Гравитация магнитного поля

[dinaconst]

Munin в сообщении #525157 писал(а):

dinaconst в сообщении #525136 писал(а):

ОТО, как теория, допускает яблоку свободно падать, а ветке напрягаться, чтобы удержать его от падения, именно и только искривлением пространства-времени.

Нет. Именно и только буковками $g_{\mu\nu},$ $\Gamma^\lambda_{\mu\nu},$ $R^\kappa{}_{\lambda\mu\nu},$ к которым, как вы уже сказали, у вас вопросов нет. Буковки эти определяются соотношениями между собой и между $D_\mu,$ и уравнением $R_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R=8\pi\kappa T_{\mu\nu}.$ И всё. Никаких слов про "искривление пространства-времени" эти буковки не содержат.

Никакие буковки слов не содержат, в противоположность обратному. Согласна.
Но Вы окружили "буковки" тремя с лишним десятком своих слов. Слов, наделенных Вами, так или иначе, каким-то отношением к "буковкам". И среди этих ваших слов я вижу слова "искривление пространства-времени".(!?)

[dinaconst]

epros в сообщении #525176 писал(а):

Разумеется координаты и СО - это не совсем синонимы. Однако некоторые координаты определяют СО, оным координатам сопутствующую.

Пробую присоединиться. Если я выбираю такую СК, в которой мои пространственные координаты не меняются, то, тем самым, я наделяю себя качествами так называемого тела отсчета той СО, которой выбранная СК соответствует или, как Вы выражаетесь, сопутствует. Так?
(Очень хочется, чтобы Вы согласились!)

epros в сообщении #525176 писал(а):

Munin в сообщении #521683 писал(а):

- Координаты Шварцшильда могут быть интерпретированы как точка зрения бесконечно удалённого наблюдателя на всё пространство.

Интерпретированы быть могут, однако чтобы таковая интерпретация была однозначной, нужно слишком многие вещи предварительно оговаривать.

Тут не пробую, а категорически присоединяюсь.

epros в сообщении #525176 писал(а):

-- Вт янв 10, 2012 12:44:49 --

dinaconst в сообщении #522457 писал(а):

Цитирую:
"В метрической формулировке ОТО за потенциал принимают иногда метрический тензор, но делают это, в сущности, чисто условно.
... согласно основной идее, реализованной в метрической формулировке ОТО, никакого гравитационного поля и гравитационных сил вообще нет, есть лишь искривленное пространство, искривление которого обусловлено распределением и движением масс, а движение пробной частицы вблизи таких масс - движение по инерции в искривленном пространстве."

Понятие "сил" старее ОТО и вряд ли ОТО следует интерпретировать как теорию, оное понятие отменяющую.

Конечно, конечно, конечно! И я нигде всеобщую отмену понятия силы не "проповедовала". Извиняюсь, если такое могло показаться из каких-то моих слов.

epros в сообщении #525176 писал(а):

Хотя да, есть такая точка зрения, что якобы гравитация нынче описывается не "силами" и исключительно одной только "геометрией пространства-времени".

Ваше "якобы" отмечает, как я понимаю, не полное ваше согласие с этой точкой зрения.
Но спасибо, что не приписываете ее (как некоторые тут) только моему "воспаленному воображению".

epros в сообщении #525176 писал(а):

Тем не менее, ньютоновский предел никто не отменял, да и привычка в данном пределе оперировать "силами тяготения" никуда не делась.

Конечно, конечно. Согласна. Но, при этом, выскажу следующее. На мой взгляд, так называемый "ньютоновский предел " в ОТО и ньютоновское тяготение, это, все-таки, не совсем одно и то же. Хотя, как-либо развивать это свое замечание, я совершенно не готова.

epros в сообщении #525176 писал(а):

Сам Эйнштейн, обосновывая свой принцип эквивалентности известным примером падающего лифта, говорил об устранении ничего иного, как сил тяготения. А раз понятие "сил тяготения" валидно в ньютоновском пределе, то логично это понятие сохранить и в общей теории, имея в виду только, что речь идёт не об инвариантной величине (в силу как раз того самого принципа эквивалентности).

Не в качестве принципиального несогласия, но еще раз. Вот так: 1) нет взаимодействия - нет сил, нет сил - нет взаимодействия, 2) в падающем "лифте" ( в локальной СО) нет "сил тяготения" - нет гравитационного взаимодействия. Есть ли какое-то еще, из известных взаимодействий, которое можно устранить простым переходом в соответствующую ИСО? Если ответ отрицательный, это означает, что гравитационное взаимодействие, по меньшей мере, уж очень кардинально отличается от других взаимодействий, устраняясь простым переходом в ИСО. Не проще ли принять теоретическую схему, в которой все эффекты ускоренного движения свободных пробных тел объяснены римановой геометрией пространства-времени, а гравитационного взаимодействия, просто не существует? В ОТО, на мой взгляд, как раз и реализован такой вариант.

epros в сообщении #525176 писал(а):

Так что моя точка зрения такова, что да, геометрическая интерпретация имеет место быть, но когда мы говорим о "пространстве" и о "времени" по отдельности (в рамках той или иной выбранной СО), вполне корректной является и традиционная интерпретация гравитации, как "сил", действующих на пробные тела.

Но, когда мы говорим о "пространстве" и о "времени" по отдельности, мы же выходим за рамки ОТО.
Тут, конечно, ничто не препятствует говорить на языке гравитационных сил.

epros в сообщении #525176 писал(а):

Касательно же того, что "за потенциал принимают иногда метрический тензор", хочу заметить, что это не совсем точно. Классическое понятие гравитационного потенциала можно ввести только в статическом поле. При этом, потенциалом оказывается величина $\frac{c^2}{2} \ln{g_{0 0}}$ - именно она соответствует классическому определению, согласно которому "силы" определяются градиентом "потенциала". Как видите, это не совсем метрический тензор. Хотя в каком-то более обобщённом смысле теории поля метрический тензор и можно считать тензорным "потенциалом" гравитационного поля.

Так Родичев и говорит, что, во-первых, это делается "иногда", а, во-вторых, "условно".

[dinaconst]

obar в сообщении #525348 писал(а):

При классическом расмотрении вопрос "геометрия или силы" есть сугубо вопрос трактовки, обусловленный личными предпочтениями. При переходе к квантовой теории ситуация меняется. На квантовом языке силовое взаимодействие обусловленно обменом квантов-переносчиков --- калибровочных бозонов. Судя по всему, гравитонов в природе нет. Многочисленные попытки квантования гравитации ни к чему хорошему не привели (и, как мне кажется, не приведут). Если это так, то силовое проявление гравитации имеет чисто геометрическую природу (и не обязанно квантоваться).

Хорошо, что Вы затронули квантовый аспект. Я, все не решалась. А этот аспект вносит существенный вклад в формирование этих самых "личных предпочтений". Но при всем, при том, не могу согласиться с "сугубо вопрос трактовки" при "классическом рассмотрении". Ведь, вот тут - "(и, как мне кажется, не приведут)" - ваше "кажется" наверняка должно иметь "классические" корни. Если бы у меня хватило энергии в разговоре с Munin коснуться квантовых нюансов, то я бы аналогию ваших двух последних фраз построила бы, примерно так: если эффекты гравитации имеют чисто геометрическую природу, то гравитация не обязана квантоваться и многочисленные попытки квантования гравитации ни к чему не приведут, мне кажется. А ваше "кажется" виснет в воздухе.

[epros]

Munin в сообщении #525329 писал(а):

"Точечные СО" бывают. Для их дефиниции достаточно взять касательное векторное пространство. Это я называю "локальной СО".

Каким же образом Ваше касательное векторное пространство определит вращение наблюдателя?

Munin в сообщении #525329 писал(а):

приходилось говорить про какие-то "бесконечно малые области", и сопровождать это размахиванием руками

Фокус в том, что бесконечная малость как раз никому особо не нужна, ибо реально приходится иметь дело с конечной малостью (или даже с не очень-то и малостью).

Munin в сообщении #525329 писал(а):

Но эти СО - неудобны тем, что их базисы неортонормированы.

Ба, какие проблемы? Ортонормируйте, и все дела. На самом деле, всё, что нужно от этого базиса - сопутствие линиям $x_{\alpha} = \operatorname{const}$.

Munin в сообщении #525329 писал(а):

Просто это довольно стандартный набор оговорок.

Неужели таки во всём и стандартный? И как же согласно этим оговоркам определяются "с точки зрения удалённого наблюдателя", например, расстояния в радиальном и в тангенциальном направлениях?

obar в сообщении #525348 писал(а):

Судя по всему, гравитонов в природе нет. Многочисленные попытки квантования гравитации ни к чему хорошему не привели (и, как мне кажется, не приведут). Если это так, то силовое проявление гравитации имеет чисто геометрическую природу (и не обязанно квантоваться).

Насколько я понимаю, гравитация квантоваться обязана по одной простой причине: Если бы она не квантовалась, то появилась бы возможность с помощью основанного на гравитационном излучении микроскопа преодолеть принцип неопределённости (т.е. разглядеть, где именно находится частица с заданным импульсом).

[epros]

dinaconst в сообщении #525533 писал(а):

Если я выбираю такую СК, в которой мои пространственные координаты не меняются, то, тем самым, я наделяю себя качествами так называемого тела отсчета той СО, которой выбранная СК соответствует или, как Вы выражаетесь, сопутствует. Так?
(Очень хочется, чтобы Вы согласились!)

Ну, в общем, да.

dinaconst в сообщении #525533 писал(а):

Есть ли какое-то еще, из известных взаимодействий, которое можно устранить простым переходом в соответствующую ИСО? Если ответ отрицательный, это означает, что гравитационное взаимодействие, по меньшей мере, уж очень кардинально отличается от других взаимодействий, устраняясь простым переходом в ИСО.

Да, именно так: гравитационное взаимодействие "кардинально отличается" именно в силу самого определения того, какое из взаимодействий следует считать "гравитационным". С другой стороны, есть такое мнение, что это отличие обусловлено нашими особенностями восприятия того, что такое "другие взаимодействия": мы считаем, что они описываются истинными скалярными/векторными/тензорными полями (т.е. не устранимыми выбором СО) только потому, что мы "не видим" дополнительных "свёрнутых" измерений. А вот если научиться описывать другие взаимодействия геометрией некоего $n$-мерного пространства, где $n > 4$, то и соответствующие поля можно будеть устранять соответствующей заменой координат.

dinaconst в сообщении #525533 писал(а):

Но, когда мы говорим о "пространстве" и о "времени" по отдельности, мы же выходим за рамки ОТО.
Тут, конечно, ничто не препятствует говорить на языке гравитационных сил.

По-моему, выбирая координаты, строго одна из которых является временнОй, мы вовсе не выходим за пределы ОТО. Геометрии пространства-времени, конечно, никто не отменяет, но и она не отменяет возможность оперировать понятием "сил гравитации". Дело в том, что реальные измерительные приборы как-то движутся в пространстве-времении и от этого зависят их показания. Т.е. непосредственные данные экспериментов оказываются привязанными к СО, а в конкретной СО понятие "сил гравитации" имеет смысл. В частности, оные непосредственно измеримы.

[obar]

Munin в сообщении #525430 писал(а):

вам задал вопрос, откуда у вас уверенность, что "она забыла". Будьте любезны ответить.

По той простой причине, что пока еще никому это сделать не удалось. Конечно, это не может рассматриваться как "доказательство". Но принципы КТП давно установлены и ее методы работали пока не коснулись квантования гравитации. И проблемы здесь не технического характера, а во внутренней противоречивости квантовой гравитации. Это означает, что гравитация по своей природе совершенно иная, чем другие нелинейные поля (типа Янга-Милса). Разумеется, это лишь мое личное мнение и я его никому не навязываю.

epros в сообщении #525552 писал(а):

Насколько я понимаю, гравитация квантоваться обязана по одной простой причине: Если бы она не квантовалась, то появилась бы возможность с помощью основанного на гравитационном излучении микроскопа преодолеть принцип неопределённости (т.е. разглядеть, где именно находится частица с заданным импульсом).

Вы что же считаете, что для классических волн нет "принципа неопределенности"? Откройте любой учебник по волновой оптике. Да и вообще, сама принципиальная возможность создания микроскопа на гравволнах выглядит сомнительной.

[epros]

obar в сообщении #525602 писал(а):

Вы что же считаете, что для классических волн нет "принципа неопределенности"?

Хм, я вижу, Вы меня не поняли. Разлядеть в микроскоп малые объекты мешает слишком большая длина волны. Выбирая более коротковолновое излучение, мы повышаем разрешение микроскопа, но при этом квант света оказывается несущим бОльшие энергию и импульс, а значит он начинает оказывать слишком большое воздействие на наблюдаемый объект (изменяет его импульс, в частности). Если свет (в данном случае - гравитационная волна) не квантуется, то можно взять очень коротковолновое излучение очень низкой интенсивности и рассмотреть всё в деталях, практически никак не повлияв на наблюдаемый объект.

obar в сообщении #525602 писал(а):

Да и вообще, сама принципиальная возможность создания микроскопа на гравволнах выглядит сомнительной.

Это технические сложности. Если гравитационную волну можно излучить и поглотить, значит в принципе можно и микроскоп сконструировать.

[obar]

epros в сообщении #525604 писал(а):

можно взять очень коротковолновое излучение очень низкой интенсивности и рассмотреть всё в деталях, практически никак не повлияв на наблюдаемый объект

Ограничения возникают не только от квантовых свойств волн, но и от квантовой природы частиц поглотителя и излучателя.
Если очень слабая волна поглощается частицей, то и изменение ее импульса будет малым. Чтобы определить направление поглощенной волны неопределенность импульса частицы должна быть меньше импульса волны. Но если у частицы поглотителя $\Delta p\rightarrow0$, то $\Delta x\rightarrow\infty$, т.е. зная точно направление прихода волны мы ничего не будем знать о точке, из которой эта волны была пущена, т.к. не сможем определить точку поглощения.

[Munin]

dinaconst в сообщении #525512 писал(а):

Но Вы окружили "буковки" тремя с лишним десятком своих слов.

Просто для удобства. Я мог бы всё записать буковками.

dinaconst в сообщении #525512 писал(а):

И среди этих ваших слов я вижу слова "искривление пространства-времени".(!?)

Эти слова вообще к буковкам не относятся, а есть цитата ваших слов.

dinaconst в сообщении #525533 писал(а):

На мой взгляд, так называемый "ньютоновский предел " в ОТО и ньютоновское тяготение, это, все-таки, не совсем одно и то же.

Да, и это общеизвестный факт. Ну и что?

dinaconst в сообщении #525533 писал(а):

нет взаимодействия - нет сил, нет сил - нет взаимодействия

Это неправильно. Понятие взаимодействия шире понятия силы, и намного. Взаимодействие - это любое слагаемое в действии, включающее в себя и степени свободы подсистемы $A,$ и степени свободы подсистемы $B,$ а сила - это только конкретно слагаемое вида $ejA$ в лагранжиане.

dinaconst в сообщении #525544 писал(а):

Если бы у меня хватило энергии в разговоре с Munin коснуться квантовых нюансов, то я бы аналогию ваших двух последних фраз построила бы, примерно так: если эффекты гравитации имеют чисто геометрическую природу, то гравитация не обязана квантоваться и многочисленные попытки квантования гравитации ни к чему не приведут, мне кажется.

Проблема в том, что чисто геометрическая природа не мешает квантованию.

[dinaconst]

epros в сообщении #525563 писал(а):

dinaconst в сообщении #525533 писал(а):

(Очень хочется, чтобы Вы согласились!)

Ну, в общем, да.

Спасибо. Я рада.

epros в сообщении #525563 писал(а):

dinaconst в сообщении #525533 писал(а):

Есть ли какое-то еще, из известных взаимодействий, которое можно устранить простым переходом в соответствующую ИСО? Если ответ отрицательный, это означает, что гравитационное взаимодействие, по меньшей мере, уж очень кардинально отличается от других взаимодействий, устраняясь простым переходом в ИСО.

Да, именно так: гравитационное взаимодействие "кардинально отличается" ...
С другой стороны, есть такое мнение, что это отличие обусловлено нашими особенностями восприятия того, что такое "другие взаимодействия": мы считаем, что они описываются истинными скалярными/векторными/тензорными полями (т.е. не устранимыми выбором СО) только потому, что мы "не видим" дополнительных "свёрнутых" измерений. А вот если научиться описывать другие взаимодействия геометрией некоего $n$-мерного пространства, где $n > 4$, то и соответствующие поля можно будеть устранять соответствующей заменой координат.

Я считаю, что такая точка зрения, хоть и отталкивается от ОТО, но лежит уже за границами ОТО.

epros в сообщении #525563 писал(а):

Геометрии пространства-времени, конечно, никто не отменяет, но и она не отменяет возможность оперировать понятием "сил гравитации". Дело в том, что реальные измерительные приборы как-то движутся в пространстве-времении и от этого зависят их показания.
Т.е. непосредственные данные экспериментов оказываются привязанными к СО, а в конкретной СО понятие "сил гравитации" имеет смысл. В частности, оные непосредственно измеримы.

Если Вы имеете в виду показания так называемых пружинных весов, то, ведь, можно повернуть дело и так: это измеряется не "сила гравитации", а сила, которую нужно приложить к телу, чтобы нейтрализовать влияние искривленности пространства-времени на состояние движения тела.
И немного "поэзии". А, поскольку, пружина, это так или иначе, набор квантованных полей, то можно принять такую точку зрения, что все поля (не "гравитационные") играют роль своеобразных "выпрямителей" кривизны. Т.е. одно поле (или набор полей) "борется" с кривизной, создаваемой другим полем (или набором полей). В общем, что-то в этом роде.

[Munin]

epros в сообщении #525552 писал(а):

Каким же образом Ваше касательное векторное пространство определит вращение наблюдателя?

По аффинной связности (связности на расслоении касательных векторных пространств), разумеется. Или вам непременно хочется говорить о "вращающихся СО"? Встречный вопрос: а зачем? Что в них такого, что нельзя выразить через понятия координат и локальных СО?

epros в сообщении #525552 писал(а):

Фокус в том, что бесконечная малость как раз никому особо не нужна, ибо реально приходится иметь дело с конечной малостью (или даже с не очень-то и малостью).

Вот от этого "фокуса" и избавились. Вместо бесконечной малости (в теоретической конструкции теории) рассматривают касательные пространства и т. п. А при экспериментальных приложениях теории - "конечная малость", как вы и говорите. Всем проще жить стало.

epros в сообщении #525552 писал(а):

Ба, какие проблемы? Ортонормируйте, и все дела. На самом деле, всё, что нужно от этого базиса - сопутствие линиям $x_{\alpha} = \operatorname{const}$.

Ортонормировав, мы теряем голономность. В частности, не все СК вообще имеют ортогональные линии $x^{\mu}=\mathrm{const},$ и не на всех многообразиях можно хоть одну такую СК ввести. Так что это всё постоянные метания туда-сюда, которые просто не нужны, если рассматривать два понятия раздельно.

И даже если вы лично меня сейчас в чём-то убедите - это ничего не изменит, потому что я не свою личную позицию защищаю, а излагаю язык, который де факто общепринят.

epros в сообщении #525552 писал(а):

Неужели таки во всём и стандартный? И как же согласно этим оговоркам определяются "с точки зрения удалённого наблюдателя", например, расстояния в радиальном и в тангенциальном направлениях?

Не очень-то строго определяются, насколько я помню, с неопределённостями высших порядков (в смысле, стандартными оговорками эти высшие порядки не фиксируются, но вы можете их зафиксировать). Но они особо и не нужны, эти расстояния. Для теоретиков интересней дифференциальные величины, чем интегральные. А для экспериментаторов и прикладников (в данном случае астрофизиков) - нужны не расстояния сами по себе, а более приближенные к наблюдаемым величины, например разности расстояний (их можно наблюдать по сдвигу фаз). А как вы пронаблюдаете разность расстояний в радиальном и тангенциальном направлениях? Никак. Зато эффекты типа гравитационного линзирования и задержки радарного эха считаются очень просто и выхода за рамки оговорок не требуют. И трение в газовом аккреционном диске посчитать можно (а его размеры с точностью до высших порядков нас и не интересуют).

epros в сообщении #525563 писал(а):

Да, именно так: гравитационное взаимодействие "кардинально отличается" именно в силу самого определения того, какое из взаимодействий следует считать "гравитационным".

+1. Из КТП следует, что вообще любое взаимодействие ранга 2 должно эффективно вести себя как гравитационное.

-- 11.01.2012 21:16:41 --

dinaconst в сообщении #525811 писал(а):

Если Вы имеете в виду показания так называемых пружинных весов, то, ведь, можно повернуть дело и так: это измеряется не "сила гравитации", а сила, которую нужно приложить к телу, чтобы нейтрализовать влияние искривленности пространства-времени на состояние движения тела.

Можно. Но не обязательно. Буковки ОТО этого не требуют. Можно написать $m(du^\lambda/ds+\Gamma^\lambda_{\mu\nu}u^\mu u^\nu)=\ldots,$ можно написать $m\,du^\lambda/ds=-m\Gamma^\lambda_{\mu\nu}u^\mu u^\nu+\ldots,$ это будет одно и то же уравнение.

[obar]

Munin в сообщении #525826 писал(а):

Из КТП следует, что вообще любое взаимодействие ранга 2 должно эффективно вести себя как гравитационное

Из КТП следует, что в этом случае одноименные заряды притягиваются (а не отталкиваются как кулоновские). Это вы называете "должно эффективно вести себя как гравитационное"?

[Munin]

(obar)

obar в сообщении #525602 писал(а):

По той простой причине, что пока еще никому это сделать не удалось. Конечно, это не может рассматриваться как "доказательство". Но принципы КТП давно установлены и ее методы работали пока не коснулись квантования гравитации. И проблемы здесь не технического характера, а во внутренней противоречивости квантовой гравитации. Это означает, что гравитация по своей природе совершенно иная, чем другие нелинейные поля (типа Янга-Милса). Разумеется, это лишь мое личное мнение и я его никому не навязываю.

Вот чего я от вас не ожидал - это что вы будете рассматривать КТП скопом, не различая деталей. Принципы КТП всё-таки грубо делятся как минимум на два "лагеря": квантование поля само по себе, и теория возмущений и перенормировок. У гравитации проблемы со вторым "лагерем", но не с первым. Кстати, методы КТП и без гравитации неоднократно претерпевали ситуации типа "не работает - заставили заработать", так что "методы работали пока не коснулись гравитации" - тоже переупрощение, меняющее смысл. Впрочем, пока это ваше личное мнение, я не возражаю. Просто начали вы без этой оговорки.

-- 11.01.2012 22:08:05 --

obar в сообщении #525840 писал(а):

Из КТП следует, что в этом случае одноименные заряды притягиваются (а не отталкиваются как кулоновские). Это вы называете "должно эффективно вести себя как гравитационное"?

Нет, не это. Да, одноимённые заряды притягиваются, но это верно для любого чётного спина. А я имел в виду, что из КТП следует, что можно составить только один сохраняющийся источник поля, имеющий тензорный ранг 2, и это будет ТЭИ - то есть, взаимодействие спина 2 будет притяжением энергии к энергии и не иначе.

[schekn]

epros в сообщении #525203 писал(а):

schekn в сообщении #522715 писал(а):

Вы могли бы в этой теме или в новой проанализировать эту статью Логунова на предмет ошибки, где он
показывает , что инертная масса, так как она введена в ОТО, координатная величина, и бессмысленна. Я ошибки не нашел. Тот же вывод можно сделать в рамках ЛЛ-2 или на основании статьи Шрёдингера.
Сама статья Логунов и др. здесь.
http://www.mathnet.ru/links/5b8209365f9 ... mf5926.pdf

Сама тема со стр. 19.

Спасибо, конечно, за конкретный вопрос, но что-то мне сейчас здорово не охота разбираться в том, что именно хотел сказать тот или иной критик ОТО. Вот если бы кто-то взялся защищать его точку зрения, а я бы только вопросы ему задавал Мне тут политики безопасности на рабочем месте мешают закачать этот файл на комп, так что пришлось качать на телефон

Во-первых, я не могу понять, зачем авторы отталкиваются от декартовых координат, когда все те же выкладки можно проделать на порядок проще из сферических. Насколько я помню, в той книжке Логунова/Мествиришвили, которую я упоминал ранее, в сферических координатах заменялась координата $r$. К чему эти усложнения? Не иначе, как для того, чтобы критикам труднее было докопаться...

Во-вторых, на стр. 22 что это за лихой переход: "Подставляя выражения (10) - (12) в соотношение (6), получим..."? (10) - (12) - это выражения для различных компонент метрики и для её определителя, а (6) - это несколько выражений, ни одно из которых непосредственно через метрику не расписано. Непонятно, то ли я должен сейчас где-то искать формулу для $U_{\sigma}^{4}$, то ли я должен сейчас где-то искать формулу для $\sigma_{\sigma}^{n 4}$. Наверное, нужно "явное выражение для (псевдо)тензора $\sigma_{\sigma}^{\mu \nu}$" со стр. 18? Я что, должен всё это проделывать за авторов?

Как я говорил ранее, чтобы получить ошибочное выражение для энергии покоя (в данной статье она обозначена $J^4$), достаточно, например, в формулу (6) подставить тензор вместо тензорной плотности. А авторы как раз через эту часть расчётов как-то уж очень резво проскочили...

Меня интересует этот вопрос, но некоторые вычисления мне сложно проделать. Я конечно могу ( и готов) создать тему в дискуссионом разделе, но предполагаю, что набежит куча "умников", которые знают все на свете, и вместо конструктивной критики все сведется к желчному брюзжанию.

[Munin]

Чем больше вы сосредоточитесь на вычислениях, тем меньше вам будут мешать это делать.