Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[vicvolf]

Вы резюмировали только следствие 2. Перед ним следует доказательство 3-x свойств конечной вероятностной меры для плотности последовательности, как доли натурального ряда. После следствия 2 идет доказательство свойства 4, показывающие возможность использования остальных формул теории вероятности. Далее следует применение вероятностной меры при доказательстве гипотез о простых числах. Эта часть сейчас корректируется. В ближайшее время вышлю ее Вам для обсуждения.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #724249 писал(а):

Перед ним следует доказательство 3-x свойств конечной вероятностной меры для плотности последовательности, как доли натурального ряда.

Я резюмировал его словами "известно, что она является вероятностной мерой".

vicvolf в сообщении #724249 писал(а):

После следствия 2 идет доказательство свойства 4, показывающие возможность использования остальных формул теории вероятности.

Я резюмировал его словами "известно, что она является вероятностной мерой".

vicvolf в сообщении #724249 писал(а):

Далее следует применение вероятностной меры при доказательстве гипотез о простых числах. Эта часть сейчас корректируется. В ближайшее время вышлю ее Вам для обсуждения.

Тогда и разберемся.

[shwedka]

на http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/bounded_gaps_between_primes.html
сообщается о проверенном доказательстве слабой гипотезы близнецов:
для некоторого $k$ существует бесконечно много пар простых, отличающихся на $k$. Текст пока недоступен, но статья, вроде бы, принята к печати в Annals of Math.
O доказательстве якобы положительно отзывается Тао.

[Nilenbert]

shwedka в сообщении #725039 писал(а):

для некоторого $k$ существует бесконечно много пар простых, отличающихся на $k$.

Добавка: Из статьи следует, что $k$ меньше 70 миллионов($=7\cdot 10^7$).

[Nataly-Mak]

shwedka в сообщении #725039 писал(а):

для некоторого $k$ существует бесконечно много пар простых, отличающихся на $k$

Не следует ли уточнить, для какого "некоторого $k$"?
Если, скажем, $k$ нечётное число, то пара может быть всего одна, а может и не одной не быть.

[vicvolf]

Исправляю неточности, которые нашел tolstopuz при доказательстве свойства 4, за что я ему очень благодарен!

Введем понятие плотности одной последовательности, как доли другой последовательности, которая в общем случае
не является натуральным рядом.

Определение.
Плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,B$) - $P(f\cap g/f,A,B)=\frac {\pi(f\cap g,A,B)} {\pi(f,A,B)}}$

4. Пусть имеются две последовательности $f(n),g(n)$ на интервале [$A,B$), тогда:
$P(f\cap g,A,B) =P(f,A,B) \cdot P(f \cap g/f,A,B) ,(5)$
где $P(f\cap g/f,A,B)-$ плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,B$), а $P(f,A,B)$ не равно 0.

Доказательство
На основании определения (1) плотности $P(f\cap g,A,B)= \frac {\pi(f\cap g,A,B)} {B-A}.$
Преобразуем и при условии, что $P(f,A,B)$ и соответсвенно $\pi(f,A,B)$ не равны 0, получим:
$ \frac {\pi(f\cap g,A,B)} {B-A}=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A} \cdot \frac {\pi(f\cap g,A,B)} {\pi(f,A,B)}}=P(f,A,B) \cdot P(f\cap g/f,A,B).$ ч.т.д.

Плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,B$) - $P(f\cap g/f,A,B)=\frac {\pi(f\cap g,A,B)} {\pi(f,A,B)}}$ является конечной вероятностной мерой, аналогичной условной вероятности. Доказательство этого факта проводится аналогично свойствам 1-3 плотности последовательности, как доли натурального ряда на интервале [$A,B$).

Свойство 4 аналогично формуле вероятности произведения зависимых событий. Из свойств 1-4 вытекает справедливость для данного случая также остальных формул теории вероятности.

Пожалуйста, если кто-то будет утверждать, что это было доказано ранее, то укажите точную ссылку на работу, где определена плотность одной последовательности, как доля другой последовательности (не обязательно натурального ряда) и доказано, что в этом случае она является вероятностной мерой, аналогичной условной вероятности.
Насколько мне известно - до сих пор рассматривались лишь плотности последовательностей в натуральном ряде.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #725494 писал(а):

Определение.
Плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,B$) - $P(f\cap g/f,A,B)=\frac {\pi(f\cap g,A,B)} {\pi(f,A,B)}}$
...
Пожалуйста, если кто-то будет утверждать, что это было доказано ранее, то укажите точную ссылку на работу, где определена плотность одной последовательности, как доля другой последовательности (не обязательно натурального ряда) и доказано, что в этом случае она является вероятностной мерой, аналогичной условной вероятности.
Насколько мне известно - до сих пор рассматривались лишь плотности последовательностей в натуральном ряде.

Начните вот с этой ссылки:

http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_measure

Цитата:

The conditional probability based on the intersection of events defined as:
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
satisfies the probability measure requirements so long as P(A) is not zero.

Поменяйте буквы $A$, $B$ на $f$, $g$, вместо $P(f)$ возьмите свою $P(f,A,B)$, подставьте свои выражения $P(f\cap g,A,B)= \frac {\pi(f\cap g,A,B)} {B-A}$, $P(f,A,B)= \frac {\pi(f,A,B)} {B-A}$, сократите общий множитель, и получится ваша формула плотности одной последовательности как доли другой последовательности. Мы приходим к выводу, что она является тривиальным следствием общеизвестного факта.

Если вас интересуют подробности доказательства того, что это выражение является вероятностной мерой, в википедии есть ссылки на литературу.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #725494 писал(а):

Насколько мне известно - до сих пор рассматривались лишь плотности последовательностей в натуральном ряде.

Сложность у Вас все время будет в том, что придется оправдывать предельные переходы при $B\to\infty$, a это сильно непросто.
Можно, конечно, попытаться воспользоваться обобщенным пределом. По теореме Хана-Банаха существует расширение линейного функционала 'предел' с подпространства последовательностей, имеющих предел, на все пространство ограниченных последовательностей. Такое распространение, конечно, не единственно, но возможно выбрать специальное расширение, которое дает 'предел', естественным образом себя ведущий при некоторых элементарных операциях. Например, такой специальный 'предел' инвариантен, если у последовательности отбросить несколько первых членов, либо если каждый член написать два раза...
Диксмье (J. Dixmier) в 60-е и 70- е годы этим занимался, позже такие результаты сильно пригодились в развитии некоммутатвной геометрии.

[tolstopuz]

shwedka в сообщении #725532 писал(а):

Можно, конечно, попытаться воспользоваться обобщенным пределом.

Для начала разобраться бы с элементарными понятиями. ТС плохо представляет себе, что такое мера.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #725505 писал(а):

vicvolf в сообщении #725494 писал(а):

Определение.
Плотность общей последовательности $f\cap g$ в последовательности $f(n)$ на интервале [$A,B$) - $P(f\cap g/f,A,B)=\frac {\pi(f\cap g,A,B)} {\pi(f,A,B)}}$
...
Пожалуйста, если кто-то будет утверждать, что это было доказано ранее, то укажите точную ссылку на работу, где определена плотность одной последовательности, как доля другой последовательности (не обязательно натурального ряда) и доказано, что в этом случае она является вероятностной мерой, аналогичной условной вероятности.
Насколько мне известно - до сих пор рассматривались лишь плотности последовательностей в натуральном ряде.

Начните вот с этой ссылки:

http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_measure

Цитата:

The conditional probability based on the intersection of events defined as:
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
satisfies the probability measure requirements so long as P(A) is not zero.

Извините. Вы все делаете наооборот. Я говорю о плотности одной последовательности в другой на конечном интервале (условной плотности) и показываю, что она является конечной вероятностной мерой. Вы мне даете ссылку, что условная вероятность является вероятностью. Это общеизвестный факт.

Цитата:

Поменяйте буквы $A$, $B$ на $f$, $g$, вместо $P(f)$ возьмите свою $P(f,A,B)$, подставьте свои выражения $P(f\cap g,A,B)= \frac {\pi(f\cap g,A,B)} {B-A}$, $P(f,A,B)= \frac {\pi(f,A,B)} {B-A}$, сократите общий множитель, и получится ваша формула плотности одной последовательности как доли другой последовательности. Мы приходим к выводу, что она является тривиальным следствием общеизвестного факта.

Вы идете от формулы вероятностной меры и предлагаете мне подставить в нее мои плотности, так и не доказав, что данные плотности являются вероятностными мерами и правомочность этой операции.

Цитата:

Если вас интересуют подробности доказательства того, что это выражение является вероятностной мерой, в википедии есть ссылки на литературу.

Не интересует - это очевидно.

[g______d]

shwedka в сообщении #725532 писал(а):

Можно, конечно, попытаться воспользоваться обобщенным пределом. По теореме Хана-Банаха существует расширение линейного функционала 'предел' с подпространства последовательностей, имеющих предел, на все пространство ограниченных последовательностей. Такое распространение, конечно, не единственно, но возможно выбрать специальное расширение, которое дает 'предел', естественным образом себя ведущий при некоторых элементарных операциях.

Мне пришло в голову такое определение. Пусть $\mathcal F$ -- неглавный ультрафильтр на $\mathbb N$. Для последовательности $\{a_n\}$ рассмотрим такую функцию на $\mathbb R$: $\chi(x)=1$ если $\{n\colon a_n<x\}\in \mathcal F$ и $\chi(x)=0$ в противном случае. Это монотонная функция, поэтому существует единственное $x_0\in \mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}$, такое что $\chi(x)=0$ при $x<x_0$ и $\chi(x)=1$ при $x>x_0$. Это $x_0$ и назовем пределом. Определение зависит от выбора ультрафильтра.

------------

А, ну да, это что-то совсем стандартное...

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #725554 писал(а):

Цитата:

Поменяйте буквы $A$, $B$ на $f$, $g$, вместо $P(f)$ возьмите свою $P(f,A,B)$, подставьте свои выражения $P(f\cap g,A,B)= \frac {\pi(f\cap g,A,B)} {B-A}$, $P(f,A,B)= \frac {\pi(f,A,B)} {B-A}$, сократите общий множитель, и получится ваша формула плотности одной последовательности как доли другой последовательности. Мы приходим к выводу, что она является тривиальным следствием общеизвестного факта.

Вы идете от формулы вероятностной меры и предлагаете мне подставить в нее мои плотности, так и не доказав, что данные плотности являются вероятностными мерами и правомочность этой операции.

Насколько я понял, мы говорим о свойстве 4. Это означает, что к этому моменту свойства 1-3 уже доказаны и мы знаем, что плотность последовательности (обычная, не относительно другой последовательности) является вероятностной мерой. Правомочность подстановки в формулу правой части равенства вместо левой я обсуждать не буду, я все-таки стараюсь вести разговор в рамках адекватности и уважения к собеседнику.

Итак, вы вводите определение относительной плотности и доказываете, что она является вероятностной мерой. В математике уже введено другое определение - относительной вероятности, которая при подстановке в нее вашего определения плотности последовательности становится тождественно равной вашей же относительной плотности. Также доказано, что она является вероятностной мерой. Следовательно, я не вижу в вашем подходе новизны, вы просто слегка модифицировали общее определение для вашего конкретного случая.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #725561 писал(а):

Насколько я понял, мы говорим о свойстве 4. Это означает, что к этому моменту свойства 1-3 уже доказаны и мы знаем, что плотность последовательности (обычная, не относительно другой последовательности) является вероятностной мерой. Правомочность подстановки в формулу правой части равенства вместо левой я обсуждать не буду, я все-таки стараюсь вести разговор в рамках адекватности и уважения к собеседнику.
Итак, вы вводите определение относительной плотности и доказываете, что она является вероятностной мерой. В математике уже введено другое определение - относительной вероятности, которая при подстановке в нее вашего определения плотности последовательности становится тождественно равной вашей же относительной плотности. Также доказано, что она является вероятностной мерой. Следовательно, я не вижу в вашем подходе новизны, вы просто слегка модифицировали общее определение для вашего конкретного случая.

Вы говорите о методе доказательства свойства 4. Это другой вопрос. Важно, что доказывается. Я просил дать ссылку, если ранее рассматривалась плотность одной последовательности в другой последовательности. Такой ссылки дано не было. Поэтому это новизна. Поскольку ранее не рассматривалась данная плотность, то естественно не доказывалась, что она является вероятностной мерой. Это важно, так как используется для доказательства других утверждений темы.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #725607 писал(а):

Я просил дать ссылку, если ранее рассматривалась плотность одной последовательности в другой последовательности. Такой ссылки дано не было. Поэтому это новизна. Поскольку ранее не рассматривалась данная плотность, то естественно не доказывалась, что она является вероятностной мерой.

Если за $P(f)$ взять вашу $P(f,A,B)$, то рассмотренная по ссылке величина $P(B\mid A)$ тождественно равна вашей плотности одной последовательности в другой. Также доказано, что она является вероятностной мерой. Следовательно, ваши слова не соответствуют действительности и введенная вами величина новизны не представляет.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #725617 писал(а):

vicvolf в сообщении #725607 писал(а):

Я просил дать ссылку, если ранее рассматривалась плотность одной последовательности в другой последовательности. Такой ссылки дано не было. Поэтому это новизна. Поскольку ранее не рассматривалась данная плотность, то естественно не доказывалась, что она является вероятностной мерой.

Если за $P(f)$ взять вашу $P(f,A,B)$, то рассмотренная по ссылке величина $P(B\mid A)$ тождественно равна вашей плотности одной последовательности в другой. Также доказано, что она является вероятностной мерой. Следовательно, ваши слова не соответствуют действительности и введенная вами величина новизны не представляет.

Да, так можно получить формулу, но никто ее не получил. Значит не было необходимости. А у меня была такая необходимость, так как интересовался плотностью последовательности простых чисел в последовательности, образованной многочленами.