Асимптотическая плоскость

[Shtorm]

ИСН в сообщении #580118 писал(а):

Ещё раз попробую нащупать формулировку. В учебниках для 2 класса складывают и умножают числа до 10 (это условно, я уж не помню, как оно там на самом деле). В учебниках для 3 класса складывают и умножают двузначные числа. Что будет в учебниках для 10 класса? 9-значные числа? Нет! Там вообще почти не будет никаких чисел, а будет более высокая теория.
Вот примерно поэтому в вузовских учебниках нет теории асимптотических плоскостей.

То есть Вы клоните к тому, что поскольку методика умножения многозначных чисел даётся в 3-ем классе, то нет смысла решать примеры на умножение чисел с большим количеством знаков в 10-ом классе? Тем самым Вы проводите аналогию с функцией одной переменной и функцией двух переменных - я Вас правильно понял?
Насчёт формулировки, как Вам такая формулировка:
Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой прямой, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при перемещении этой прямой вдоль поверхности в бесконечность.

[ewert]

Shtorm в сообщении #580148 писал(а):

при перемещении этой прямой вдоль поверхности

Такого практически никогда не бывает.

[Алексей К.]

Я вот взял $z=e^{-(x^2+y^2)}$, и такая под ней асимптотическая плоскость лежит, а ни одной прямой на поверхности пока не обнаружил...

[ИСН]

Shtorm в сообщении #580148 писал(а):

Тем самым Вы проводите аналогию с функцией одной переменной и функцией двух переменных - я Вас правильно понял?

Не совсем. Функция двух (или "многих" - это смотря для кого курс) переменных имеет элементы существенной новизны, поэтому под неё есть отдельный раздел. Но после этого, т.е. когда человек уже знает и теорию функций многих переменных, и теорию асимптот у функций одной переменной - в асимптотических плоскостях нет достаточной важности, чтобы их изучать отдельно.
- - - - - - - -

Shtorm в сообщении #580148 писал(а):

прямой, лежащей на поверхности

Наличие такой прямой - довольно редкое свойство для поверхностей.

[Shtorm]

ewert в сообщении #580158 писал(а):

Shtorm в сообщении #580148 писал(а):

при перемещении этой прямой вдоль поверхности

Такого практически никогда не бывает.

В любом гиперболическом цилиндре - всегда бывает.

-- Вс июн 03, 2012 13:00:52 --

Алексей К. в сообщении #580160 писал(а):

Я вот взял $z=e^{-(x^2+y^2)}$, и такая под ней "асимптотическая плоскость" лежит, а ни одной прямой на поверхности пока не огбнаружил...

Отлично! Переформулируем:

Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой линии, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при перемещении этой линии вдоль поверхности в бесконечность.

[ИСН]

Цилиндр уныл. Вы же понимаете, что это значит взять обычную плоскость со всеми её кривыми, асимптотами и соответствующими теориями - и вытянуть по вертикали. При этом ничего нового не возникнет.
Насчёт линии сразу возникает целый шквал вопросов. Расстояние до точек! Но у неё много точек. Кто должен стремиться к нулю? Все эти расстояния? Ладно, но что такое "перемещение линии в бесконечность"? Всё это как-то очень сложно.

[Алексей К.]

"...при перемещении этой линии вдоль поверхности". Уже наж этим надо думать...

[ИСН]

(Оффтоп)

Цитата:

Ехал этот через это,
Видит этот - в этом эт!

[Shtorm]

ИСН в сообщении #580169 писал(а):

Цилиндр уныл. Вы же понимаете, что это значит взять обычную плоскость со всеми её кривыми, асимптотами и соответствующими теориями - и вытянуть по вертикали. При этом ничего нового не возникнет.

По данному вопросу полностью с Вами согласен. Но зато, цилиндрические поверхности очень наглядны - и позволяют избежать некоторых теоретических ошибок, как было видно из нашей дискуссии.

ИСН в сообщении #580169 писал(а):

Насчёт линии сразу возникает целый шквал вопросов. Расстояние до точек! Но у неё много точек. Кто должен стремиться к нулю? Все эти расстояния?

Совершенно верно.

ИСН в сообщении #580169 писал(а):

Ладно, но что такое "перемещение линии в бесконечность"? Всё это как-то очень сложно.

Ну мы же рассматриваем стремление точек на плоскости в бесконечность, почему бы не рассмотреть стремление некой кривой в трёхмерке в бесконечность?

-- Вс июн 03, 2012 14:24:05 --

Алексей К. в сообщении #580171 писал(а):

"...при перемещении этой линии вдоль поверхности". Уже наж этим надо думать...

Ну давайте заменим слово "этой" на слово "данной".

-- Вс июн 03, 2012 14:24:44 --

ИСН в сообщении #580175 писал(а):

(Оффтоп)

Цитата:

Ехал этот через это,
Видит этот - в этом эт!

От души посмеялся!

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #580193 писал(а):

Ну давайте заменим слово "этой" на слово "данной".

Да не о том я. Как бы мы не заменяли, но при (подразумеваемом Вами) "перемещении" эта/данная линия сразу перестаёт быть этой/данной. Лишних слов в определениях не должно быть. Математические определения так не делаются. И это была самая простая из множества претензий к тому определению.

[Shtorm]

Может быть можно уже переходить к формулам?
Я рассуждаю так:
Напишем уравнение плоскости в общем виде:
$Ax + By + Cz + D = 0$
Преобразуем:
$z=-\frac{A}{C}x-\frac{B}{C}y-\frac{D}{C}$
Переобозначим:
$z=k_{1}x+k_{2}y+b$
И в таком виде будем искать уравнение асимптотической плоскости.
Если z=f(x,y) - уравнение поверхности, которую мы исследуем на наличие наклонных и горизонтальных ассимптотических плоскостей, то

$k_{1}=\lim \frac{f(x,y)}{x}$ (при x стремящемся к бесконечности)

$k_{2}=\lim \frac{f(x,y)}{y}$ (при y стремящемся к бесконечности)

Пока правильно рассуждаю? А как быть с коэффициэнтом b?

-- Вс июн 03, 2012 15:35:06 --

Алексей К. в сообщении #580210 писал(а):

Shtorm в сообщении #580193 писал(а):

Ну давайте заменим слово "этой" на слово "данной".

Да не о том я. Как бы мы не заменяли, но при (подразумеваемом Вами) "перемещении" эта/данная линия сразу перестаёт быть этой/данной. Лишних слов в определениях не должно быть. Математические определения так не делаются. И это была самая простая из множества претензий к тому определению.

Можно заменить слово "перемещении" на слово "удалении". Как это сделано в учебнике "Дифференциальное и интегральное исчисление" Пискунов (1 том) в определении асимптоты функции одной переменной и в Википедии. Тогда получится:
"Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой линии, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при удалении линии вдоль поверхности в бесконечность." (cлово "данной" убрал)

Но сути это не меняет. Пискунов пишет в своём учебнике: "Мы говорим, что переменная точка М движется по кривой в бесконечность, если расстояние этой точки от начала координат неограниченно возрастает". Так же и мы можем написать, что "переменная кривая L движется по поверхности в бесконечность, если расстояние от начала координат до этой кривой неограниченно возрастает".

А какие ещё претензии к определению?

[Алексей К.]

Пока Вы будете получать штыря от модераторов за использование красного цвета (где-то в Правилах написано), я пойду поковыряю учебники, потому что не знаю, что такое расстояние от точки до кривой.
Или нет... Я лучше пойду веничков нарежу, пока выходной не кончился, глядишь про это расстояние кто-нибудь на халяву расскажет.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #580263 писал(а):

... (удалено, АКМ)

AKM:

И цитировать полностью предыдущее сообщение нет никакой нужды. Форум --- хранилище, а это мусор в нём.
Можно придумать ситуации, когда это оправдано, но вряд ли это касается данной спокойной беседы.

Ах да, толком-то не прочитал правила форума. Хотел убрать красный цвет, а уже нельзя.
Ну мы можем считать расстоянием от точки до кривой - кратчайшее расстояние от точки до кривой. Причём таких расстояний может быть несколько, если к примеру, кривая замкнута. Но сути определения асимптотической плоскости это не изменит. Ведь верно? При рассмотрении этих кривых (прямых) на бесконечности - это все будет пренебрежимо мало.

[Алексей К.]

Я давно на форуме, и часто читал, что расстояние от фонаря определять нельзя, что оно должно удовлетворять каким-то аксиомам. Сам этого так и не выучил. Но, безотносительно к этим штукам ---

Shtorm в сообщении #580283 писал(а):

Причём таких расстояний может быть несколько, если к примеру, кривая замкнута.

Вы можете привести пример кривой и точки, таких, чтобы "кратчайших расстояний было несколько"? Я уже час потратил, не придумалось.

-- 03 июн 2012, 22:58:37 --

Алексей К. в сообщении #580462 писал(а):

... и часто читал, что расстояние от фонаря определять нельзя, что оно должно удовлетворять...

Я плохо выразился, двусмысленно.
Конечно, можно определять расстояние от фонаря до другого объекта.
Нельзя определять расстояние как попало, ибо оно должно удовлетворять... Я это имел в виду.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #580462 писал(а):

Я давно на форуме, и часто читал, что расстояние от фонаря определять нельзя, что оно должно удовлетворять каким-то аксиомам. Сам этого так и не выучил. Но, безотносительно к этим штукам ---

Shtorm в сообщении #580283 писал(а):

Причём таких расстояний может быть несколько, если к примеру, кривая замкнута.

Вы можете привести пример кривой и точки, таких, чтобы "кратчайших расстояний было несколько"? Я уже час потратил, не придумалось.

Пожалуй я написал, толком не подумав. Как может быть несколько кратчайших расстояний?? Как бы ни была причудлива изогнута кривая в пространстве или на плоскости - кратчайшее расстояние всегда одно. (По крайней мере в Евклидовой геометрии ) или же имеются несколько отрезков одинаковой длины, соединяющие данную точку и точки кривой. (в случае центра окружности или центра винтовой цилиндрической линии - этих отрезков бесконечное множество). В нашем же обсуждаемом случае, расстояние от асимптотической плоскости до линии, лежащей на поверхности - это длина перпендикуляра, опущенного от точки линии на ассимптотическую плоскость.
Рискну выдвинуть гипотезу: "Если поверхность имеет асимптотическую плоскость, то всегда найдётся линия, лежащая на поверхности, расстояния от каждой точки которой до асимптотической плоскости - все равны друг другу. (конечно под расстоянием понимаются перепендикуляры опущенные из точек линии на плоскость)