2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 подобрать пару чисел
Сообщение15.11.2016, 20:50 


17/10/16
50
Здравствуйте. Только начала рассматривать олимпиадные задачи. Очень много вопросов.
Задача. Необходимо подобрать все такие пары $m,n\inN$, удовлетворяющих уравнению $5^5-5^4+5^n=m^2$
Я привела к виду $2500+5^n=m^2$, понятно, что $m^2$ кратно $5$, следовательно $m$ кратно $5$, следовательно $m^2$ кратно $25$
ещё понятно, что $m>50$. Подобрала одну такую пару $n=5;m=75$, но дальше дело не пошло. Возможно эта пара единственная? но как доказать? или не единственная? Спасибо
Можно ещё так представить $(m-50)(m+50)=5^n$ и $\left\{
\begin{array}{rcl}
 m-50=5^p \\
 m+50=5^k \\
\end{array}
\right.$; $n=p+k, p,k\in N$

 Профиль  
                  
 
 Re: подобрать пару чисел
Сообщение15.11.2016, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8263
Цюрих
У вас получилось $5^k - 5^p = 100$. Посмотрите, возможно ли это при $k > 3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: подобрать пару чисел
Сообщение15.11.2016, 21:08 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
tata00tata, здесь было много подобных задач: $a^x+b^y=c$, переменные $x,y$. Они называются экспоненциально-диофантовыми уравнениями. Отобрать их всех только трудно.
Вот например:
topic42767.html
topic80696.html
topic42305.html
topic64538.html
Из последней темы:
maxal в сообщении #645027 писал(а):
Рассмотрением по модулю 2925 легко получаем, что решениями являются только $(1, 0, 1)$ и $(2, 1, 2)$.

Описание алгоритма решения: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=48431

и другие подобные задачи:
post584875.html#p584875
topic61711.html
topic38828.html
topic44444.html
topic42767.html
topic57736.html

 Профиль  
                  
 
 Re: подобрать пару чисел
Сообщение15.11.2016, 21:30 


17/10/16
50
mihaild
Спасибо, поняла

-- 15.11.2016, 22:30 --

Sonic86
буду разбираться))

 Профиль  
                  
 
 Re: подобрать пару чисел
Сообщение16.11.2016, 14:35 


17/10/16
50
Ещё при решении другой задачи встретила такую фразу
При делении на $3$ число даёт остаток $2$, то есть число имеет вид $3m+2$ При делении на $5$ число даёт остаток $3$, то есть число имеет вид $5k+3$ то есть число может оканчиваться либо на тройку, либо на восьмёрку.
Не поняла откуда такой вывод, что может оканчиваться либо на тройку, либо на восьмёрку. Теорема какая-то или как-то аналитически это можно показать? Спасибо.

-- 16.11.2016, 15:43 --

ещё вот не понятен вывод из другой задачи
натуральное число при делении на $6$ и на $11$ даёт равные ненулевые остатки, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на $66$

 Профиль  
                  
 
 Re: подобрать пару чисел
Сообщение16.11.2016, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8263
Цюрих
tata00tata в сообщении #1169432 писал(а):
число имеет вид $5k+3$ то есть число может оканчиваться либо на тройку, либо на восьмёрку
Для начала - на какую цифру может оканчиваться $5k$? От чего это зависит?

tata00tata в сообщении #1169432 писал(а):
натуральное число при делении на $6$ и на $11$ даёт равные ненулевые остатки

Из этого следует, что $n = 6a + r = 11b + r$. Что из этого можно вывести про $a$ и $b$?

 Профиль  
                  
 
 Re: подобрать пару чисел
Сообщение16.11.2016, 15:05 


17/10/16
50
mihaild в сообщении #1169440 писал(а):
$n = 6a + r = 11b + r$. Что из этого можно вывести про $a$ и $b$?

поняла, следует, что $a$кратно $11$, а $b$кратно $6$
mihaild в сообщении #1169440 писал(а):
на какую цифру может оканчиваться $5k$? От чего это зависит?

тоже поняла, на $0$или на$5$,зависит от четности, нечетности $k$ следовательно $5k+3$ на$3$или на $8$
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group