Дифференциальные формы

[alcoholist]

1) частные производные записываются так: $\frac{\partial f}{\partial x^i}$

2) $|x|=\sqrt{(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2}$

[Aliara]

alcoholist в сообщении #557820 писал(а):

1) частные производные записываются так: $\frac{\partial f}{\partial x^i}$

В числителе правильно записала, а в знаменателе забыла...

$$\begin{vmatrix} \frac{\partial f}{\partial x^1} & \frac{\partial f}{\partial x^2} \\ \frac{\partial g}{\partial x^1} & \frac{\partial g}{\partial x^2} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{2x^1}{1+{|x|}^2} & \frac{2x^2}{1+{|x|}^2} \\ \frac{\cos{|x|}x^1}{|x|} & \frac{\cos{|x|}x^2}{|x|} \\ \end{vmatrix}=0$$

Насколько я понимаю, два других определителя такие же. То есть в любой точке форма является нулем.
Я неправильно посчитала?)

[alcoholist]

Aliara в сообщении #558231 писал(а):

Я неправильно посчитала?

посчитала правильно, дело в том, что $dg=Fdf$ для некоторой функции $F$. Единственно что тут может быть заковычным -- то, что $dg$ не определена в начале координат.

[Aliara]

То есть, если не брать в расчет, что $dg$ в начале координат не определена, то, формально, $df \wedge dg = 0dx^1 \wedge dx^2+ 0dx^2 \wedge dx^3+ 0dx^1 \wedge dx^3$?

Верно ли решено это?
Форму $\omega=df$ где $f(x)=(x^1)+(x^2)^2+\cdots +(x^n)^n$ записать в виде комбинации форм $dx^1, \ldots , dx^n $ и найти дифференциал формы.

$$\omega=dx^1+2x^2dx^2+\cdots+n(x^n)^{n-1}dx^n$$

$$d\omega=dx^1$$

Найти внешний дифференциал формы $\frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}$ в области ее определения.

$$P(x,y)=\frac{ydx}{x^2+y^2}, Q(x,y)=-\frac{xdy}{x^2+y^2}$$

Тогда

$$d\omega(x,y)=(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})(x,y) dx \wedge dy=0$$

(Оффтоп)

Я, полагаю, уже замучила простенькими вопросами... Но, к сожалению, хотелось бы с этим всем разобраться, а теория как-то легче идет вместе с практикой.

[alcoholist]

Aliara в сообщении #558345 писал(а):

То есть, если не брать в расчет, что $dg$ в начале координат не определена, то, формально, $df \wedge dg = 0dx^1 \wedge dx^2+ 0dx^2 \wedge dx^3+ 0dx^1 \wedge dx^3$?

Ну да. На области определения форма -- нулевая

Aliara в сообщении #558345 писал(а):

$$\omega=dx^1+2x^2dx^2+\cdots+n(x^n)^{n-1}dx^n$$

$$d\omega=dx^1$$

Как вторая формула следует из первой

Ведь $d\omega=d(df)=d^2f=?$

-- Пн апр 09, 2012 18:45:59 --

Aliara в сообщении #558345 писал(а):

Найти внешний дифференциал формы $\frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}$ в области ее определения

а эту форму надо запомнить! И помнить, что в полярных координатах это просто $-d\varphi$

[Aliara]

alcoholist в сообщении #558423 писал(а):

Как вторая формула следует из первой

Ведь $d\omega=d(df)=d^2f=?$

Я, честно говоря, запуталась.
С одной стороны, если рассмотреть, например, только два слагаемых $g=2x^2dx^2+3(x^3)^2dx^3$
и обозначить $2x^2=p(x^2,x^3), 3(x^3)^2=q(x^2,x^3)$, то

$$dg=dp \wedge dx^2+dq \wedge dx^3=$$

$$=(\frac{\partial q}{\partial x^2}-\frac{\partial p}{\partial x^3})(x^2,x^3)dx^2 \wedge x^3=0$$

Тоже самое получается и для $n$ слагаемых. Но, почему-то мне кажется, что этот путь неверен.

alcoholist в сообщении #558423 писал(а):

а эту форму надо запомнить! И помнить, что в полярных координатах это просто $-d\varphi$

Запомню, тем более что впереди задача о замене переменных...
Но дифференциал найден верно?

[alcoholist]

Aliara в сообщении #558618 писал(а):

Я, честно говоря, запуталась

как у Вас получилось $d\omega=dx^1$, поделитесь

[Aliara]

alcoholist в сообщении #558644 писал(а):

Aliara в сообщении #558618 писал(а):

Я, честно говоря, запуталась

как у Вас получилось $d\omega=dx^1$, поделитесь

Я посчитала, что со второго слагаемого при нахождении дифференциала они обращаются в нуль.А с первым слагаемым у меня было несколько предположений, но восстановить ход рассуждений для этого решения сейчас уже вряд ли смогу

[alcoholist]

Aliara в сообщении #558663 писал(а):

Я посчитала, что со второго слагаемого при нахождении дифференциала они обращаются в нуль.А с первым слагаемым у меня было несколько предположений, но восстановить ход рассуждений для этого решения сейчас уже вряд ли смогу

а Вы в курсе, что $dd=0$ всегда?

[Munin]

Перечитал всё это по Постникову, составил для себя конспектик обозначений. Всё-таки некрасиво, когда смешаны две системы:
- в обозначениях типа Лейбница буквы $d$ и $\partial$ считаются "вводящими размерность бесконечно малой величины", и поэтому должны быть "скомпенсированы" (например, встречаться в числителе в той же степени, что и в знаменателе).
- в "компактных" обозначениях буквы $d,\partial,D$ аналогичны $\nabla,$ и вводят просто новую степень дифференцирования, и не должны быть скомпенсированы.

А в науке о дифформах, получается, используется рядом и то и другое: для базисных векторов обозначение $\tfrac{\partial}{\partial x^i},$ для базисных ковекторов $dx^i.$ Неудобно. Может, если нельзя отказаться от второго (а я и не против), можно улучшить первое, например, $\partial_i$?

И ещё. В индексных обозначениях тензоров удобно выражать свёртку любого тензора с любым по любому индексу или набору индексов. А в безындексных есть только свёртка первого индекса дифформы с вектором: $X\mathop{\lrcorner}\omega.$ А в случае расслоений ещё индексы разных типов нужны... для этого обозначения есть? Где про них почитать?

-- 10.04.2012 18:45:42 --

И ещё недоумение по обозначениям. Я так понимаю, что взятие внешней производной от дифформы, $d\omega,$ есть в точности взятие кограницы от коцепи. Но в таком случае, необходима и операция взятия границы от цепи, $\partial X,$ чтобы перейти от вектора к соответствующему ему оператору дифференцирования. А вместо этого они считаются тождественными. Нет, повод-то для этого есть, но всё-таки какая-то inconsistency.

[g______d]

Понятно желание, имея когомологии де Рама, построить двойственную теорию гомологий, взяв за основу двойственный к формам объект --- векторные поля (на самом деле, поскольку в теории должны быть формы всех степеней, поля тоже надо брать поливекторными). К сожалению, двойственность бывает разной. Формы при отображении многообразий отображаются в обратную сторону, а векторные поля --- никак не отображаются :). А поведение при отображениях --- одно из важных свойств теории гомологий (и даже является одной из аксиом Стинрода-Эйленберга).

-- 10.04.2012, 20:20 --

Есть теория сингулярных гомологий, про которую Вы, скорее всего, слышали. Дифференциальные формы являются двойственными к линейным комбинациям симплексов соответствующей размерности (т. к. форму можно интегрировать по симплексу и получить число, инвариантное относительно замен координат). Но это двойственность над полем скаляров $\mathbb R$ (ну или над $\mathbb C$). А векторные поля двойственны к формам над кольцом $C^{\infty}(M)$ бесконечно гладких функций. Подозреваю, причина в этом.

[Munin]

g______d в сообщении #558773 писал(а):

Понятно желание, имея когомологии де Рама, построить двойственную теорию гомологий, взяв за основу двойственный к формам объект --- векторные поля (на самом деле, поскольку в теории должны быть формы всех степеней, поля тоже надо брать поливекторными). К сожалению, двойственность бывает разной. Формы при отображении многообразий отображаются в обратную сторону, а векторные поля --- никак не отображаются :).

У меня в голове два варианта:
1) вектор есть на самом деле просто путь (1-мерная цепь) в пределе нулевой длины.
2) вектор лежит в касательном пространстве, и все $k$-мерные цепи - тоже в нём же / в них же (тензорных степенях?). Скалярная функция естественно продолжается, чтобы иметь в касательном пространстве тот же градиент, что и в точке.
Если оба хромают, объясните, чем.

Ещё надо разобраться в аналогиях между расслоениями и накрытиями. Где бы коротенько про это прочитать? Или, может, тоже сами на пальцах объясните?

g______d в сообщении #558773 писал(а):

Есть теория сингулярных гомологий, про которую Вы, скорее всего, слышали.

Да, и на ней свои аналогии и основываю. От того, что интеграл есть произведение цепи на коцепь, пришёл в необычайный восторг.

g______d в сообщении #558773 писал(а):

Но это двойственность над полем скаляров $\mathbb R$ (ну или над $\mathbb C$). А векторные поля двойственны к формам над кольцом $C^{\infty}(M)$ бесконечно гладких функций. Подозреваю, причина в этом.

Ну это-то понятно. К формам двойственны, как цепи к коцепям, на самом деле, не векторные поля, а множества интегрирования - $k$-мерные (кусочно?) гладкие многообразия (не обязательно связные, и вообще формальные суммы таких многообразий с коэффициентами в поле), так что интеграл от $k$-мерной формы по $k$-мерному многообразию есть число. Так, чтобы смысл теоремы Стокса был какой надо. Но векторное поле - как много-много векторов - можно воспринимать как много-много таких цепей.

[g______d]

Если коротко, то накрытие --- это локально тривиальное расслоение, слой которого дискретен.

Munin в сообщении #558825 писал(а):

У меня в голове два варианта:
1) вектор есть на самом деле просто путь (1-мерная цепь) в пределе нулевой длины.
2) вектор лежит в касательном пространстве, и все $k$-мерные цепи - тоже в нём же / в них же (тензорных степенях?). Скалярная функция естественно продолжается, чтобы иметь в касательном пространстве тот же градиент, что и в точке.
Если оба хромают, объясните, чем.

Не знаю, на этот ли вопрос я сейчас отвечу.

Я не уверен, что есть разумные понимания вектора в духе пункта 1. Кроме того, рассматривать один вектор --- без шансов, надо рассматривать векторные поля.

Проблема в том, что если есть отображение многообразий, то ему не соответствует отображение векторных полей ни в ту, ни в другую сторону (несмотря на то, что дифференциал в точку отображает вектор над точкой в вектор над точкой в образе). А для дифференциальных форм оно есть.

-- 10.04.2012, 23:56 --

На самом деле я думаю, что можно придумать какую-то теорию гомологий, в которой фигурируют векторные поля, но она будет довольно сложной.

-- 11.04.2012, 00:07 --

Munin в сообщении #558825 писал(а):

Но векторное поле - как много-много векторов - можно воспринимать как много-много таких цепей.

Это за гранью моего понимания :)

Я могу понять, что векторное поле --- это сечение касательного расслоение, т. е. подмногообразие в касательном расслоении с некоторыми свойствами. Его можно триангулировать, получиться цепь (если база компактна, например). Откуда берутся много цепей, я не очень понимаю. Или Вы просто интерпретируете вектор как отрезок в касательном пространстве?

[Munin]

g______d в сообщении #558831 писал(а):

Если коротко, то накрытие --- это локально тривиальное расслоение, слой которого дискретен.

А понятия накрытий и расслоений с непрерывными слоями как-то друг другу соответствуют?

g______d в сообщении #558831 писал(а):

Проблема в том, что если есть отображение многообразий, то ему не соответствует отображение векторных полей ни в ту, ни в другую сторону (несмотря на то, что дифференциал в точку отображает вектор над точкой в вектор над точкой в образе). А для дифференциальных форм оно есть.

Хм, и даже для римановых многообразий?

g______d в сообщении #558831 писал(а):

На самом деле я думаю, что можно придумать какую-то теорию гомологий, в которой фигурируют векторные поля, но она будет довольно сложной.

В смысле, долго конструируемой, или в смысле, неинтуитивной? Меня бы только второе смущало.

Раз пошла такая пьянка, а (ко)гомологии расслоений, аналогичные конструкции де Рама, есть? И как называются?

[g______d]

Munin в сообщении #558839 писал(а):

А понятия накрытий и расслоений с непрерывными слоями как-то друг другу соответствуют?

Не знаю. Думаю, что нет. Какие-то аналогии, возможно, есть, но надо спрашивать более конкретно.

Ну вот разве что если Вы посмотрите общее определение расслоения (не обязательно локально тривиального), то там будет какое-то свойство локального продолжения сечений. В случае накрытия продолжение единственно, а в случае расслоения с непрерывным слоем --- нет.

Более точно пусть топологи отвечают, которые здесь пробегали :)

Munin в сообщении #558839 писал(а):

Хм, и даже для римановых многообразий?

Для римановых многообразий без разницы, форма у нас или векторное поле. Поэтому для них есть.

Munin в сообщении #558839 писал(а):

Раз пошла такая пьянка, а (ко)гомологии расслоений, аналогичные конструкции де Рама, есть? И как называются?

Бывают когомологии де Рама со значениями в расслоении. Там нужна еще связность. Но это я тоже не очень знаю.

Munin в сообщении #558839 писал(а):

В смысле, долго конструируемой, или в смысле, неинтуитивной? Меня бы только второе смущало.

Интуитивной точно нет :)