Сформулированная Ферма теорема сводится к неравенству
при
, где x, y, z – целые числа.
Доказательство
а) в первой степени уравнение
фактически сводится к сумме двух чисел (геометрических отрезков). Так как в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (строгое неравенство треугольника), в первой степени Диофантово уравнение – неравенство: z < x + y;
б) в квадрате исследуемое уравнение может принимать вид Пифагорова равенства, так как в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Во времена Диофанта, а тем более Ферма, это уже не надо было доказывать -
;
в) в кубе равенство снова становится неравенством, причём, знак неравенства меняется на противоположный. Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы: x<z>y. Поэтому будет неоспоримым авторское утверждение о том, что правая часть Диофантова выражения будет меньше левой, так как в правой части каждое из двух возводящихся в куб чисел x и y будет меньше куба третьего числа z. Это утверждение справедливо на том основании, что равенство сохраняется только в том случае, если обе его части умножить на одно и то же число (одно из свойств равенств). Таким образом, при n =3 и x<z>y, равенство
приобретает вид неравенства
;
г) в четвёртой степени («квадрато-квадрате» или «биквадрате») неравенство сохранится в силу одного и того же свойства, общего со свойством равенства: неравенство сохраняется, если обе его части умножить на одно и то же число. При n=4 неравенство
совершенно очевидно, так как x<z>y;
д) в пятой и во всех последующих степенях, вплоть до n-й степени Диофантово уравнение будет неравенством
.
Отсюда следует, что
.
Таким образом, утверждение Ферма о том, «что никакая степень, кроме квадрата, не может быть разложена (разложить, значит, провести знак равенства- В. Ш.) на сумму двух таких же» доказано.
Более трёх с половиной веков многие знаменитости пытались решить БТФ. Л. Эйлер, сдавшийся перед Великой теоремой Ферма, в одном из своих частных писем написал следующее: «…Очевидно, для доказательства теоремы Ферма необходим свежий, независимый взгляд новичка в математике. Доказательство вероятнее всего, очень простое и лежит на поверхности, но специалист не допускает его, в виду необычности метода, или перешагивает через него, в виду его элементарности…». Великий математик оказался прозорлив.