искривление пространства-времени

[Munin]

Dobrus в сообщении #969861 писал(а):

В нашем случае математика описывает : движение Меркурия, изменение длины линейки, отклонившийся луч фотона ...и всего лишь делает предположение, что это происходит по причине искривления пространства-времени?

Нет, не делает предположение, а делает утверждение.

Dobrus в сообщении #969873 писал(а):

Математика предполагает, что пространство-время искривлено, но не представляет, как оно искривлено?...

Нет, математика как раз представляет, как оно искривлено. Вот так:

0. Пространство-время.

Каждая точка пространства-времени имеет четыре координаты, которые в СТО обозначаются $x,y,z,t.$ Каждая такая точка физически означает событие, потому что связана не только с какой-то точкой пространства $x,y,z,$ но и с каким-то моментом времени $t.$ Между двумя одновременными событиями есть расстояние в пространстве, которое можно представить через разности координат

$$l^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2,\qquad(\text{одновременные!})$$

а между двумя событиями, разнесёнными во времени, есть промежуток времени $\Delta t.$ Обобщением этих понятий является интервал (релятивистский интервал), который вычисляется

$$s^2=\Delta t^2-(\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2),$$

и может принимать как действительные, так и мнимые значения. Когда интервал действительный, он имеет смысл промежутка времени (он времениподобен), а когда мнимый - он имеет смысл расстояния в пространстве (он пространственноподобен). На границе между этими случаями лежит случай $s=0,$ когда между двумя событиями может распространиться вспышка света, начавшись в одном событии, и успев попасть ровно во второе, - тогда говорят, что интервал светоподобен или изотропен.

I. Метрика.

Любую поверхность с внутренней кривизной в математике описывают с помощью метрики. Метрика указывает расстояния между точками, измеренные вдоль поверхности. Поскольку для измерения вдоль поверхности приходится рисовать искривлённую линию, то расстояние вычисляется как интеграл от бесконечно малых расстояний

$$l=\int\limits_{A}^{B}dl,$$

и задача состоит в том, чтобы вычислить эти бесконечно малые расстояния. Для этого, предыдущие формулы можно записать в дифференциальном виде:

$$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2.\qquad(\text{плоское пространство!})$$

В случае, когда поверхность искривляется, эта формула меняется, и эта формула и называется метрикой (римановой метрикой, метрическим тензором). В случае пространства-времени, это выглядит так: координаты из $x,y,z,t$ переименовываются в $x^0,x^1,x^2,x^3,$ потому что они не могут теперь быть декартовыми координатами; вместо бесконечно малого расстояния $dl$ вычисляется бесконечно малый интервал $ds,$ и все возможные комбинации степени 2 дают выражение:

$$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}ds^2={}&g_{00}(dx^0)^2&{}+2g_{01}dx^0dx^1&{}+2g_{02}dx^0dx^2&{}+2g_{03}dx^0dx^3+{}&\\&&{}+g_{11}(dx^1)^2&{}+2g_{12}dx^1dx^2&{}+2g_{13}dx^1dx^3+{}&\\&&&{}+g_{22}(dx^2)^2&{}+2g_{23}dx^2dx^3+{}&\\&&&&{}+g_{33}(dx^3)^2&\smash{\displaystyle{}=\sum\limits_{\mu=0}^{3}\sum\limits_{\nu=0}^{3}g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu.}\\\end{array}$$

Итак, чтобы описать искривлённое пространство-время, достаточно задать коэффициенты в этой формуле $g_{\mu\nu}$ (дальше подразумевается, что если греческие индексы не указаны, то они пробегают все значения $0,\ldots,3$ во всех комбинациях, так что символ $g_{\mu\nu}$ обозначает 16 разных величин - этот набор и называется тензором) но надо помнить, что они переменные: в разных точках пространства-времени они имеют разные значения.

II. Геодезические.

Геодезической линией называется линия, проходящая через кратчайшее расстояние по искривлённой поверхности. Например, если вдоль поверхности мяча натянуть нитку, то нитка пройдёт по геодезической. Геодезические играют огромную роль в геометрии искривлённых поверхностей и пространств, поскольку они аналогичны прямым линиям (слово "прямая" не используют, потому что оно употребляется только для плоских пространств). В искривлённом пространстве-времени тоже рассматривают геодезические, и они бывают времениподобные, пространственноподобные и светоподобные (изотропные). Для времениподобных геодезических выполняется обратное свойство: геодезическая линия - самая длинная из всех времениподобных линий, проходящих между двумя событиями. Такая геодезическая линия соответствует свободному движению и свободному падению в поле тяготения. А длина геодезической - это время, отмеренное часами, движущимися по этой линии. Геодезическую можно вычислить как решение дифференциального уравнения

$$\dfrac{d^2x^\lambda}{ds^2}=-\sum\limits_{\mu=0}^{3}\sum\limits_{\nu=0}^{3}\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\dfrac{dx^\mu}{ds}\dfrac{dx^\nu}{ds}.$$

Это уравнение второго порядка, такое же, как Второй закон Ньютона: слева ускорение, справа "сила", действующая на свободную частицу. В системе отсчёта свободно падающей частицы, эта "сила" становится равна нулю. Эта сила пропорциональна скорости частицы, но вот что интересно: когда частицы движутся в пространстве медленно, $v\ll c,$ то в пространстве-времени их скорость почти что не меняется, и направлена почти вдоль оси времени. Отклоняется только чуть-чуть, туда-сюда. Поэтому, на эту зависимость для медленных частиц можно не обращать внимания. Величины $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ - называются аффинная связность (коэффициенты аффинной связности), или символы Кристоффеля. Они не задаются независимо, а вычисляются из метрического тензора:

$$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\sum\limits_{\rho=0}^{3}\dfrac{1}{2}g^{\lambda\rho}\left(\dfrac{\partial g_{\mu\rho}}{\partial x^\nu}+\dfrac{\partial g_{\rho\nu}}{\partial x^\mu}-\dfrac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\rho}\right).$$

Таким образом, зная метрику, заданную в предыдущем пункте, можно вычислить, как будет двигаться (свободно падать) любая свободная частица, и Меркурий, и луч света. Это движение будет задано линией в пространстве-времени. Сама по себе линия неподвижна, никуда не двигается, а просто прочерчена, как линия карандашом на листе бумаги. Эти линии могут поворачивать куда-то, сходиться и расходиться, и именно это и называется искривлением пространства-времени. Для яблока, падающего с ветки, эта линия загибается от оси времени к центру Земли, и нам в трёхмерном мире кажется, что яблоко движется и ускоряется вниз. Искривление геодезической идёт "от малого к целому", то есть, если геодезическая в каком-то месте искривилась и повернула, то дальше и пойдёт уже в новую сторону. А вовсе не наоборот. Это вытекает из того, что геодезическая вычисляется из дифференциального уравнения. Если же на частицу действуют какие-то силы, то они добавляются к формуле, точно так же, как складываются силы во Втором законе Ньютона. Такая частица уже не движется по геодезической, её траектория - просто какая-то линия. С точки зрения геодезических, она искривлённая, в каждой точке к ней можно провести касательную геодезическую (если резко убрать все силы, то дальше частица полетит по касательной геодезической). И яблоко, висящее неподвижно на ветке до того, как упасть, движется именно по такой линии. Нам кажется, что это прямая линия, а геодезические параболы - кривые, но с их точки зрения всё наоборот: они самые прямые, а линия висящего яблока искривлена.

[provincialka]

Ого! Тяжелая артиллерия подключилась!
Вот интересно бы посчитать, сколько участников и сколько раз повторили ТС-у одно и то же. Но формулы все-таки не рискнули писать... Ну что ж, безумству храбрых...

[Munin]

provincialka
А слабо вам тоже все эти формулы прочитать?

[provincialka]

(и так верю)

Munin
Зачем? Я верю. Мне бы про совместную кластеризацию прочитать: несколько раз попадалась, а алгоритма у меня нет.

ЗЫ. Попался мне недавно автореферат собственной диссертации. Там тоже всякие кристофели и тензоры кривизны. Боже, какая я была умная!

[Dobrus]

Munin в сообщении #970131 писал(а):

Нет, математика как раз представляет, как оно искривлено. Вот так:.......

на мой взгляд это нужно загрузить в Википедию. Это изложение подоходчивее, чем то, что там сейчас.

[provincialka]

Dobrus
Все-таки в Вики стараются изложить вопрос не "доходчивее", а "полнее". Поэтому для первичного ознакомления он не подходит.

(Оффтоп)

Столкнулась с этим на контрольной: студенты вместо простого определения из лекций приводили заумное из википедии. Которое, конечно, не понимали совершенно.

[Dobrus]

(мысленный эксперимент)

Неискривлённое пространство- время. ====( исправлено после замечания )

Линейка между точками А и В. Линейка упругая ( непрогибающаяся под действием гравитации).
Светим вдоль линейки лазерным лучом.
Подносим к линейке Планету.
Насколько я понимаю, линейка станет короче, а лазерный луч отклонится в сторону планеты.

Munin в сообщении #970080 писал(а):

Неправильно. Линейка не станет короче. Линейка прогнётся под действием гравитации. Непрогибающихся линеек не бывает в принципе.

По поводу изменения длины линейки. Что она уменьшится - это не моё утверждение.
В самом начале темы было высказано мнение, что длина линейки в искривлённом пространстве-времени уменьшится.
И эта статья как бы про то же.

http://www.membrana.ru/particle/16109

Цитата:

И вот теперь исследователи вынесли окончательный вердикт — Земля действительно искривляет пространство вокруг себя в полном соответствии с уравнениями теории относительности.

При высоте полёта спутника в 642 километра длина окружности его орбиты превышает 40 тыс. км. Полёт аппарата показал, что точное значение этой длины примерно на три сантиметра меньше, чем следует из евклидовой геометрии, то есть рассчитанное по известной любому школьнику формуле 2πR.

Если длина окружности получается меньше, чем расчётная от радиуса, то получается ....
...... то ли радиус удлиннился, то ли окружность укоротилась?

[_Z_]

Dobrus в сообщении #970574 писал(а):

(мысленный эксперимент)

Неискривлённое пространство.

Проблема начинается сразу же. Нужно брать не пространство, а пространство-время.

[Dobrus]

мысленный эксперимент 2

Неискривлённое пространство-время.

Светим лучом лазера из точки А в точку В.

Подносим к середине расстояния АВ две планеты. Симметрично. ( "сверху" и "снизу" )
Луч лазера отклониться не должен. Если это так, то....
...то пространство-время не искривилось?

-- 29.01.2015, 17:57 --

provincialka в сообщении #970569 писал(а):

Dobrus
Все-таки в Вики стараются изложить вопрос не "доходчивее", а "полнее". ...

как минимум статья "Геодезические" здесь, и полнее и доходчивее, чем там.

[Munin]

Dobrus в сообщении #970567 писал(а):

на мой взгляд это нужно загрузить в Википедию.

На мой взгляд, бесполезно. Я в юности был увлечён Викимусоркой, но сейчас давно махнул на неё рукой. Пусть протухает без моего участия. Есть учебники, в конце концов. Они ещё доходчивее.

Dobrus в сообщении #970574 писал(а):

И эта статья как бы про то же.

Не читайте статей с "Перепонки". Это журноламерская бредятина и лженаука. Намного хуже, чем Викимусорка.

-- 29.01.2015 18:22:02 --

Dobrus в сообщении #970574 писал(а):

По поводу изменения длины линейки. Что она уменьшится - это не моё утверждение.
В самом начале темы было высказано мнение, что длина линейки в искривлённом пространстве-времени уменьшится.

Можно сделать линейку неуменьшающейся длины. Но она всё равно искривится. Понимаете? Длина останется та же, а вот форма той же остаться не сможет.

Dobrus в сообщении #970574 писал(а):

Если длина окружности получается меньше, чем расчётная от радиуса, то получается ....
...... то ли радиус удлиннился, то ли окружность укоротилась?

Да, причём это две совершенно эквивалентных интерпретации.

Dobrus в сообщении #970583 писал(а):

Неискривлённое пространство-время.

Светим лучом лазера из точки А в точку В.

Подносим к середине расстояния АВ две планеты. Симметрично. ( "сверху" и "снизу" )
Луч лазера отклониться не должен. Если это так, то....
...то пространство-время не искривилось?

Искривилось. Просто отклонение света - это далеко не единственный эффект искривления пространства-времени. Например, свет ещё и замедляется, когда проходит мимо Солнца. (Для звёзд это непонятно как наблюдать, а для радиолокаторного эха от Венеры наблюдали. Называется эффект Шапиро и опыт Шапиро.)

Все релятивистские эффекты описать словами очень долго. Все они описываются той самой величиной $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ - видите, в ней три индекса? И каждый из них может принимать 4 разных значения. Получается сколько? Получается $4^3=64$ разных комбинаций индексов. Даже с учётом того, что некоторые из них равны друг другу, получается 40 разных величин. Да ещё величина $g_{\mu\nu}$ - ещё 10. Здесь и отклонение света, и замедление света, и замедление времени, и притяжение яблока к Земле, и выгибание линеек. И многое другое.

[epros]

Dobrus в сообщении #970574 писал(а):

Насколько я понимаю, линейка станет короче

Как ни странно: то, что станет короче - не линейка.

Dobrus в сообщении #970574 писал(а):

то ли радиус удлиннился, то ли окружность укоротилась?

Относительно чего?

[Dobrus]

epros в сообщении #972240 писал(а):

Как ни странно: то, что станет короче - не линейка.

тут два варианта:
1...линейка становится короче, вместе с "укоротившимся " пространством ( искривившимся ).
2...пространство "укоротилось", а линейка нет.
Вы намекаете на второй вариант?

-- 02.02.2015, 09:22 --

epros в сообщении #972240 писал(а):

Относительно чего?

относительно друг друга.

[epros]

Dobrus в сообщении #972431 писал(а):

epros в сообщении #972240 писал(а):

Как ни странно: то, что станет короче - не линейка.

тут два варианта:
1...линейка становится короче, вместе с "укоротившимся " пространством ( искривившимся ).
2...пространство "укоротилось", а линейка нет.
Вы намекаете на второй вариант?

Я не намекаю, а прямо говорю, что линейка не может укорачиваться в силу определений слов "линейка" и "укорачиваться".

А что значат слова "пространство укоротилось" я не знаю.

Dobrus в сообщении #972431 писал(а):

epros в сообщении #972240 писал(а):

Относительно чего?

относительно друг друга.

Относительно какого именно друга? Есть евклидово пространство, в котором длина некоторой окружности относится к её радиусу как $2 \pi$. И есть неевклидово пространство, в котором, скажем, длина некоторой другой окружности относится к её радиусу ка 6. Я не понимаю с какой стати вторую окружность следует считать "другом" первой окружности, а её радиус, соответственно, "другом" радиуса первой окружности.

[Dobrus]

В чём я разобрался:
1... пространственного четвёртого измерения нет, поскольку временнАя ось - это всё-таки не пространственная ось.
2..."линейка" не укорачивается и сообщение сайта "мембрана" = фигня.
3....чтобы выяснить, что искривляется, в результате искривления "постранства-времени", ..(.не в смысле "какой "софт", а в смысле какое "железо".)....
....... это выяснится после того, как произойдёт качественный скачок в знаниях, аналогичный установлению, что Земля не плоская и слоны её не поддерживают.

......спасибо всем.

[epros]

Dobrus в сообщении #972968 писал(а):

1... пространственного четвёртого измерения нет, поскольку временнАя ось - это всё-таки не пространственная ось.

Где её нет? У Вас под кроватью может и нет, а в пространстве-времени она есть.

Dobrus в сообщении #972968 писал(а):

3....чтобы выяснить, что искривляется, в результате искривления "постранства-времени", ..(.не в смысле "какой "софт", а в смысле какое "железо".)....
....... это выяснится после того, как произойдёт качественный скачок в знаниях, аналогичный установлению, что Земля не плоская и слоны её не поддерживают.

Здесь вообще непонятно что хотели сказать. Искривление пространства-времени - известная и понятная вещь.