Что Вас потрясло в математике?

[Munin]

Ваши личные фантазии меня не волнуют. У студентов своих проверяйте, что они освоили, а что не освоили. Или, может быть, у вас студентов нет?

[Logarithmus]

Очень долго не потрясало ничего. От безысходности и неотвратимости наказания уныло решала все эти задачи на движение, в которых несметному количеству людей не сидится дома, на работу с землекопами-стахановцами и прочими оторванными от моей действительности одушевленными и неодушевленными объектами, пока однажды не увидела задачу из курса теории вероятностей, классическую такую задачку: "В двух ящиках находятся шары белого и черного цвета, в первом столько-то белого и столько-то черного, во втором такое-то количество белых и такое-то количество черных. Из первого ящика наугад вынимают шар и перекладывают во второй ящик. После чего из второго ящика подряд извлекают два шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета." Вот эта задача по неведомой причине показалась мне крайне интересной и приближенной к суровой действительности моей жизни. Заинтересовавшись тем, что в математике есть не только бассейны с трубами и реки с теплоходами, начала читать все имеющиеся в доме книги по математике и очень быстро впечатлилась существованием неевклидовой геометрии, что для моего неокрепшего ума было сродни чуду. После чего потрясало и впечатляло уже многое, почти все.

[TelmanStud]

Отрезок равномощен квадрату, Это был шок для меня.

[Deggial]

Вопрос Aycan и его обсуждение отделено в отдельную тему Что отражают в реальном мире иррациональные числа?

[finanzmaster]

Мартингальные меры и их связь с отсутствием арбитража (безрисковой прибыли свыше того, что дает "безрисковый" бонд) и полнотой рынка (возможностью захеджировать любой дериватив с конечной выплатой). Change of measure - такая абстрактная конструкция, и вдруг такая естественная экономическая интерпретация (рыночная цена риска). После этого активно увлекся теорией меры - там тоже много чего впечатляющего было.

Еще - критерий Келли, особенно с точки зрения того, что фунции полезности - не есть (как думаешь при поверхностном ознакомлении с ними) красивые, но бесполезные конструкции. По крайней мере, некоторые (логарифмическая и степенная) очень даже применимы на практике. Особенно красив тот факт, что кто по жизни жадничает и оптимизирует более агрессивно, чем E[ln(богатство)] асимтотически с вероятностью 1 нарывается на принцип "много хочешь, мало получишь".

[Lahme]

Удивило то, что А.Колмогоров сумел дать формальное определение падежа.

[sergei1961]

То, что для аксиом линейного пространства не нужна коммутативность, она следует из остальных аксиом. И дальше-что не нужно 7-8 стандартных аксиом линейного пространства, а достаточно 4, причём не надуманных, а совершенно простых и естественных.

[Deggial]

Обсуждение определения падежа отделено в отдельную тему

[Ktina]

Буквально только что была определённо потрясена.
Упражнялась в вычислении сумм рядов и неожиданно наткнулась на изумительную закономерность:

$$\forall k\in\mathbb N:\quad\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2+kn}=\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{3k}+\dots +\dfrac{1}{k^2}$$

[Shadow]

Ktina, попробуйте доказать. Тогда и изумление пройдет.

[Ktina]

Shadow в сообщении #755943 писал(а):

Ktina, попробуйте доказать. Тогда и изумление пройдет.

Ну, вроде, на простейшие дроби раскладываем и получаем $\dfrac{1}{kn}-\dfrac{1}{kn+k^2}$, а дальше, вроде как, понятно...

[sergei1961]

Я бы ещё домножил на $k$, получится формула для частичной суммы гармонического ряда.

[Bulinator]

Недавно потрясло.
Пусть заданы $r$ натуральных чисел $a_i$ ($i=1,\ldots,r$). Обозначим через $d_r(k)$ кол-во решений уравнения

$$ k=\sum\limits_{i=1}^r a_i m_i, $$

где $m_i$ тоже натуральные числа.

Так вот, оказывается что имеет место следующее тождество:

$$ \sum\limits_{k=0}^\infty d_r(k)x^k=\prod\limits_{i=1}^r\left(1-x^{a_i}\right)^{-1}. $$

Я в шоке!!!

[provincialka]

Меня в детстве потрясла задача на деление в данном отношении. Классе в 4-5. Потом - то, что для аналитичности функции комплексного переменного достаточно дифференцируемости в окрестности.

Во взрослом состоянии - теорема Эрроу об оптимальной процедуре голосования.

[Urnwestek]

Bulinator в сообщении #787460 писал(а):

Я в шоке!!!

(Оффтоп)

Это же производящими функциями, вроде, легко проверяется.