Модель СТО.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #529181 писал(а):

Евклидово пространство - линейное пространство над полем действительных чисел, со скалярным произведением.

Есть две серии пространств в математике. Одни из них отличаются "наличием начала отсчёта", другие - его отсутствием. В первых объекты - что-то типа векторов, их можно складывать, умножать на число. Во вторых объекты - что-то типа точек. Между точками можно провести вектор, и его свойства будут аналогичны разности между числами. То есть когда мы берём пространство второй серии, из него можно сделать пространство первой серии, поэтому они и образуют две параллельные серии. Например, аффинному пространству соответствует линейное (= векторное). Оно служит аффинному и пространством конечных разностей точек, и бесконечно малых разностей точек, и конечных параллельных переносов, и бесконечно малых. Слову "евклидово пространство" в этом смысле не повезло, потому что оно одновременно используется и в смысле пространства второй серии, и в смысле пространства первой серии. Если надо быть точным, то пространство второй серии называется "евклидовым (точечным) пространством", а пространство первой серии - "евклидовым линейным пространством / евклидовым линеалом", или даже проще, "(вещественным) пространством со скалярным произведением".

В контексте с пространствами Римана, Лобачевского и сферическим, очевидно, подразумевается именно евклидово точечное пространство. А ваше определение даёт евклидово векторное пространство.

(Оффтоп)

Если выйти за пределы линейных пространств в дифференциальную геометрию, параллелизм распадается. Одному "пространству второй серии" - многообразию - соответствуют разные конструкции: касательное пространство "бесконечно малых разностей точек", пространство путей "конечных разностей точек", группа диффеоморфизмов "конечных движений" (потому что отделить параллельные переносы от остальных движений становится невозможным), группа бесконечно малых диффеоморфизмов.

[EvilPhysicist]

2Munin

(Оффтоп)

Вы хотите сказать, что "пространства первой серии", это что-то типо линейных пространств, а "пространства второй серии" это что-то типо многообразий?
В том смысле, что над первыми определены бинарные операции, а вторых рассматриваются как геометрические образы?

[Munin]

(Оффтоп)

EvilPhysicist в сообщении #529262 писал(а):

Вы хотите сказать, что "пространства первой серии", это что-то типо линейных пространств, а "пространства второй серии" это что-то типо многообразий?В том смысле, что над первыми определены бинарные операции, а вторых рассматриваются как геометрические образы?

И те и другие - геометрические образы. Но просто разные. Когда вы отметили на доске мелом точку, и назвали её "началом координат", у вас получается "пространство первой серии". Когда вы её стёрли - "пространство второй серии". Разумеется, элементы "пространств первой серии" тоже можно называть не векторами, а точками, просто это меньше отсылает к интуиции (зато формально точнее, все элементы любых пространств - точки).

Например, для "пространства первой серии" основным метрическим свойством является норма вектора. Её можно дефинировать для одного вектора самого по себе. А для "пространства второй серии" - расстояние между точками (метрика). Для его дефиниции нужно взять две точки. Точно так же и многие другие понятия выступают в этих "пространствах двух серий" в разных версиях. Вообще, "пространства второй серии" в не слишком математических курсах линейной алгебры и аналитической геометрии упоминаются слишком бегло, если упоминаются вообще. Но в школе это основной предмет изучения геометрии.

[EvilPhysicist]

(Оффтоп)

Ну, хотя бы что-то вроде "официальных" названий у этих пространств есть? И рассматривается это в каком-нибудь учебнике ?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

EvilPhysicist
Вещественное линейное пространство и аффинное пространство над $\mathbb R$. Например, "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры" П.С. Александрова.

[Munin]

(Оффтоп)

EvilPhysicist в сообщении #529297 писал(а):

Ну, хотя бы что-то вроде "официальных" названий у этих пространств есть? И рассматривается это в каком-нибудь учебнике ?

Официальные названия есть - у каждого пространства по отдельности.

В учебниках они рассматриваются, наверное, во множестве. Я опираюсь, когда нужно серьёзное изложение, на Постникова "Лекции по геометрии", здесь можно взять сразу "Семестр 1. Аналитическая геометрия". У Постникова линейное пространство называется "линеал".

[С.Мальцев]

С.Мальцев в сообщении #528989 писал(а):

для световой волны всё то же самое можно выразить и несколько иначе – используя осевую симметрию, располагаем секущую сферу плоскость таким образом, чтобы траектории движения ИСО' и фотона совпадали с данной плоскостью. Тогда:

$$ \cos\gamma_0=\frac{x}{\sqrt{x^2+ y^2}},\,\, \sin\gamma_0=\frac{y}{\sqrt{x^2+ y^2}}$$

и

$$ \cos\alpha_1=\frac{x_1'}{\sqrt{x_1'^2+ y_1'^2}},\,\, \sin\alpha_1=\frac{y_1'}{\sqrt{x_1'^2+ y_1'^2}}$$

В таком случае:

$$t_1'=t\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}},\,\, x_1'= \frac {ct(c\cos\gamma_0-v) \sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}}{c-v\cos\gamma_0},\,\, y_1'= \frac {t\sin\gamma_0(c^2-v^2)}{c-v\cos\gamma_0} $$

и

$$t=\frac {t_1'}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}},\,\, x= \frac {ct_1' (c\cos\alpha_1+v)}{(c+v\cos\alpha_1) \sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}},\,\, y= \frac {c^2t_1'\sin\alpha_1}{c+v\cos\alpha_1}$$

Теперь несколько усовершенствуем вышеупомянутые формулы для того, чтобы иметь возможность рассмотрения движения частиц при досветовых скоростях. Представим, что вспышка света происходит в момент распада (условной) «материнской» частицы, в одном случае – покоящейся относительно нештрихованной ИСО, в другом случае – покоящейся относительно ИСО', движущейся со скоростью $\tfrac v c=0{,}8$ относительно покоящейся ИСО.

В результате распада «дочерние» частицы (условные частицы с равными массами) движутся относительно покоящейся ИСО со скоростью $u$, а относительно движущейся ИСО' со скоростью $w$. Для графического отображения зададим скорости движения частиц при распаде в собственных ИСО $ \tfrac u c=0{,}8,\,\, \tfrac w c=0{,}8$ (на рисунках слева) и $\tfrac u c=0{,}5,\,\, \tfrac w c=0{,}5$ (на рисунках справа).

Итак, происходит распад частицы, покоящейся в Евклидовом пространстве нештрихованной ИСО в соответствии с формулой $ut =\sqrt{x^2+y^2}. На рисунках отображены траектории отдельных частиц, движущихся в течение $t=\tfrac{10}c$ по часам наблюдателей покоящейся ИСО, в различных направлениях от 0° до 360° с шагом 15° – $x=ut\cos\gamma_0,\,\, y=ut\sin\gamma_0$, а так же – изотропное распространение световой волны (желтая линия окружности):

Для перехода от Евклидова пространства покоящейся ИСО к Лоренцеву пространству движущейся ИСО':

$$t'=\frac {t-\tfrac{vu\cos\gamma_0}{c^2}}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}},\,\, x'=\frac {ut\cos\gamma_0-vt }{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}},\,\, y'=ut\sin\gamma_0$$

Для перехода от Евклидова пространства покоящейся ИСО к квази-Евклидову пространству движущейся ИСО':

$$t_1'=t\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}},\,\, x_1'=\frac{ (ut\cos\gamma_0-vt)\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}}{1-\tfrac{vu\cos\gamma_0}{c^2}},\,\, y_1'=\frac{ut\cos\gamma_0\left(1-\tfrac{v^2}{c^2}\right)}{1-\tfrac{vu\cos\gamma_0}{c^2}}$$

Отсюда, учитывая, что:

$$w=\frac{\sqrt{x_1'^2+y_1'^2}}{t_1'},\,\, \cos\alpha_1=\frac{x_1'}{\sqrt{x_1'^2+ y_1'^2}}$$

несложно вывести релятивистскую формулу сложения скоростей для общего случая движения частиц под различными углами к направлению движения ИСО':

$$w=\frac{\sqrt{v^2+u^2-2vu\cos\gamma_0-\left(\tfrac{vu\sin\gamma_0}c\right)^2}}{1-\tfrac{vu\cos\gamma_0}{c^2}}$$

(где $u$ – скорость движения частицы относительно покоящейся ИСО, $w$ – скорость движения частицы относительно движущейся ИСО'), а так же формулу для расчета угла движения частицы относительно направления движения ИСО':

$$\cos\alpha_1=\frac {u\cos\gamma_0-v} {\sqrt{v^2+u^2-2vu\cos\gamma_0-\left(\tfrac{vu\sin\gamma_0}c\right)^2}}$$

Теперь рассмотрим движение частиц, образовавшихся при распаде частицы, покоившейся в начале координат ИСО'. С точки зрения сопутствующих наблюдателей, движение частиц изотропно $wt_1'=\sqrt{x_1'^2+y_1'^2}$ относительно их собственной ИСО':

Для перехода от квази-Евклидова к Лоренцеву пространству движущейся ИСО':

$$t'=\frac {t_1'}{1+\tfrac{vw\cos\alpha_1}{c^2}},\,\, x'= \frac { w t_1'\cos\alpha_1}{1+ \tfrac{vw\cos\alpha_1}{c^2}},\,\, y'= \frac { w t_1'\sin\alpha_1}{1+ \tfrac{vw\cos\alpha_1}{c^2}}$$

Для перехода от квази-Евклидова пространства движущейся ИСО' к Евклидову пространству покоящейся ИСО:

$$ t=\frac{t_1'}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}},\,\, x=\frac{wt_1'\cos\alpha_1+vt_1'}{ \left(1+\tfrac{vw\cos\alpha_1}{c^2}\right)\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}},\,\, y=\frac{w t_1'\sin\alpha_1}{1+\tfrac{vw\cos\alpha_1}{c^2}}$$

Отсюда, учитывая, что:

$$u=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}t,\,\, \cos\gamma_0=\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}$$

несложно вывести релятивистскую формулу сложения скоростей для общего случая движения частиц под различными углами к направлению движения ИСО':

$$u=\frac {\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha_1-\left(\tfrac{vw\sin\alpha_1}c\right)^2}}{1+\tfrac{vw\cos\alpha_1}{c^2}}$$

а так же формулу для расчета угла движения частицы относительно направления движения ИСО':

$$\cos\gamma_0=\frac{w\cos\alpha_1+v} {\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\alpha_1-\left(\tfrac{vw\sin\alpha_1}c\right)^2}}$$

Если изначально задать $u=c,\,\, w=c$, то получим точно такие же отображения движения частиц, как на рисунках, полученных с помощью преобразований координат, представленных здесь. Если же для преобразований координат задать $ut =\sqrt{x^2+y^2} и $wt_1'=\sqrt{x_1'^2+y_1'^2}$, то получим те же отображения движения частиц, которые представлены в данном посте.

[EvilPhysicist]

Опять та же песня

EvilPhysicist в сообщении #529181 писал(а):

Тем не менее, С.Мальцев, дайте определение линейного пространства, скалярного произведения и $n$ мерного многообразия.

Ответьте, пожалуйста.

[Munin]

Мдя, и насколько всё проще в четырёхмерном виде...

[С.Мальцев]

Someone в сообщении #522272 писал(а):

Давайте Вы проделаете простое математическое упражнение. Возьмём уравнение фронта световой волны от точечной вспышки в той ИСО (будем называть её неподвижной), где свет распространяется изотропно: $x^2+y^2+z^2=(ct)^2$.

Взяли:

Someone в сообщении #522272 писал(а):

Сделаем преобразования Лоренца, чтобы перейти в движущуюся ИСО: $t=\frac{t'+\frac v{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, $x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, $y=y'$, $z=z'$.

Некорректно поставлено условие. Для перехода от покоящейся ИСО к движущейся ИСО', нужно применить «прямые» формулы ПЛ:

$$t'=\frac{t-\tfrac {vx} {c^2} }{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}},\,\, x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\,\, y'=y,\,\, z'=0$$

Применили:

Someone в сообщении #522272 писал(а):

И найдём уравнение фронта той же волны в движущейся ИСО.

Находим:

$$(ct')^2=x'^2+y'^2+z'^2,\,\, \cos\alpha_1=\frac{c\cos\gamma_0-v}{c-v\cos\gamma_0}$$

Someone в сообщении #522272 писал(а):

И увидим, следует ли из преобразований Лоренца, что свет в движущейся ИСО распространяется анизотропно.

И убеждаемся в том, что да, и с точки зрения сопутствующих наблюдателей ИСО', свет относительно ИСО' распространяется анизотропно. Несмотря на равную регистрируемую скорость света $c_1'=c$, наблюдаемое движение отдельных фотонов различно в различных направлениях. Таким образом, в любом случае, распространение света в движущейся ИСО' – анизотропно.

[EvilPhysicist]

С.Мальцев, ответьте

EvilPhysicist в сообщении #530388 писал(а):

дайте определение линейного пространства, скалярного произведения и $n$ мерного многообразия.

[Someone]

С.Мальцев в сообщении #530459 писал(а):

Взяли:

С.Мальцев в сообщении #530459 писал(а):

Некорректно поставлено условие. Для перехода от покоящейся ИСО к движущейся ИСО', нужно применить «прямые» формулы ПЛ:

В данном случае как раз удобнее "обратные".

С.Мальцев в сообщении #530459 писал(а):

Применили:

Я Вас однажды спрашивал, что за эллипсы Вы рисуете и что видят неподвижные наблюдатели, находящиеся в точках этого эллипса. Увидят ли они одновременно проходящий в этом месте фронт светового сигнала? Вы так и не пожелали ответить.

С.Мальцев в сообщении #530459 писал(а):

Находим:

С.Мальцев явно продолжает придуриваться и делает не то, о чём его просят: вместо подстановки преобразований Лоренца в уравнение распространения света рисует тьму картинок. А формулы внезапно появляются в готовом виде. Поэтому свою задачу я решу сам.

Someone в сообщении #529032 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #528989 писал(а):

Есть такое дело – туплю помаленьку. Это вот эти формулы от меня ув. Someone требовал?

Нет, не эти. Я вижу, Вы продолжаете придуриваться.

Someone в сообщении #522272 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #522211 писал(а):

Чудес-то не бывает. И, если в одной из ИСО свет распространяется изотропно, то, с точки зрения здравого смысла, во всех прочих ИСО распространение света должно быть анизотропным, что наглядно и демонстрируют преобразования Лоренца.

Давайте Вы проделаете простое математическое упражнение. Возьмём уравнение фронта световой волны от точечной вспышки в той ИСО (будем называть её неподвижной), где свет распространяется изотропно: $x^2+y^2+z^2=(ct)^2$. Сделаем преобразования Лоренца, чтобы перейти в движущуюся ИСО: $t=\frac{t'+\frac v{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, $x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, $y=y'$, $z=z'$. И найдём уравнение фронта той же волны в движущейся ИСО. И увидим, следует ли из преобразований Лоренца, что свет в движущейся ИСО распространяется анизотропно.

Мне для решения этой задачи нужно написать две формулы, причём, вторая из них – это уравнение распространения света в движущейся системе. Если сделать преобразования подробнее, получится немного больше, но если не извращаться, дотянуть до Вашего объёма не удастся.

Вычисления я сделаю очень подробно и с объяснениями, чтобы получилось "посолиднее".
Подставляя в уравнение

$$x^2+y^2+z^2=(ct)^2$$

выражения для $t,x,y,z$ из преобразований Лоренца, получим

$$\left(\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)^2+y'^2+z'^2=\left(c\cdot\frac{t'+\frac v{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)^2.$$

Раскрываем скобки:

$$\frac{x'^2+2vx't'+v^2t'^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}+y'^2+z'^2=\frac{c^2t'^2+2vx't'+\frac{v^2}{c^2}x'^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}.$$

Члены $2vx't'$ в левой и правой части сокращаются. Член $v^2t'^2$ переносим в правую часть, член $\frac{v^2}{c^2}x'^2$ – в левую. Получается

$$\frac{x'^2-\frac{v^2}{c^2}x'^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}+y'^2+z'^2=\frac{c^2t'^2-v^2t'^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}.$$

Далее в числителях дробей выносим множители за скобку и сокращаем дроби:

$$\frac{x'^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{1-\frac{v^2}{c^2}}+y'^2+z'^2=\frac{c^2t'^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{1-\frac{v^2}{c^2}},$$

$$x'^2+y'^2+z'^2=(ct')^2.$$

Таким образом, уравнение распространения света в движущейся инерциальной системе отсчёта имеет точно такой же вид, как и в неподвижной.
Поскольку $t$ и $t'$ – время, измеряемое стандартными часами, неподвижными в соответствующих системах отсчёта, а $x,y,z$ и $x',y',z'$ – координаты, измеряемые стандартными линейками, неподвижными в соответствующих системах отсчёта, приходится сделать вывод, прямо противоположный выводу С.Мальцева: преобразования Лоренца "демонстрируют", что свет в движущейся инерциальной системе отсчёта распространяется так же изотропно, как и в неподвижной.

С.Мальцев в сообщении #530459 писал(а):

Таким образом, в любом случае, распространение света в движущейся ИСО' – анизотропно.

Я хочу подчеркнуть, что речь идёт именно об изотропности распространения света. Не о его яркости или частоте, а именно о скорости и только о скорости. Яркость и частота определяются в момент излучения, и если источник, изотропный в одной ИСО, становится анизотропным в другой (из-за аберрации и эффекта Доплера), то это уже другой вопрос, не имеющий отношения к собственно распространению. Задача и формулировалась таким образом, что в ней речь шла только о скорости распространения света в разных направлениях.

Также просто разобраться и с аберрацией. Рассматриваем те же системы отсчёта, что и в предыдущем случае. Пусть световой сигнал распространяется в неподвижной системе отсчёта в плоскости $Oxy$ под углом $\alpha$ к оси $Ox$ и в момент $t=0$ проходит через начало координат, а в движущейся системе угол между направлением распространения сигнала и осью $O'x'$ обозначим $\alpha'$.
Уравнения движения светового сигнала в неподвижной системе отсчёта имеют вид $x=ct\cos\alpha$, $y=ct\sin\alpha$, $z=0$, а в движущейся – $x'=ct\cos\alpha'$, $y'=ct\sin\alpha'$, $z'=0$.
Подставляя в уравнение $x'=ct'\cos\alpha'$ выражения $x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, $t'=\frac{t-\frac v{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, а затем $x=ct\cos\alpha$, получим

$$\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=c\cos\alpha'\cdot\frac{t-\frac v{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$$

$$ct\cos\alpha-vt=\left(t-\frac vc\cdot t\cos\alpha\right)c\cos\alpha',$$

$$\cos\alpha-\frac vc=\left(1-\frac vc\cos\alpha\right)\cos\alpha',$$

$$\cos\alpha'=\frac{\cos\alpha-\frac vc}{1-\frac vc\cos\alpha}.$$

Аналогично можно получить формулы

$$\sin\alpha'=\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\sin\alpha}{1-\frac vc\cos\alpha},$$

$$\tg\alpha'=\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\sin\alpha}{\cos\alpha-\frac vc}.$$

[Joker_vD]

(Оффтоп)

"Прямые" формулы убили вконец. Всю жизнь преобразования "от старого к новому" записывались как $\text{старое}=f(\text{новое})$. Именно для того, чтобы можно было сразу подставить в прочие формулы. Это, по-моему, любой человек просекает сам, когда пытается научиться делать замены. И поэтому возникает нехорошее чувство, что тов. С. Мальцев в жизни никогда замену переменных толком не делал...

[Someone]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #530488 писал(а):

С.Мальцев в жизни никогда замену переменных толком не делал

Очень похоже. Потому он и задачи-то решает через одно место.

[С.Мальцев]

EvilPhysicist в сообщении #530388 писал(а):

Опять та же песня

Это Вы о Лоренцеве пространстве?
Заранее прошу прощения, если в чем-то заблуждаюсь, т.к. мои рассуждения не на уровне знаний, а на уровне логических построений.
Основные понятия Римановой геометрии были изложены задолго до опубликования СТО. Вполне допускаю, что «кривизна» Риманова пространства как нельзя лучше вписалась в СТО в качестве «точечного» (спасибо ув. Munin-у, растолковал что к чему) пространства. Тем не менее, крайне маловероятно, что до создания СТО могло быть разработано линейное пространство с асинхронным ходом часов, благодаря которому, одна и та же регистрируемая скорость в различных направлениях имеет различные значения при синхронном ходе часов. Потому и позволил себе введение нового термина.

EvilPhysicist в сообщении #529181 писал(а):

Тем не менее, С.Мальцев, дайте определение линейного пространства, скалярного произведения и $n$ мерного многообразия.

Уважаемый Munin здесь уже дал максимально подробные определения.
Насколько понимаю – в «точечном» (статичном) пространстве рассматриваются геометрические фигуры, их проекции, сечения и т.д., а в линейном (динамичном) пространстве рассматривается движение объектов, их скорости, направление движения относительно друг друга, импульсы и прочее.
Так что, в моем представлении, Лоренцево пространство явно относится к линейному виду пространств.