Куда можно вложить евклидово пространство?

[Munin]

alcoholist в сообщении #653420 писал(а):

Конечно, класс евклидовых пространств -- фундаментальный.

(естественный) Выбор евклидовых определен тем, что кривизна везде нулевая

Первый же наивный вопрос. Класс пространств постоянной положительной кривизны, и класс пространств постоянной отрицательной кривизны (даже уже, класс эллиптических и класс гиперболических пространств) - оба фундаментальные? Становится ли кто-нибудь из них нефундаментальным, если ограничить радиус кривизны сверху?

[alcoholist]

epros в сообщении #653614 писал(а):

В моём примере

я и говорил, что в Вашем нет такой красоты

epros в сообщении #653614 писал(а):

Это Вы к чему?

к тому, что Вы узко понимаете смысл понятия "кривизна"

[alcoholist]

Munin в сообщении #653629 писал(а):

Первый же наивный вопрос. Класс пространств постоянной положительной кривизны, и класс пространств постоянной отрицательной кривизны

оба-два, да

у сферы есть проблемы с полнотой, но локально -- да

[Munin]

alcoholist в сообщении #653733 писал(а):

у сферы есть проблемы с полнотой

О! Вот тут можно Утундрию порыться.

[g______d]

alcoholist в сообщении #653733 писал(а):

у сферы есть проблемы с полнотой, но локально -- да

В теореме Нэша утверждается, что риманово многообразие размерности $m$ можно изометрически вложить в сколь угодно малый кусок евклидова пространства размерности $2m$. Кажется довольно правдоподобным, что то же самое верно для вложения в любое $2m$-мерное риманово многообразие.

[Bulinator]

g______d в сообщении #653809 писал(а):

В теореме Нэша утверждается, что риманово многообразие размерности $m$ можно изометрически вложить в сколь угодно малый кусок евклидова пространства размерности $2m$.

По-моему вы немного преувеливаете/преуменьшаете. Размерность евклидового пр-ва должна быть $m^2+5m+3$.

[g______d]

Хм. Даже для $C^1$- вложений? Вроде, есть такой факт,

http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem

[alcoholist]

Да, факт есть... Но $C^1$ для риманова не очень естественно) Даже вторую форму индуцированную не определить

[ИгорЪ]

Букет это набор топологических пространств склееных в одной точке. Берем такой бесконечный набор сфер: окружность, сфера, 3-сфера,... $S^n$....и т.д. Берем в каждой сфере по точке и склеиваем их. Полученный букет $\vee_{n}S^n$ не вкладывается в $R^n$ при $n\to \infty$.

[Munin]

А в $R^{n+1}$ вкладывается...

[g______d]

ИгорЪ в сообщении #654237 писал(а):

Букет это набор топологических пространств склееных в одной точке. Берем такой бесконечный набор сфер: окружность, сфера, 3-сфера,... $S^n$....и т.д. Берем в каждой сфере по точке и склеиваем их. Полученный букет $\vee_{n}S^n$ не вкладывается в $R^n$ при $n\to \infty$.

Это пример чего? Если оба $n$ (то, которое в $\vee_{n}S^n$ и то, которое в $R^n$) одинаковые, то вместо букета можно взять просто $S^n$, тогда все равно не будет вкладываться. Если только первое $n$ (количество сфер) стремится к бесконечности, то этот пример ничем не лучше и не хуже любого бесконечномерного топологического пространства.

[ИгорЪ]

Разумеется это пример бесконечномерного топологического пространства. g______dПо вашему любое бесконечномерное тп не вкладывается?

[g______d]

Для известных мне определений размерности это так. А что, Вы знаете контрпример?

[Утундрий]

В.И.Арнольд писал(а):

...только в размерности 4 существуют "фальшивые евклидовы пространства", топологически одинаковые с обычным четырехмерным пространством, но не допускающие единой гладкой координатной системы.

Все эти фальшивые четырехмерные пространства допускают, однако, замечательное описание в терминах динамических систем: они являются пространствами орбит некоторых гладких векторных полей (без положения равновессия) в обычном евклидовом пятимерном пространстве. До сих пор, насколько мне известно, никто не выписал подобное векторное поле в явном виде. Могут ли его компоненты быть элементарными функциями? многочленами?

Кто-нибудь с такими животными сталкивался и где об этих зверях можно полистать подробнее?

[g______d]

Фрид, Уленбек, "Инстантоны и четырехмерные многообразия". Вообще очень интересное явление, и возникает из уравнений Янга-Миллса. И именно в размерности 4. Жаль, что я в этом не разбираюсь :(