идея расширения концепции функции Эйлера?
Прежде всего на основе учебника А.А.Бухштаба "Теория чисел" и
монографии К.Прахара "Распределение простых чисел".
У Бухштаба в разделе "Приведенные системы вычетов" (ПСВ) нетрудно
заметить, что если брать модуль ПСВ, равный праймориалу $M=p\#,$ то
число вычетов ПСВ исходя из формулы Эйлера равно

$\varphi(M)=m\prod(1-1/p)=\prod(p-1),\;\;p\mid m$

В ПСВ по модулю $M=p_r\#$ при последовательном расположении вычетов,
начиная с $1,$ есть интервал простых чисел от $p_{r+1}$ до $p_n<p^2_{r+1}.$
И первое, что приходит в голову, использовать функцию Эйлера для определения
числа простых чисел на этом интервале, применив обыкновенную пропорцию.
Обозначим число простых вычетов не превосходящих $x$ на этом интервале $p(x)$,
т.е. $p_{r+1}<x<p^2_{r+1}$, тогда

$\pi(x)=p(x)+r$, где $r$ - число простых чисел в модуле $M=p_r\#.$

Указанный интервал с увеличением модуля ПСВ увеличивается по размеру как $\varphi(p)\cdot p$,
но доля его в ПСВ уменьшается и пока $x$ находится в пределах интервала данной ПСВ
средняя плотность вычетов ПСВ $\alpha$ остается постоянной.

$\alpha=\varphi(M)/M=\prod(1-1/p)\sim A/\ln x\;\;(M=p\#)$

Т.е. по теореме Мертенса средняя плотность вычетов ПСВ $\alpha$
асимптотически рaвна средней плотности простых чисел этого интервала.

$p(x)+1=\alpha\cdot x\;\;\lor \;\;\pi(x)=\alpha\cdot x +r-1$

Данные формулы дают минимальные отклонения от истинных значений $p(x)\;\land\;\pi(x)$ при

$x=p^2_{r+1}-1$

У Прахара в разделе "Элементарные результаты" приводится доказательство
формулы В.Бруна по оценке числа близнецов не превосходящих $x.$

$\pi_2(x)\leqslant C/\ln^2 x$ и там же $\prod(1-2/p)<c/\ln^2x,\;\;2<p<x$

Нетрудно заметить, сопоставляя формулы Мертенса и Бруна, что
средняя асимптотическая плотность простых чисел и простых близнецов
отличаются степенью знаменателя. Т.е. по Прахару (Бруно)

$\prod(p-2)/p<c/\ln^2 x$ и по Мертенсу $\prod(p-1)/p\sim A/\ln x$

У Мертенса в числителе функция Эйлера $\varphi(M)=\prod(p-1)$, но
у Прахара в числителе функция $\prod(p-2).$ Что она означает?
Если функция Эйлера дает число вычетов ПСВ по модулю $M=p\#$, то
функция $\prod(p-2)$ тоже что-то дает. Но что?
Оказывается,что эта функция дает число вычетов-близнецов в ПСВ и не только.
Совершенно естественно было назвать эту функцию функцией Эйлера
второго порядка и обозначить

$\varphi_2(M)=\prod(p-2),\;\;p>2$ (для ПСВ по модулю $M=p\#$)

Кроме числа вычетов-близнецов, эта функция может давать число пар вычетов
с любой четной разностью между ними, но с коэффициентом $A_2,$ который
учитывает делители разности этих вычетов.
Разработав подробно свойства функции $\varphi_2(M),$ возник вопрос:
что будет означать функция Эйлера $n$-го порядка, т.е.

$\varphi_n(M)=\prod(p-n),\;\;p>n$

Оказалось, что эти функции дают число групп (кортежей) вычетов ПСВ, имеющих
в своем составе $n$ вычетов.
В зависимости от состава этих групп (кортежей) по разностям между вычетами,
к функции $\varphi_n(M)$ необходим коэффициент $A_n.$
Отсюда сразу возникает вопрос об асимптотическом выражении отношений
данных функций к модулю $M=p\#.$
По аналогии с функциями Эйлера первого и второго порядка очевидно

$\varphi_n(M)/M\sim A_n/\ln^n x,\;\;n<p<x$

Но как это доказать? У Бухштаба приводятся только формулы Мертенса и Бруна
без доказательств. У Прахара доказывается теорема 5.5(1) где рассматриваются
интересные неравенства. Остановимся на одном из них.

$\prod(1-1/p)^{-s}<c\prod(1-s/p)^{-1},\;\;s<p\in P$(конечное множество простых чисел)

Оно выводится из неравенства Бернулли. После несложных преобразований получим

$\prod(1-1/p)^s>\frac 1 c\prod(1-s/p)
\sim A_s/\ln^s x,\;\;s<p<x$

Более наглядно этот же результат можно получить иначе.
Рассмотрим отношение произведений

$\varphi_2(M)/\varphi(M)=\prod\varphi_2(p)/\varphi(p),\;\;\;M=p\#$

Это отношение представляет собой среднюю плотность вычетов-близнецов
среди вычетов ПСВ.
Сравним произведение отношений $\varphi_2(M)/\varphi(M)\;\land\;\varphi(M)/M$

1 1 3 5 9 11 15 ... и _ 1 2 4 6 10 12 16...
1 2 4 610 12 16 ... _ _ 2 3 5 7 11 13 17...

Оба произведения при $M\rightarrow\infty$ стремятся к 0, при этом

$\varphi_2(M)/\varphi(M)>\varphi(M)/M$

Если теперь выделить первые члены этих произведений как коэффициенты, то

$\varphi_2(M)/\varphi(M)<\varphi(M)/M$, следовательно

$\varphi_2(M)/\varphi(M)\sim\varphi(M)/M\sim A\ln x$

Возьмем произведение этих отношений

$\varphi_2(M)/\varphi(M)\cdot\varphi(M)/M$=\varphi_2(M)/M\sim A_2/\ln^2x

И мы получили формулу В.Бруна в асимптотической форме.

Рассматривая далее отношения функций Эйлера по цепочке

$\varphi_n(M)/\varphi_{n-1}(M)\sim\varphi_{n-1}(M)/\varphi_{n-2}(M)\sim...


\sim\varphi_2(M)/\varphi(M)\sim\varphi(M)/M\sim A/\ln x $

получим

$\varphi_n(M)/M\sim A_n/\ln^nx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение23.11.2016, 17:23 


31/12/10
1333
Опечатка.
Вместо "следовательно

$\varphi_2(M)/\varphi(M)\sim\varphi(M)/M\sim A\ln x$ "

надо читать: следовательно

$\varphi_2(M)/\varphi(M)\sim\varphi(M)/M\sim A/\ln x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Каннингама
Сообщение24.04.2017, 07:13 


31/12/10
1333
Числа Каннингама представляют собой цепочки чисел Жермен
общий член которых выражается формулой

$g_n=2^ng_0+2^n-1$ где

$g_0=(g_1-1)/2$ - составное число
с минимальным нечетным простым делителем $p_x$,
($g_1$ - первое число Жермен в цепочке Каннингама.)

Тогда $g_n=2^nkp_x+2^n-1$ и при $2^n\equiv 1\pmod {p_x}$

$g_n\equiv g_0\pmod{p_x}$, т.е. при $n=\varphi(p_x)$ число $g_{n}$ будет составным,
т.е. цепочка в любом случае оборвется и максимальное число членов
цепочки Каннингама может быть не более $p_x-2$, если сравнение
$2^n\equiv 1\pmod {p_x}$ не имеет решений при $n<\varphi(p_x)$.
Например, при $p_x=7,\;\;n=3<\varphi(7)$.
Кроме того, цепочка Каннингама может прерваться и случайными
составными числами, взаимно простыми с $p_x.$
Например, при $p_x=11,\;g_0=44,\;n-1=9$ имеем

$89,\;179,\;359,\;719,\;1439,\;2879,\;5759,\;11519,\;23039$

но $5759=13\cdot443$.
По данным Википедии на сегодня найдена цепочка Каннингама,
состоящая из 17 простых чисел, у которой начальное число
$g_1=2759832934171386593519$,
$g_0=1379916467085693296759$ и $p_x=97.$
Очевидно, что эта цепочка оборвалась случайным составным числом.
Найти его мой компьютер не смог. Может кто-нибудь найдет его?
Он равен $g_{18}=2^{18}(g_0+1)-1$.
Вообще, создается впечатление, что найти полную цепочку Каннингама,
состоящую из $\varphi(p_x)-1$ членов невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Каннингама
Сообщение24.04.2017, 07:13 


31/12/10
1333
Числа Каннингама представляют собой цепочки чисел Жермен
общий член которых выражается формулой

$g_n=2^ng_0+2^n-1$ где

$g_0=(g_1-1)/2$ - составное число
с минимальным нечетным простым делителем $p_x$,
($g_1$ - первое число Жермен в цепочке Каннингама.)

Тогда $g_n=2^nkp_x+2^n-1$ и при $2^n\equiv 1\pmod {p_x}$

$g_n\equiv g_0\pmod{p_x}$, т.е. при $n=\varphi(p_x)$ число $g_{n}$ будет составным,
т.е. цепочка в любом случае оборвется и максимальное число членов
цепочки Каннингама может быть не более $p_x-2$, если сравнение
$2^n\equiv 1\pmod {p_x}$ не имеет решений при $n<\varphi(p_x)$.
Например, при $p_x=7,\;\;n=3<\varphi(7)$.
Кроме того, цепочка Каннингама может прерваться и случайными
составными числами, взаимно простыми с $p_x.$
Например, при $p_x=11,\;g_0=44,\;n-1=9$ имеем

$89,\;179,\;359,\;719,\;1439,\;2879,\;5759,\;11519,\;23039$

но $5759=13\cdot443$.
По данным Википедии на сегодня найдена цепочка Каннингама,
состоящая из 17 простых чисел, у которой начальное число
$g_1=2759832934171386593519$,
$g_0=1379916467085693296759$ и $p_x=97.$
Очевидно, что эта цепочка оборвалась случайным составным числом.
Найти его мой компьютер не смог. Может кто-нибудь найдет его?
Оно равно $g_{18}=2^{18}(g_0+1)-1$.
Вообще, создается впечатление, что найти полную цепочку Каннингама,
состоящую из $\varphi(p_x)-1$ членов невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение24.04.2017, 10:02 


31/12/10
1333
Извиняюсь. Первое сообщение о числах Каннингама почему-то
осталось после правки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение24.04.2017, 15:45 


20/08/14
2825
Россия, Москва
vorvalm в сообщении #1212169 писал(а):
$g_0=1379916467085693296759$ и $p_x=97.$
Очевидно, что эта цепочка оборвалась случайным составным числом.
Найти его мой компьютер не смог. Может кто-нибудь найдет его?
Оно равно $g_{18}=2^{18}(g_0+1)-1$.
Т.е. просто посчитать его? Ну это просто:
$g_{18}=2^{18}(1379916467085693296759+1)-1=361736822347711983585853439=853 \cdot 7649 \cdot 55442017698213695587$
Действительно составное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение24.04.2017, 16:59 


31/12/10
1333
Dmitriy40
Большое спасибо.
А найти число $g_{96}=2^{96}(g_0+1)-1$ возможно?
Оно должно быть кратно $p=97.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение24.04.2017, 17:12 


20/08/14
2825
Россия, Москва
Возможно:
$g_{96} = 2^{96}(1379916467085693296759+1)-1 $ $= 109328246110374804278262811571364968908245549711359 $ $ = 61 \cdot 97 \cdot 569 \cdot 32472710845184633558087465823019540939720483$
PS. Вы и сами можете это делать например на сайте Wolfram: число, разложение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение24.04.2017, 17:20 


31/12/10
1333
Dmitriy40
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 510 ]  На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group