2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 16  След.
 
 Доказательство Великой теоремы ("по Ферма")
Сообщение14.02.2009, 21:57 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
Сформулированная Ферма теорема сводится к неравенству $ z^n \ne x^n+y^n $ при $n \ne 2$, где x, y, z – целые числа.
Доказательство
а) в первой степени уравнение $z^n=x^n+y^n$ фактически сводится к сумме двух чисел (геометрических отрезков). Так как в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (строгое неравенство треугольника), в первой степени Диофантово уравнение – неравенство: z < x + y;
б) в квадрате исследуемое уравнение может принимать вид Пифагорова равенства, так как в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Во времена Диофанта, а тем более Ферма, это уже не надо было доказывать - $ z^2 = x^2+ y^2 $;
в) в кубе равенство снова становится неравенством, причём, знак неравенства меняется на противоположный. Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы: x<z>y. Поэтому будет неоспоримым авторское утверждение о том, что правая часть Диофантова выражения будет меньше левой, так как в правой части каждое из двух возводящихся в куб чисел x и y будет меньше куба третьего числа z. Это утверждение справедливо на том основании, что равенство сохраняется только в том случае, если обе его части умножить на одно и то же число (одно из свойств равенств). Таким образом, при n =3 и x<z>y, равенство $z^2 = x^2 + y^2$ приобретает вид неравенства $z^3>x^3 + y^3$;
г) в четвёртой степени («квадрато-квадрате» или «биквадрате») неравенство сохранится в силу одного и того же свойства, общего со свойством равенства: неравенство сохраняется, если обе его части умножить на одно и то же число. При n=4 неравенство $z^4 >x^4+ y^4$ совершенно очевидно, так как x<z>y;
д) в пятой и во всех последующих степенях, вплоть до n-й степени Диофантово уравнение будет неравенством $z^n> x^n + y^n$.
Отсюда следует, что $z^n \ne x^n + y^n$ $при n \ne 2$.
Таким образом, утверждение Ферма о том, «что никакая степень, кроме квадрата, не может быть разложена (разложить, значит, провести знак равенства- В. Ш.) на сумму двух таких же» доказано.
Более трёх с половиной веков многие знаменитости пытались решить БТФ. Л. Эйлер, сдавшийся перед Великой теоремой Ферма, в одном из своих частных писем написал следующее: «…Очевидно, для доказательства теоремы Ферма необходим свежий, независимый взгляд новичка в математике. Доказательство вероятнее всего, очень простое и лежит на поверхности, но специалист не допускает его, в виду необычности метода, или перешагивает через него, в виду его элементарности…». Великий математик оказался прозорлив.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2009, 22:19 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
$z^n<(z-1)^n+(z-2)^n$, если $z>2n+1$ а не наоборот.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2009, 22:31 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
Руст писал(а):
$z^n<(z-1)^n+(z-2)^n$, если $z>2n+1$ а не наоборот.

Отвечу завтра на все комментарии, только не надо ничего лишнего. Настольной книгой Ферма ыли "Начала" Евклида и "Арифметика" Диофанта.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2009, 22:48 


06/01/09
231
Руст писал(а):
$z^n<(z-1)^n+(z-2)^n$, если $z>2n+1$ а не наоборот.


И что? Ведь $z,z-1,z-2$ обычно не образуют пифагорову тройку.

Рассуждение все-таки проходит для чисел, образующих пифагоровы тройки. Не учитывая существования других чисел. :)

Влад.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.02.2009, 22:56 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
 !  Jnrty:
Виктор Ширшов, обратите внимание на надпись наверху страницы, сразу над названием темы. Прочтите также тему "Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться" и не удивляйтесь, что Ваша тема находится в Карантине.

Прочтите темы "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]." Исправьте запись всех формул, даже односимвольных. Для исправления есть кнопка Изображение. В будущем может быть полезна информация из темы "Цитирование и формулы."

Когда исправите, напишите об этом в теме "Сообщение в карантине исправлено", и Ваша тема будет возвращена в раздел "Дискуссионные темы (М)".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2009, 03:08 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
 !  Jnrty:
Исправили, но не все формулы.
Знак $\neq$ кодируется как \ne или \neq.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2009, 09:55 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12062
 !  photon:
Возвращено

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2009, 10:12 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
vlad239 писал(а):
Руст писал(а):
$z^n<(z-1)^n+(z-2)^n$, если $z>2n+1$ а не наоборот.


И что? Ведь $z,z-1,z-2$ обычно не образуют пифагорову тройку.

Рассуждение все-таки проходит для чисел, образующих пифагоровы тройки. Не учитывая существования других чисел. :)

Влад.

Для пифагоровых чисел $x^2+y^2=z^2\to z^n>x^n+y^n,n>2$ очевидно. Но доказывать надо что отсутствует решение для всех натуральных троек, а не только очевидное, что пифагоровы тройки не являются решениями.

 Профиль  
                  
 
 Доказательство Великой теоремы ("по Ферма")
Сообщение16.02.2009, 12:17 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
В доказательстве рассматривается случай, когда $z<x+y$. Возможны также и такие, когда $z >x+y$ или $z = x+y$. Исследование Диафантова уравнения «методом подъёма степеней» показывает, что уже при при $n>1$ оно - неравенство, так как в обоих нерассмотренных случаях $x<z>y$. В случае $z > x+y$ это видно из условия, а когда $z=x +y$ из того, что сумма всегда больше слагаемого. Ферма эти случаи, несомненно "опустил", ибо это выводит на путь доказательства его теоремы.
P.S. Я уже сказал, что настольной книгой Ферма были «Начала» Евклида, в которой изложено учение пифагорейцев, находившихся «в плену числа». Они всегда стремились к точному обоснованию своих математических утверждений и делали это с помощью геометрических образов. Две точки определяли у них прямую линию, одномерный образ; три точки, не лежащие на одной прямой, - треугольник или плоскость – двумерный образ; четыре точки, не лежащие на одной плоскости – пирамиду – трёхмерный образ.
Важный факт: древнегреческие математики открыли и соизмеримые отрезки. Чтобы получить для их отношений числовые значения, пифагорейцы изображали целые числа с помощью соизмеримых отрезков, которым придавали геометрическую форму. Соизмеримыми назывались отрезки, имеющие общую меру. Согласно доктрине пифагорейцев, тремя соизмеримыми отрезками можно задать только треугольник (плоскость). В «Началах» изложена вся эта своеобразная геометрическая алгебра. В XVII веке действительные числа были основным объектом исследования. Тогда с ними оперировали на основе наглядных представлений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2009, 12:41 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12062
Виктор Ширшов в сообщении #186696 писал(а):
В доказательстве рассматривается случай, когда $<x+y$

И
Виктор Ширшов в сообщении #186337 писал(а):
приобретает вид неравенства $z^3>x^3 + y^3$


Например $x=10$, $y=11$, $z=12$ удовлетворяет Вашим условиям $x,y<z<x+y$, но отнюдь не обеспечивает $z^3>x^3+y^3$. Похоже, что Вы пытаетесь доказать, что $z^n\neq x^n+y^n$ для троек $(x,y,z)$, для которых выполняется равенство $z^2=x^2+y^2$, но это очевидно и это не теорема Ферма.

 Профиль  
                  
 
 Доказательство Великой теоремы ("по Ферма")
Сообщение16.02.2009, 12:54 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
Действительно, в доказательстве рассматривается только случай, когда $z<x+y$, но и для двух других случаев доказательство справедливо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство Великой теоремы ("по Ферма")
Сообщение16.02.2009, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Виктор Ширшов писал(а):
Действительно, в доказательстве рассматривается только случай
Вы что доказать хотите? Сформулируйте точно.

 Профиль  
                  
 
 Доказательство Великой теоремы ("по Ферма")
Сообщение16.02.2009, 13:06 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
Что и Ферма. Как известно, он утверждал: «Ни куб на два куба, ни квадрато-квадрат, и вообще никакая степень, кроме квадрата, не может быть разложена (нельзя разложить, значит, нельзя поставить знак равенства – В.Ш.) на сумму таких же».

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2009, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
То есть не можете даже сформулировать. Печально.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2009, 13:13 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12062
Виктор Ширшов в сообщении #186706 писал(а):
Действительно, в доказательстве рассматривается только случай, когда $z<x+y$, но и для двух других случаев доказательство справедливо.

Для двух других оно несомненно справедливо, а вот для этого случая - нет, это не доказательство, я привел Вам контрпример

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 231 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 16  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group