Дифференциальные формы

[Munin]

g______d в сообщении #558854 писал(а):

Бывают когомологии де Рама со значениями в расслоении.

Нет, я не про значения, я про domain. Хотелось бы понять, как топологии расслоений устроены. Ну не де Рама, так хоть кого-нибудь...

[g______d]

Munin в сообщении #558864 писал(а):

Хотелось бы понять, как топологии расслоений устроены. Ну не де Рама, так хоть кого-нибудь...

Векторное расслоение (и вообще расслоение со стягиваемым слоем) гомотопически эквивалентно базе. Поэтому все гомотопические инварианты (группы гомологий, фундаментальная группа, высшие гомотопические группы) у них одинаковые.

Если слой более сложный, то ключевые слова здесь "спектральная последовательность расслоения".

[Munin]

g______d в сообщении #558879 писал(а):

Если слой более сложный, то ключевые слова здесь "спектральная последовательность расслоения".

Спасибо большое за подсказку!

-- 11.04.2012 09:12:13 --

g______d в сообщении #558879 писал(а):

Поэтому все гомотопические инварианты (группы гомологий, фундаментальная группа, высшие гомотопические группы) у них одинаковые.

Нет, стоп, так получается, ленту Мёбиуса никак не отличить от незакрученного колечка?

[Aliara]

alcoholist в сообщении #558673 писал(а):

а Вы в курсе, что $dd=0$ всегда?

Была в курсе до третьего курса, а потом началась методика и напрочь все выбила из головы.

То есть внешний дифференциал формы равен нулю?

[Munin]

Если она сама чей-то внешний дифференциал, то да.

Интересно, а бывают алгебраические или геометрические системы, в которых $dd\ne 0,$ но $ddd=0$?

[g______d]

Munin в сообщении #558891 писал(а):

Нет, стоп, так получается, ленту Мёбиуса никак не отличить от незакрученного колечка?

Они гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны. Нужен какой-то более тонкий инвариант. Например, с помощью характеристических классов можно показать, что соответствующие расслоения (если и то, и другое представить как расслоение над окружностью) не эквивалентны. Но не очевидно, как отсюда следует негомеоморфность тотальных пространств.

Если кольцо и лист Мёбиуса замкнуты (т. е. граница в них входит), то можно к каждому приклеить по границе диск и получить уже не гомотопически эквивалентные пространства; одно будет ориентируемо (сфера), второе --- нет (сфера с пленкой или проективная плоскость), и вторые гомологии будут разные.

[Munin]

g______d в сообщении #558941 писал(а):

Например, с помощью характеристических классов

Спасибо, вот это ключевое слово, кажется, то, что меня интересовало...

[alcoholist]

g______d в сообщении #558831 писал(а):

Проблема в том, что если есть отображение многообразий, то ему не соответствует отображение векторных полей ни в ту, ни в другую сторону

Любое гладкое отображение $f:N\to M$ многообразий индуцирует отображение $f_*:TM\to TN$ касательных расслоений:

$$ \Bigl.f_*\xi(F)\Bigr|_{f(x)}=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}F(f\circ\gamma(t)), $$

где $F$ -- функция на $M$, $\gamma:(-\varepsilon;\varepsilon)\to N$ -- кривая, порождающая $\xi_x$: $\xi_x=\dot{\gamma}(0)$

-- Ср апр 11, 2012 14:25:25 --

g______d в сообщении #558941 писал(а):

Нужен какой-то более тонкий инвариант. Например, с помощью характеристических классов можно показать, что соответствующие расслоения (если и то, и другое представить как расслоение над окружностью) не эквивалентны. Но не очевидно, как отсюда следует негомеоморфность тотальных пространств.

Не надо из пушки стрелять по воробьям. Доказать, что открытый лист Мебиуса (линейное одномерное расслоение над окружностью) не гомеоморфно прямому произведению очень просто: достаточно доказать отсутствие не обращающегося в ноль сечения.

А про замкнутый и говорить не приходится: у кольца две компоненты края, а у листа Мебиуса -- одна:)

-- Ср апр 11, 2012 14:45:02 --

Munin в сообщении #558704 писал(а):

Я так понимаю, что взятие внешней производной от дифформы, $d\omega,$ есть в точности взятие кограницы от коцепи. Но в таком случае, необходима и операция взятия границы от цепи, $\partial X,$ чтобы перейти от вектора к соответствующему ему оператору дифференцирования.

если уж и искать формальную аналогию, то двойственный оператор $\partial$ должен действовать из $\Lambda^{k+1}TM$ в $\Lambda^kTM$

-- Ср апр 11, 2012 15:20:51 --

Munin в сообщении #558891 писал(а):

Нет, стоп, так получается, ленту Мёбиуса никак не отличить от незакрученного колечка?

Если рассматривать кольцо и лист Мебиуса с краем, то у них разные группы $H_2(M,\partial M)$

[Aliara]

Даже прерывать вас не хочется...
Задача:
Отображение $\varphi :R^2 \rightarrow R^2 $ задано в виде $(u, v) \mapsto (u\cdot v, 1)=(x, y)$.Найти $\varphi $*$(dx)$

Я рассуждала так:

$$ \varphi *(dx)=dx(\xi)=v\tau_1+u\tau_2$$

[alcoholist]

Aliara в сообщении #559021 писал(а):

Я рассуждала так:

$$ \varphi^ *(dx)=dx(\xi)=v\tau_1+u\tau_2$$

а что такое $\xi$?

Ведь перенос формы осуществляется очень просто:

$$ \varphi^*\omega(X)=\omega(\varphi_*X) $$

-- Ср апр 11, 2012 17:33:41 --

Вектора же переносить очень просто.

Например, вектор $\partial/\partial u\in T_{(u_0,v_0)}\mathbb{R}^2$ порожден кривой $u(t)=u_0+t$, $v(t)=v_0$,
поэтому

$$ \left.\varphi_*\left(\frac{\partial}{\partial u}\right)f(x,y)\right|_{(u_0,v_0)}=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f\Bigl(x(u(t),v(t)),y(u(t),v(t))\Bigr)=\left.v\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(u_0,v_0)} $$

[g______d]

Вы отобразили один вектор. Я утверждаю, что это не переносится на векторные поля. Отображение расслоений -не то же самое, что отображение пространств сечений. Там возникнет индуцированное расслоение.

[Aliara]

alcoholist в сообщении #559034 писал(а):

а что такое $\xi$?

Вектор, отвечающий вектору $\tau$

alcoholist в сообщении #559034 писал(а):

$$ \varphi^*\omega(X)=\omega(\varphi_*X) $$

Скромный вопрос - а что такое $\varphi_*X$? Нижнее обозначение у Зорича не вводится. Или тут просто опечатка?

[alcoholist]

Aliara в сообщении #559092 писал(а):

Нижнее обозначение у Зорича не вводится

может быть, у Зорича $d\varphi$ -- "касательное отображение" (дифференциал отображения)

[g______d]

alcoholist в сообщении #558996 писал(а):

Не надо из пушки стрелять по воробьям. Доказать, что открытый лист Мебиуса (линейное одномерное расслоение над окружностью) не гомеоморфно прямому произведению очень просто: достаточно доказать отсутствие не обращающегося в ноль сечения.

А про замкнутый и говорить не приходится: у кольца две компоненты края, а у листа Мебиуса -- одна:)

Засчитано :)

[Munin]

alcoholist в сообщении #558996 писал(а):

если уж и искать формальную аналогию, то двойственный оператор $\partial$ должен действовать из $\Lambda^{k+1}TM$ в $\Lambda^kTM$

А для непривыкшего к обозначениям, подскажите, как это читается?

alcoholist в сообщении #558996 писал(а):

Если рассматривать кольцо и лист Мебиуса с краем, то у них разные группы $H_2(M,\partial M)$

Точно! Я идиот!