Андрей Колмогоров - гений? Ваше мнение.

[nikvic]

Munin в сообщении #812860 писал(а):

если числа дефинировать как точки на координатной прямой

А зачем? Разве ещё не ясен вред "точных" определений для обычного школьника?

[provincialka]

Ну, к чему тут Дедекинд. До вещественных чисел еще далеко. Просто провозглашается правило пропорции: $\frac mn =\frac kl$ тогда и только тогда, когда $ml=kn$. Это, конечно, эквивалентность, но произносить это слово и говорить о факторизации совершенно не обязательно.

[Munin]

nikvic в сообщении #812864 писал(а):

А зачем? Разве ещё не ясен вред "точных" определений для обычного школьника?

А кто сказал, что это "точное"? Как раз всякие "классы эквивалентности" "точны" и, соответственно, вредны.

[VAL]

Munin в сообщении #812812 писал(а):

Окей, допустим, статистика права. Чем вы объясняете такое разрушительное действие этого определения?

Я уже писал свои предположение на этот счет. Попробую еще раз.

Люди (включая математиков, хотя гуманитарии убеждены в обратном) мыслят образами, а не цепочками импликаций и определений формально подставляемых одно в другое.
Если образ не сформирован, то работа с объектом на уровне пошагового применения определений все же возможна, но малоэффективна. Не удается ухватить объект в целом, приходиться развертывать каждый момент. Это можно наблюдать, например, в ситуации, когда не очень сильный (но знающий определения) студент проверяет является ли данное множество группой относительно данной операции.

Так было и с понятием "вектор", который определялся по Колмогорову как параллельный перенос. Средне-слабый студент не понимал этого школьного определения. Ему приходилось действовать на основании определения векторного пространства (как в случае с группой) пошагово. Такой уровень, конечно, недостаточен для нормального использования аппарата линейной алгебры. Но постепенно, шаг за шагом, понятие "вектор" переходило в образный план.

С вектором, как объектом характеризующимся длиной и направлением (так это объясняли в школе в мое время) ситуация была еще лучше. Многие мои однокурсники, с трудом (зато без успеха ) постигавшие понятия абстрактной алгебры линейную алгебру усваивали легче и лучше, поскольку опирались на сформировавшийся в школе образ. Поэтому понятие линейной зависимости, линейной оболочки, применение векторов в аналитической и дифференциальной геометрии и в физике проходили относительно гладко.

Сейчас картина иная. То, что вектор - это направленный отрезок, знает каждый первокурсник. У него в голове уже есть простой и понятный образ. О том, что векторы как-то там сравниваются, складываются и т.п. он слышал, но не помнит. При изучении линейной алгебры имеющийся образ (без умения оперировать с векторами) не помогает, а скорее мешает.

"Эти векторы линейно независимы, поскольку не пересекаются."
"Возьмем точку, лежащую на середине этого вектора."
"Координаты вектора - это такие точки..."
"Эти векторы равны, но перпендикулярны. Как это нельзя поворачивать?! Вы же сами говорили, что можно откладывать от любой точки! Вот я и отложил, только под углом $90^o$."
"Как это числа вида $\{a+b\sqrt2 | a,b \in \mathbb Q\}$ образуют векторное пространство над $\matbb Q$?! У них же стрелочек нет! Да и лежат они на одной прямой с рациональными!"
И т.д. И т.п. etc.

В общем, имеющийся образ не помогает. Студент пугается, приходит к выводу, что понять эту линейную алгебру невозножно. А после такого вывода это, и в самом деле, так.

[nikvic]

Вот и иллюстрация - вопрос студента из свежей темы:

Или Вы имели в виду, что вектора угловой скорости можно складывать только тогда, когда они идут из одной точки?

[Munin]

VAL в сообщении #812900 писал(а):

Люди (включая математиков, хотя гуманитарии убеждены в обратном) мыслят образами, а не цепочками импликаций и определений формально подставляемых одно в другое.

На самом деле, я неоднократно замечал, что в математике используется два вида мышления: "образно-геометрическое" и "символьно-алгебраическое". Второе как раз позволяет работать с формулами, цепочками импликаций, подстановками. Именно второе позволяет узнать вам формулу знакомого вида, когда она записана другими буквами и в других обозначениях. У людей бывают предпочтительные склонности как к одному, так и к другому, и подозреваю, именно за счёт этого параллельно развиваются "алгебраическая" и "геометрическая" ветви математики. Подозреваю, что "геометрическое" мышление использует зрительно-моторные способности мозга, а "алгебраическое" - языковые (и возможно, логические).

VAL в сообщении #812900 писал(а):

С вектором, как объектом характеризующимся длиной и направлением (так это объясняли в школе в мое время) ситуация была еще лучше. Многие мои однокурсники, с трудом (зато без успеха :-) ) постигавшие понятия абстрактной алгебры линейную алгебру усваивали легче и лучше, поскольку опирались на сформировавшийся в школе образ. Поэтому понятие линейной зависимости, линейной оболочки, применение векторов в аналитической и дифференциальной геометрии и в физике проходили относительно гладко.

Сейчас картина иная. То, что вектор - это направленный отрезок, знает каждый первокурсник. У него в голове уже есть простой и понятный образ. О том, что векторы как-то там сравниваются, складываются и т.п. он слышал, но не помнит. При изучении линейной алгебры имеющийся образ (без умения оперировать с векторами) не помогает, а скорее мешает.

Увы, здесь нет никаких комментариев, отвечающих на мой вопрос: чем же это определение так плохо.

И даже, нет комментариев, чем эти два определения отличаются между собой. Разве направленный отрезок не характеризуется длиной и направлением? Разве, желая обозначить длину и направление, мы не нарисуем направленный отрезок?

VAL в сообщении #812900 писал(а):

"Возьмем точку, лежащую на середине этого вектора."

Не вижу ничего криминального в этой фразе. В зависимости от ситуации (это видно по чертежу) будет либо $\overrightarrow{OA}/2,$ либо $(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})/2.$

Остальные примеры - всего лишь демонстрируют незнание материала, а не проблемы определения. Для "длина и направление" можно накидать примеров не менее плачевных.

[ewert]

Munin в сообщении #812860 писал(а):

если числа дефинировать как точки на координатной прямой, то все эти танцы с классами эквивалентности и сечениями Дедекинда - всего лишь способ строго сказать очевидное.

Если дефендзировать числа как точки, то это означает не сказать ровным счётом ничего. В буквальном смысле ровно -- содержание окажется в точности равным нулю. Поскольку мистические "точки" не содержат в себе ни одной аксиомы полноты, покуда оную в них не внесёшь. А как только попытаешься внести -- ровно Дедекинд и выйдет, с точностью до переформулировок.

Короче: пляски с бубнами вокруг точек -- не более чем шарлатанство. Уж лучше бы честно уж промолчать.

Munin в сообщении #812984 писал(а):

VAL в сообщении #812900 писал(а):

"Возьмем точку, лежащую на середине этого вектора."

Не вижу ничего криминального в этой фразе.

И правильно не видите. Ничего криминального в ней нет, она всего лишь абсурдна. За абсурд же у нас пока не сажают (в смысле иногда сажают, но не туда).

-- Сб янв 11, 2014 22:16:34 --

VAL в сообщении #812900 писал(а):

Сейчас картина иная. То, что вектор - это направленный отрезок, знает каждый первокурсник. У него в голове уже есть простой и понятный образ. О том, что векторы как-то там сравниваются, складываются и т.п. он слышал, но не помнит. При изучении линейной алгебры имеющийся образ (без умения оперировать с векторами) не помогает, а скорее мешает.

А Вы не пробовали начать обсуждение линейных пространств с простого заклинания типа:

"Дети, все вы знаете, что такое векторы. Все умеете их складывать и умножать на число (достаточно при этом нарисовать на доске пару картинок, как все тут же согласятся, что знают, да ещё и подскажут, как рисовать -- если их об этом попросить). Но ведь не только же с ними это можно! Это можно и с ..., и с ..., и ... Так вот давайте и обобщим..."

Как-то не сталкивался с проблемами, подобными Вашим. Как-то опыт показывает, что народ очень быстро приноравливается и откровенных глупостей не пишет. Т.е. пишет-то их много, конечно, но не на уровне "точку всерёд вектора" -- от этого инстинкт их как-то уберегает.

[Munin]

ewert в сообщении #813006 писал(а):

Если дефендзировать числа как точки, то это означает не сказать ровным счётом ничего.

Вам - да, ничего. Школьникам, классе этак в седьмом, - не ничего.

ewert в сообщении #813006 писал(а):

Поскольку мистические "точки" не содержат в себе ни одной аксиомы полноты, покуда оную в них не внесёшь.

А и не надо. На этом языке можно изъясняться с первокурсниками, самое большее - с очень продвинутыми школьниками классе этак в 10.

[tatkuz1990]

Так Колмогоров гений или всего лишь талант? Он сделал больше, чем Григорий Перельман?

[ewert]

Munin в сообщении #813053 писал(а):

На этом языке можно изъясняться с первокурсниками,

На самом деле даже и с первокурсниками на этом языке не всегда льзя (с математиками -- необходимо, с инженерами -- скорее вредно). Но вот что есть факт: отмашка от вещественной проблематики ссылками на "точки на прямой" -- вредна абсолютно. Поскольку в лучшем случае лишь запудривает мозги. Уж лучше уж промолчать на этот счёт, если в рабочую программу не вмещается.

[VAL]

Munin в сообщении #812984 писал(а):

VAL в сообщении #812900 писал(а):

Люди (включая математиков, хотя гуманитарии убеждены в обратном) мыслят образами, а не цепочками импликаций и определений формально подставляемых одно в другое.

На самом деле, я неоднократно замечал, что в математике используется два вида мышления: "образно-геометрическое" и "символьно-алгебраическое". Второе как раз позволяет работать с формулами, цепочками импликаций, подстановками.

Возможно, есть и такие математики. Но думаю - это исключение.
А нормальный путь - "сначала увидеть, потом доказать", как это кратко сформулировал Д.Пойа.

Причем увидеть - не обязательно означает зрительное восприятие. Главное черта образа (если угодно гештальта) - его целостность. Если образ сформирован, не нужно расчленять объект на составляющие, вспоминать определение etc, чтобы успешно оперировать понятием. Разумеется, зрительный образ упрощает ситуацию.

Только полный идиот, услышав "круглый стол" будет вспоминать определение круга.

А вот простой пример на наличие или отсутствие образного восприятия объекта, не имеющего прямого зрительного аналога:
"Делится ли число 30000000 на 7?"

Многие (но не более половины из тех, кого спрашивал) сначала уверенно дают правильный ответ, а только потом подыскивают аргументацию в его поддержку. Здесь соответствующий образ (каноническое разложение) сформирован.

Другие отвечают на паузе, после того как подыщут аргументы.

Третьи (их среди студентов тоже немало ) говорят, что в уме не могут дать ответ. Им надо поделить уголком, чтобы узнать поделиться ли без остатка. Характерно, что этим третьим мысль о разложении на простые множители не приходит в голову, даже если они знают, что это такое.

Цитата:

У людей бывают предпочтительные склонности как к одному, так и к другому, и подозреваю, именно за счёт этого параллельно развиваются "алгебраическая" и "геометрическая" ветви математики.

Часто вспоминаю одну студентку, хотя она училась давно, лет 25 тому назад.
Это был такой-то предельный (а скорее, даже запредельный) случай "символьно-алгебраического", точнее, дискурсивного мышления.
Правда, успехов в алгебре (равно как и в геометрии) у нее не было, несмотря на огромное усердие и феноменальную память.
На вопрос найти корни уравнения $x^2=1$ она отвечала так:
$x^2-1=0, a=1, b=0, c=-1, D=..., x_1= \frac{\sqrt4}2, x_2=\frac{-\sqrt4}2$.
На просьбу не применять формулу корней квадратного уравнения следовал уверенный ответ:
Свободный член многочлена равен -1, а старший коэффициент 1. Поэтому рациональные делители (если они есть) надо искать среди чисел 1 и -1. Затем применяла схему Горнера и получала корни.
И только вопрос, почему корни в первом и втором случаях не совпали, ставил ее в тупик.
И так все два года, что я у них преподавал.

Цитата:

Подозреваю, что "геометрическое" мышление использует зрительно-моторные способности мозга, а "алгебраическое" - языковые (и возможно, логические).

Тогда все мои знакомые алгебраисты (а среди них есть и выдающиеся) заблудившиеся геометры
На самом деле, математики (как, наверное, и представители иных наук), конечно, опираются на оба полушария. Но, полагаю, при получении новых результатов правое лидирует (хронологически).
Думаю, важную роль в успешном освоении (а тем более, продвижении) математики играет отсутствие внутренних барьеров между полушариями, способность к их гармоничному взаимодействию.

Цитата:

Увы, здесь нет никаких комментариев, отвечающих на мой вопрос: чем же это определение так плохо.

Разве!?
Тогда еще раз: мешает наличие образа не адекватного понятию.

Цитата:

И даже, нет комментариев, чем эти два определения отличаются между собой. Разве направленный отрезок не характеризуется длиной и направлением?

Разумеется нет!
Направленный отрезок суть упорядоченная пара точек. Ими он задается и характеризуется.

Цитата:

Разве, желая обозначить длину и направление, мы не нарисуем направленный отрезок?

Рисуем.
Поскольку направленный отрезок задает вектор. Но вектором не является! Ведь вектор не задает никакого направленного отрезка.
Точно так же, как пара слагаемых однозначно задает сумму, но известная сумма не определяет слагаемых.
Я искренне удивлен, что мне приходиться объяснять такие вещи.

Цитата:

VAL в сообщении #812900 писал(а):

"Возьмем точку, лежащую на середине этого вектора."

Не вижу ничего криминального в этой фразе. В зависимости от ситуации (это видно по чертежу) будет либо $\overrightarrow{OA}/2,$ либо $(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})/2.$

Возможно Вы удивитесь, но у вектора нет середины. Более того, у него нет ни начала, ни конца. В чем собственно и есть его принципиальное отличие от направленного отрезка. Поэтому, если нам дан вектор, у нас может не быть ни $A$, ни $B$, ни $O$. Может оказаться, что у нас вообще никаких точек нет.

Цитата:

Остальные примеры - всего лишь демонстрируют незнание материала, а не проблемы определения. Для "длина и направление" можно накидать примеров не менее плачевных.

Можно. Но статистика...

PS: Думаю, Вы перегибаете палку в свойственном Вам (как, впрочем, и мне) полемическом задоре. Но уже начал сомневаться...

[Munin]

ewert в сообщении #813057 писал(а):

Но вот что есть факт: отмашка от вещественной проблематики ссылками на "точки на прямой" -- вредна абсолютно. Поскольку в лучшем случае лишь запудривает мозги.

Для первокурсников математической специальности - разумеется. Но не их же тут обсуждают!

[ewert]

(Оффтоп)

VAL в сообщении #813058 писал(а):

Направленный отрезок суть упорядоченная пара точек.

Отрезок не может быть "суть"; он может быть лишь "есть", ибо он один. Ну да это я так, зловредно.

[Munin]

VAL в сообщении #813058 писал(а):

Только полный идиот, услышав "круглый стол" будет вспоминать определение круга.

А как быть с определением, например, $\aleph_1$? Или интеграла Лебега?

VAL в сообщении #813058 писал(а):

Тогда еще раз: мешает наличие образа не адекватного понятию.

Послушайте, я вас уже третий раз спрашиваю, чего в этом образе не адекватно понятию. А вы всё увиливаете и играете словами. Мне вас ещё и в тридцатый раз спросить?

VAL в сообщении #813058 писал(а):

Направленный отрезок суть упорядоченная пара точек. Ими он задается и характеризуется.

Ну, если заучить такое определение, то понять, конечно, ничего будет нельзя. Но такого я в школе в упор не припомню. И даже "класса эквивалентности упорядоченных пар точек" не было.

VAL в сообщении #813058 писал(а):

Ведь вектор не задает никакого направленного отрезка.

Задаёт, целое множество.

VAL в сообщении #813058 писал(а):

Возможно Вы удивитесь, но у вектора нет середины.

Я даже верить не буду. Потому что это уменьшит мои возможности по решению задач. А зачем мне это?

VAL в сообщении #813058 писал(а):

Поэтому, если нам дан вектор, у нас может не быть ни $A$, ни $B$, ни $O$.

Это ничего. В обсуждаемом случае даны именно они, а не вектор.

VAL в сообщении #813058 писал(а):

Можно. Но статистика...

Вы это уже говорили. И я уже спросил, в чём ваше объяснение статистики. И обсуждаем мы теперь именно это.

[ewert]

Munin в сообщении #813065 писал(а):

Но не их же тут обсуждают!

А для "нетутошних" -- так надо и говорить честно. Что, мол, "точное понимание смысла вещ.ч. не входит в нашу программу и т.д., но вы, я надеюсь, это как-нить с божией помощью осознаете". Но ни в коем случае не создавать иллюзии точного понимания. С помощью якобы точечек.