Физика для «математиков»

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #841257 писал(а):

Ваших формул В принципе, наверное, могу разобраться, но навскидку - не понимаю

Спасибо! Я старался)

g______d, пожалуйста, дайте kote самому поломать себе мозг.

g______d в сообщении #841265 писал(а):

Такие две последовательности существуют для любого множества. Более того, есть некоторая пара последовательностей, подходящая сразу для всех множеств :)

Ну да) Надо было строгие вложения писать.

g______d в сообщении #841265 писал(а):

Такого тоже не бывает.

Вот это математику уже надо доказывать.

kote в сообщении #841267 писал(а):

на каждом измеримом подмножестве которого определены меры $V$ (объем) и $m$ (масса)

Окей, пусть вы определили две мера, одна -- объем, другая -- масса.
Как вы через эти меры определите плотность?
Что будете делать с неизмеримыми множествами?

kote в сообщении #841267 писал(а):

2. Вы имеете в виду, что $A$ состоит из одной точки? Буду делать то же, что и в любом другом случае.

Что именно вы будете делать? Если мы берем материальную точку, масса у нее есть, а объема нет. А у вас масса -- мера. Значит у вас мера точки должна быть не нулем. На сколько я чего знаю, это как минимум повлияет на счетную аддитивность меры. А значит и на счетную аддитивность массы. А масса -- аддитивна. Что вы будете с эти делать?

kote в сообщении #841267 писал(а):

4. $A$ содержит себя и пустое множество, неужели Вам мало? Если серьезно, я же не фиксировал понятие измеримости в $\mathbb R^3$ (и сейчас не фиксирую). Если Вы сами себе подсунули плохую меру $V$, себя и вините.

На сколько я помню спецкурс по теории функции действительной переменно, для любой меры на $\mathbb R$ найдется неизмеримое множество. Логично предположить, что аналогинчое будет иметь мести и в $\mathbb R^3$. Значит какую бы хорошую меру мы для объема/массы не использовали, всегда будет существовать неизмеримое множетсво. И вам уже надо будет как-то объяснять, почему мы у этого множества не можем сосчитать объем/массу.

kote в сообщении #841267 писал(а):

Насколько я понимаю, Вы забыли написать, что $\displaystyle\bigcap\limits_{n=0}^\infty A^+_n = \bigcup\limits_{n=0}^\infty A^-_n = A$

Нет. Только те условия, строим последовательности измерипых множеств, а потом доказываем сходятся ли они по мере или нет.

kote в сообщении #841267 писал(а):

Ну вам, физикам, виднее, должен ли объем быть счетно-аддитивным. В любом случае, я не понял, как это портит мое определение.

Нет уж, тут "вам математикам" должно быть виднее. Большинство физиков про такую вещь как мера не знает.

Предложение это ваше портит так. Если тело, мы его начинаем снизу приближать телами поменьше -- получаем один объем. Потом начинаем приближать телами побольше -- получаем другой объем. И как хорошо бы мы его не приближали, объемы не совпадут.
Пример. Берем колбу. Заливаем внутрь воду, чтобы она заполнила колбу. Выливаем, измеряем объем -- $V_\text{in}$. Потом заыкаем колбу, помещаем в бассейн, смотрим объем вытесненой воды -- $V_\text{out}$. Вам надо математически строго доказать, что они будут равны.

kote в сообщении #841267 писал(а):

Математические усилия — это когда формулировка теоремы занимает две страницы, а доказательство еще двадцать, и ты должен во всём этом разобраться за одну ночь (и еще, желательно, поспать). А ваша плотность — ерунда, каждый школьник с этим справится.

Да, математические услия это примерно это. А с плотностью, конечно, школьник справится. А вот вы пока не справляетесь.

kote в сообщении #841361 писал(а):

Я же не утверждал, что умею находить плотность. Более того, я не утверждал, что такая функция вообще существует.

Подождите, какая функция? У вас масса -- мера, объем мера. Как вы из двух мер собираетесь строить функцию?

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #841536 писал(а):

А масса -- аддитивна.

Уточню: в рамках классической (нерелятивистской) механики. В рамках релятивистской механики это уже не так.

Вот ещё одно свойство физики "для математиков". В математике слова всегда сохраняют смысл. Если в одной теории введено слово $A,$ то в другой теории оно будет означать то же самое. В физике не так. Первичным в физике считается реальный мир, а не система наших мыслей. Поэтому, слово в физике "привязывается" к тому или иному проявлению реального мира, а в разных теориях может отображаться на совершенно разные математические объекты и конструкции.

Например, слово "масса" может отображаться на меру, которую тут более-менее объяснили g______d и EvilPhysicist, а может - на другие объекты. Слово "электрон" в одной модели отображается на линию, в другой модели - на функцию, в третьей - на оператор в конечномерном пространстве, в четвёртой - на оператор в бесконечномерном пространстве, и так далее.

Впрочем, это свойство физики - близко к тому, что я уже упоминал:

Munin в сообщении #839807 писал(а):

И ещё, числа являются в конечном счёте общим языком для перевода между разными теориями и представлениями. Одна модель описывает электрон как точечную частицу, другая - как волну, как их сравнить? Надо заставить их сделать предсказания для одного и того же эксперимента, и сравнить числа, выданные этими теориями - и между собой, и по сравнению со значениями, измеренными в самом эксперименте...

(Оффтоп)

EvilPhysicist в сообщении #841536 писал(а):

Большинство физиков про такую вещь как мера не знает.

Без поклёпов, пожалуйста! Пьют физики всё-таки в меру! :-)

EvilPhysicist в сообщении #841536 писал(а):

Пример. Берем колбу. Заливаем внутрь воду, чтобы она заполнила колбу. Выливаем, измеряем объем -- $V_\text{in}$. Потом заыкаем колбу, помещаем в бассейн, смотрим объем вытесненой воды -- $V_\text{out}$. Вам надо математически строго доказать, что они будут равны.

Причём на самом деле они не будут равны, потому что у колбы есть ещё и стенки ненулевой толщины :-)

(Это опять к слову о том, чем отличаются физика и математика. Математик представляет себе колбу как область в $\mathbb{R}^3,$ а физик - как реальный стеклянный предмет, который мы как-то обмеряем и приближённо описываем. Кстати, под $V_\text{in, out}$ физик тоже понимает вполне конкретную воду, которую надо вылить в мензурку, чтобы измерить её объём по делениям. Если какая-то вода налипнет на стенки колбы, физик и об этом будет помнить на третьем плане. А вот колбу, стенки которой подобны функции Дирихле или множеству Банаха-Тарского, физик представить себе не может, и даже тратить на это силы не будет.)

[Бабай]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #839913 писал(а):

Бабай в сообщении #839870 писал(а):

Ведь, насколько мне известно, математический аппарат ОТО -- это "исчисление"...calculus...пример Вавилонской математики по выражению Фейнмана, а не риманова геометрия в том строгом смысле, который в неё вкладывают математики.

У вас неверные сведения. И не офтопьте.

Дабы не "загрязнять" далее эту (ушедшую далеко вперёд) дискуссию своими мелкими офтопами, просто кратко приведу для сравнения всего лишь два (стандартных) источника по ОТО -- Том 2 Ландафшица и О'Нейл (O'Neill, Semi-Riemannian Geometry, 1983). Надеюсь, после этого станет ясно, что конкретно я имел в виду. Кроме этого, соответствующее высказывание Фейнмана (относительно подхода физиков к математике в целом) можно найти в его лекции в Ютубе (The Character of Physical Law 2). Благодарствую за внимание. :)

[Munin]

(Оффтоп)

Бабай в сообщении #841677 писал(а):

Надеюсь, после этого станет ясно, что конкретно я имел в виду.

Станет ясно, что ничего вы в виду не имели. Спасибо, всего хорошего.

[kote]

(Оффтоп)

EvilPhysicist
Похоже, Вас укусил Мунин. Всё, что Вы написали, — какая-то демагогия.

EvilPhysicist в сообщении #841536 писал(а):

Как вы через эти меры определите плотность?

Я уже дал определение плотности, и менять его пока что не собираюсь. Напишу его снова, но это в последний раз.

kote в сообщении #841267 писал(а):

$A$ — измеримое множество <...>, на каждом измеримом подмножестве которого определены меры $V$ (объем) и $m$ (масса).

Это и есть Ваша физическая модель. Вы сами определяете измеримые множества и меры $V$ и $m$ на них так, чтобы они согласовывались с вашими критериями хорошей, годной модели (наверняка в физике есть такие критерии). И я предлагаю Вам такое определение плотности:

kote в сообщении #840779 писал(а):

это такая функция $\rho : A \to \mathbb R$, что для любого измеримого $B \subseteq A$ интеграл

$$\iiint\limits_B \rho dV$$

равен массе $B$. (Понятие измеримости и смысл, а в котором берется интеграл, варьировать по вкусу.)

На все вопросы «что вы будете делать?» ответ такой: ничего я не буду делать.

Если вы считаете, что мое определение противоречит тому понятию плотности, которое используется в физике, приведите конкретный пример. (То есть Вы определяете тело $A$, говорите массу $m$ и объем $V$ для всевозможных подмножеств множества $A$, для которых они в вашей модели определены, и говорите: вот физик скажет, что плотность такая-то, а вашему определению эта плотность не удовлетворяет.)

EvilPhysicist в сообщении #841536 писал(а):

Если мы берем материальную точку, масса у нее есть, а объема нет. А у вас масса -- мера. Значит у вас мера точки должна быть не нулем. На сколько я чего знаю, это как минимум повлияет на счетную аддитивность меры. А значит и на счетную аддитивность массы. А масса -- аддитивна

Тут написана какая-то фигня, Вы уж не обижайтесь. Вот пример: фиксируем точку $x \in \mathbb R^3$. Теперь для каждого множества из $\mathbb R^3$ определяем меру равной 1, если $x$ лежит в этом множестве, и равной 0, если $x$ не лежит в этом множестве. Такая мера является счётно-аддитивной, и мера одноэлементного множества $\{x\}$ не равна нулю.

EvilPhysicist в сообщении #841536 писал(а):

kote в сообщении #841267 писал(а):

Насколько я понимаю, Вы забыли написать, что $\displaystyle\bigcap\limits_{n=0}^\infty A^+_n = \bigcup\limits_{n=0}^\infty A^-_n = A$

Нет. Только те условия, строим последовательности измерипых множеств, а потом доказываем сходятся ли они по мере или нет. <...> Предложение это ваше портит так. Если тело, мы его начинаем снизу приближать телами поменьше -- получаем один объем.

Вы ни хрена не приближаете, если не выполняется условие $\displaystyle\bigcap\limits_{n=0}^\infty A^+_n = \bigcup\limits_{n=0}^\infty A^-_n = A$. Мне кажется, что из нас троих (g______d, меня и Вас) Вы запутались раньше всех.

EvilPhysicist в сообщении #841536 писал(а):

На сколько я помню спецкурс по теории функции действительной переменно, для любой меры на $\mathbb R$ найдется неизмеримое множество.

Что мешает сделать меру каждого множества равной нулю?

EvilPhysicist в сообщении #841536 писал(а):

А с плотностью, конечно, школьник справится. А вот вы пока не справляетесь.

Ей-богу, в Вас говорит внутренний Мунин!

Как справедливо заметил Бабай, тема неуклонно скатывается в оффтоп. Если Вы действительно считаете моё определение плохим, а не придираетесь попусту, скажите, где написано хорошее определение. Для этого тема и создана.

Бабай
Тему я создал, а не Мунин. Не прячьте, пожалуйста, сообщения по делу, особенно если предлагаете книги.

[corvus42]

"Методы математической физики" Рида и Саймона ещё не рекомендавали? Книги по математике, но с большим упором на применение в физике.

А ещё у Зорича есть маленькая брошюрка "Математический анализ задач естествознания". Это не учебник -- просто так, для чтения на диване.

[Nemiroff]

kote в сообщении #841688 писал(а):

Вот пример: фиксируем точку $x \in \mathbb R^3$. Теперь для каждого множества из $\mathbb R^3$ определяем меру равной 1, если $x$ лежит в этом множестве, и равной 0, если $x$ не лежит в этом множестве. Такая мера является счётно-аддитивной, и мера одноэлементного множества $\{x\}$ не равна нулю.

Мера-мера. У вас же интеграл по объёму. А он от одной точки кагбе нулевой, не?

kote в сообщении #841688 писал(а):

То есть Вы определяете тело $A$, говорите массу $m$ и объем $V$ для всевозможных подмножеств множества $A$, для которых они в вашей модели определены

Чтоб я мог так сделать. Мне и плотность тогда не нужна.

-- Чт мар 27, 2014 18:59:25 --

kote в сообщении #841688 писал(а):

Как справедливо заметил Бабай, тема неуклонно скатывается в оффтоп

Хе, оффтоп. А вы книжки-то читаете? Сивухина, Арнольда --- что понятно, что непонятно?
Вон, Nirowulf вам подвалил книжек --- оно, правда, издевательство немножко, но тем не менее.

[EvilPhysicist]

kote в сообщении #841688 писал(а):

Похоже, Вас укусил Мунин

kote в сообщении #841688 писал(а):

На все вопросы «что вы будете делать?» ответ такой: ничего я не буду делать.

Тогда зачем вы с самого начала начали тему? Что пнуть этих ленивых физиков, чтобы они вам подкатили нормальной математики? Ну вот вам физик пытается объяснить на примере, почему математика в физике используется так как используется, вы встаете в позу и говорите, ничего делать не буду.

kote в сообщении #841688 писал(а):

Если вы считаете, что мое определение противоречит тому понятию плотности, которое используется в физике, приведите конкретный пример.

Плотность материальной точке. По определению она дельта функция. А вот она обобщенная функция и значит никакого отображения типа $A \to \mathbb R$ не производит. Еще, ваше определение ничего не говорит о том, что надо делать когда мы рассматриваем движение сплошной среды у которой меняется плотность.

kote в сообщении #841688 писал(а):

Такая мера является счётно-аддитивной, и мера одноэлементного множества $\{x\}$ не равна нулю.

окей

kote в сообщении #841688 писал(а):

Вы ни хрена не приближаете, если не выполняется условие $\displaystyle\bigcap\limits_{n=0}^\infty A^+_n = \bigcup\limits_{n=0}^\infty A^-_n = A$

Как это не приближаю, $A^-$ лежат в $A$ и расширяются, $A^+$ содержат $A$ и сужаются. Как раз таки приближаю. Если вы про то, что там у меня везде не строгое вложение, то это да, моя ошибка. А если вложение строгое?

kote в сообщении #841688 писал(а):

Что мешает сделать меру каждого множества равной нулю?

То, что

EvilPhysicist в сообщении #841536 писал(а):

для любой меры на $\mathbb R$ найдется неизмеримое множество

Бесконечное число раз придется повторять эту процедуру и все-равно найдется не измеримое множество.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

EvilPhysicist в сообщении #841705 писал(а):

Плотность материальной точке. По определению она дельта функция.

А плотность идеального газа --- это шумная тусовка дельта функций.

[PayMay]

kote в сообщении #841688 писал(а):

Что мешает сделать меру каждого множества равной нулю?

Может физика ?
Отличие, в том, что "удобные", и "хорошие" математические конструкции, вовсе не обязаны совпадать с действительностью.
Любое математическое определение, навязывает нам постулат, аксиому, например, об измеримости…
С какой стати ?
Ну, допустим, в некоторых масштабах, какая-то, величина, измерима, экспериментально, и, в некоторой погрешности, описывается точным математическим приближением.
А, с чего Вы взяли что масса (или еще какая-то физическая величина), аддитивна или измерима (транзитивна, ассоциативна, антисимметрична, и прочее…) ?
Это Ваша хотелка ?
Ну, какая-то, часть этой величины (точнее, того, что она описывает), допустим, обладает желательными, хорошими, удобными, "радостными", для математика свойствами (на некотором диапазоне)… Дело-то не в этом.
Дело, как раз в остальном, в том, что математике, на данный момент, "противно", т.к. она не знает, что с этим делать, (не будем показывать пальцем), т.к. аксиомы - вовсе не "светоч" абсолютной истины, а "грязный" фильтр, собственной некомпетентности..
В математике, мы имеем дело с инфантильными модельками реальности, большая часть которых лежит за пределами разработанных областей аксиом-фильтров "желаемой " картинки действительности…
И физики, в области "неудобных", "неинтересных" и прочее… математических "белых пятен", тут не причем.
Тут математики "обкакались", извините…

[EvilPhysicist]

В данном сообщении была допущена глупая ошибка. Проходите мимо.

[Nemiroff]

УДОЛИТЬ!

[EvilPhysicist]

Nemiroff, исправил.

[Munin]

EvilPhysicist
Заметьте, как тщательно ТС пропускает мимо ушей вообще все намёки на физику и физическое содержание формул, и объявляет их демагогией и офтопом.

Я вот думаю, стоит ли продолжать разговаривать со столь упёртым в своих заблуждениях человеком. Пишу уже практически не для него, а для других читателей: тут в целом неплохая компания собралась, повелась на громкие слова.

EvilPhysicist в сообщении #841705 писал(а):

Плотность материальной точке. По определению она дельта функция.

Ну, слова "по определению" здесь, видимо, в шутку :-) До определения-то ещё грести и грести, и всё лесом.

Nemiroff в сообщении #841706 писал(а):

А плотность идеального газа --- это шумная тусовка дельта функций. :idea:

Во-во :-)

(Забудем на секунду, что идеальный газ - штука сама по себе противоречивая, потому что если частицы точечные, они не могут прийти в равновесие, а если неточечные, газ уже неидеальный...)

PayMay в сообщении #841709 писал(а):

Отличие, в том, что "удобные", и "хорошие" математические конструкции, вовсе не обязаны совпадать с действительностью.
Любое математическое определение, навязывает нам постулат, аксиому, например, об измеримости…
С какой стати ?

Начинать надо вообще с азбуки. С того, что такое физика.

Физика - это наука. То есть, деятельность по собиранию и извлечению знаний, и + собственно коллекция таких знаний, накопленная за исторический период существования физики.

Физика - это естественная наука. То есть, собирает знания о природе. Пользуется для этого наблюдениями и экспериментами. А математика для физики - инструмент, форма выражения этих знаний.

Ну и так далее...

А то, похоже, ТС всего этого не знает. "Знал, но забыл." В школе недостаточно разъяснили.

[kote]

(Оффтоп)

EvilPhysicist в сообщении #841705 писал(а):

Бесконечное число раз придется повторять эту процедуру и все-равно найдется не измеримое множество.

Лолшто? Какую процедуру? Я Вам дал целых два примера, где все множества получаются измеримы.