Куда можно вложить евклидово пространство?

[lek]

(Оффтоп)

Не... Мне следовало бы самому догадаться...

[bayak]

Утундрий в сообщении #651695 писал(а):

К сожалению здесь мне интересны лишь фундаментальные в изложенном выше смысле.

Ну так и вкладывайте евклидовы прямые в евклидовы плоскости, евклидовы плоскости в евклидовы пространства, и так далее. А я тем временем намотаю прямую на окружность и получу евклидову прямую.

[Утундрий]

bayak
Но в чём здесь выход за пределы евклидового?

[bayak]

Утундрий
Фундамент искали?

До того как мы намотали - на прямой не было евклидова расстояния, а после - появилось (измеряется в оборотах намотки).

[Bulinator]

Утундрий в сообщении #651652 писал(а):

Теорема Уитни.

Утундрий в сообщении #651660 писал(а):

А какое еще слово нужно? Метрика индуцируется вложением.

Вообще-то, чтобы метрика индуцировалась вложением $2n$ недостаточно. См. Теорема Неша о регулярных вложениях.

[Утундрий]

Да хоть $25n$... Смысл в том, что абстрактное риманово многообразие не содержит ничего принципиально отличного от некоторой "поверхности" в достаточновысокоразмерном евклидовом пространстве. Это вроде бы фольклор, нэ?

[Bulinator]

И вопрос как-то некорректно звучит. Т.е. существует ли пространство имеющее подпространство с нулевой индуцированной кривизной(и еще может быть чегой-то там) и диффеоморфное $\mathbb{R}^n$?
$\mathbb{R}^n\times S^1$ пойдет?

[Утундрий]

Bulinator в сообщении #651728 писал(а):

$\mathbb{R}^n\times S^1$ пойдет?

К сожалению его можно вложить в $$\mathbb{R}^{n+2}$, так что не пойдёт.

[Bulinator]

Так, Утундрий, если понятно, что все гладкие многообразия вкладываются в $\mathbb{R}^n$, то какое-бы гладкое многообразие не содержало бы $\mathbb{R}^n$ оно вкладывется в какое-то $\mathbb{R}^m$( с достаточно большим $m$). В итоге вопрос свелся к вопросу о первичности яйца и курицы.

[Утундрий]

Bulinator в сообщении #651735 писал(а):

вопрос свелся к вопросу о первичности яйца и курицы

Что вы, такой вопрос я бы постыдился задавать. Мне хотелось бы знать, только ли евклидовы пространства есть тот необходимый минимум для реализации в них абстрактных (локально евклидовых!) многообразий?

[Bulinator]

Либо перефразировать вопрос: существует ли топологическое пространство(тут уже про метрики, всякие карты.. забывем), которое не вкладывается в $\mathbb{R}^n$? Я печенкой чувствую, что какое-нибудь да существует(тысяси их!!!).

[Утундрий]

А почему непременно

Bulinator в сообщении #651740 писал(а):

топологическое пространство

?

[Bulinator]

Ну потому что многообразия, как уже поняли, вкладываются в $\mathbb{R}^n$.

[Утундрий]

Ну, хорошо, допустим. О картах точно не думаем, ибо весь вопрос в окрестности. Итак, требуется найти такое (не более чем!) топологическое пространство, которое не вкладывается ни в какое псевдоевклидово пространство, но в которое вкладывается какое-то псевдориманово пространство.

Это решаемо?

P.S. Псевдо- это для общности. Но без псевдо- тоже интересно.

[Bulinator]

Вот если хоть одно найдете, которое не вкладывается в $\mathbb{R}^n$, берете его прямое произведение с $\mathbb{R}^n$ и будет вам счастье. А какие пространства не вкладываются в евлкидовы, это нужно спросить у сумасшедших математиков у специалистов по топологии.