Марафон головоломок! [Конкурс с призами]

[lim0n]

VAL в сообщении #471151 писал(а):

(Решение Задачи №235)

Верно, ведь старина Нелмс был приверженцем антропоморфизма.

[Yu_K]

venco в сообщении #471028 писал(а):

(Решение Задачи №216)

+

(Оффтоп)

Надо было дать случайный треугольник внутри единичной сферы - там не так просто распознать рациональный коэффициент в формуле в численном эксперименте.

Zealint в сообщении #470884 писал(а):

(Решение задачи №223)

+

(Оффтоп)

Конечно может и излишне простая задача - но мы же и о детях думаем - они же тоже смотрят этот марафон. Половина студентов не может дать на нее правильный ответ.

[venco]

Несколько неуверенных попыток:

(Решение задачи №116)

VAL в сообщении #467885 писал(а):

Задача № 116
На какое минимальное число квадратов можно разрезать квадрат $8\times8$, если от угла уже отрезали квадрат со стороной 1?
(Отрезанный квадратик тоже считать, но обратно не клеить.)

Что-то меньше чем 10 квадратов у меня не получается, а 10 - кучей способов, включая тривиальные типа:

(Решение задачи №195)

VAL в сообщении #469695 писал(а):

Задача №195

Если к этому направлению добавить союз, оно сразу превратится в крупного переводчика.

Набоков?

(Решение Задачи №236)

VAL в сообщении #471151 писал(а):

Задача №236

Можно ли построить выпуклый пятиугольник такой, что для каждой диагонали найдется ровно одна сторона, равная этой диагонали.

Нельзя, т.к. сумма диагоналей строго больше суммы длин сторон. Это легко увидеть на картинке:

Из неравенства треугольника выделенная часть диагоналей длиннее соответствующей стороны.

Задача №237
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил lim0n тут]

Продолжите последовательности:
1. Л Х М Р Т М М М М Л С Б А С А П ...
2. С О К С И Г С И Л С К А Л Н С Т В ...

[VAL]

venco в сообщении #471388 писал(а):

(Решение задачи №116)

VAL в сообщении #467885 писал(а):

Задача № 116
На какое минимальное число квадратов можно разрезать квадрат $8\times8$, если от угла уже отрезали квадрат со стороной 1?
(Отрезанный квадратик тоже считать, но обратно не клеить.)

Что-то меньше чем 10 квадратов у меня не получается, а 10 - кучей способов, включая тривиальные типа:

Верно!

Цитата:

(Решение задачи №195)

VAL в сообщении #469695 писал(а):

Задача №195

Если к этому направлению добавить союз, оно сразу превратится в крупного переводчика.

Набоков?

Нет.
А где тут направление и где союз?

Цитата:

(Решение Задачи №236)

VAL в сообщении #471151 писал(а):

Задача №236

Можно ли построить выпуклый пятиугольник такой, что для каждой диагонали найдется ровно одна сторона, равная этой диагонали.

Нельзя, т.к. сумма диагоналей строго больше суммы длин сторон. Это легко увидеть на картинке:

Из неравенства треугольника выделенная часть диагоналей длиннее соответствующей стороны.

Нет.

Итого: одна уверенная попытка и две робкие

[venco]

(Решение задачи №191)

VAL в сообщении #469358 писал(а):

Задача №191

Какое наибольшее число сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма длин диагоналей ровно в 10 раз больше периметра?

22.
Сумма диагоналей как минимум в $\frac {n-3} 2$ раз больше периметра, причём строго больше (строго доказать это пока не получилось).
Т.е. если $n \ge 23$, то отношение суммы диагоналей к периметру больше 10.
А 22 угольник, например, такой:
одна вершина - в центре координат, остальные 21 - на окружности радиуса 1 с расстоянием между соседними около 0.0007575785466.
При этом периметр - 2.015151571, а сумма диагоналей - 20.15151571.

(Решение задачи №236)

VAL в сообщении #471151 писал(а):

Задача №236

Можно ли построить выпуклый пятиугольник такой, что для каждой диагонали найдется ровно одна сторона, равная этой диагонали.

Как оказалось, я не так понял задание.
Можно:

Все синие диагонали равны синей стороне, а зелёная диагональ - зелёной стороне,

Задача №238
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

Найти треугольник, одна высота и все стороны которого - последовательные целые числа.

[VAL]

Попробую еще раз постучаться в эту дверь. Потратил на эту задачку больше времени, чем на все остальные вместе взятые

(Решение задачи № 87)

venco в сообщении #467688 писал(а):

Задача № 87

В какой минимальный квадрат можно вписать без перекрытий пять единичных равносторонних треугольников?

Обозначив за $x$ сторону маленького треугольника в центре и приравняв ширину и высоту рисунка, получим уравнение $\sqrt3+x=\sqrt{1-\frac{x^2}4}+\frac{\sqrt3}2(1-x)$. Отсюда сторона квадрата

$$\frac14(3\sqrt3+2\sqrt{29+16\sqrt3}-\sqrt{87+48\sqrt3}),$$

что примерно равно $1.8035$.

Задача № 239
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

А вы смотрели? Впрочем, конечно, смотрели! Кто же не смотрел?!


-- 27 июл 2011, 07:21 --

(Решение задачи №238)

venco в сообщении #471436 писал(а):

Задача №238
Найти треугольник, одна высота и все стороны которого - последовательные целые числа.

У треугольника со сторонами 13, 14, 15 одна из высот - 12

Задача №240
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Разбейте слова на три группы:

активист, бесполезность, картуз, компас, коньяк, мандрагора, математика, образ, патент, паутина, полено, пропасть, спелеолог, уголь, шахта.

[venco]

VAL в сообщении #471438 писал(а):

(Решение задачи № 87)

venco в сообщении #467688 писал(а):

Задача № 87

В какой минимальный квадрат можно вписать без перекрытий пять единичных равносторонних треугольников?

Обозначив за $x$ сторону маленького треугольника в центре и приравняв ширину и высоту рисунка, получим уравнение $\sqrt3+x=\sqrt{1-\frac{x^2}4}+\frac{\sqrt3}2(1-x)$. Отсюда сторона квадрата

$$\frac14(3\sqrt3+2\sqrt{29+16\sqrt3}-\sqrt{87+48\sqrt3}),$$

что примерно равно $1.8035$.

Близко, но всё-таки не минимум.

VAL в сообщении #471438 писал(а):

(Решение задачи №238)

venco в сообщении #471436 писал(а):

Задача №238
Найти треугольник, одна высота и все стороны которого - последовательные целые числа.

У треугольника со сторонами 13, 14, 15 одна из высот - 12

Правильно.

[VAL]

venco в сообщении #471436 писал(а):

(Решение задачи №191)

VAL в сообщении #469358 писал(а):

Задача №191

Какое наибольшее число сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма длин диагоналей ровно в 10 раз больше периметра?

22.
Сумма диагоналей как минимум в $\frac {n-3} 2$ раз больше периметра, причём строго больше (строго доказать это пока не получилось).
Т.е. если $n \ge 23$, то отношение суммы диагоналей к периметру больше 10.
А 22 угольник, например, такой:
одна вершина - в центре координат, остальные 21 - на окружности радиуса 1 с расстоянием между соседними около 0.0007575785466.
При этом периметр - 2.015151571, а сумма диагоналей - 20.15151571.

Верно!
А строгое доказательство можно получить примерно той техникой, которой Вы "опровергали" 236 :)

Цитата:

(Решение задачи №236)

VAL в сообщении #471151 писал(а):

Задача №236

Можно ли построить выпуклый пятиугольник такой, что для каждой диагонали найдется ровно одна сторона, равная этой диагонали.

Как оказалось, я не так понял задание.
Можно:

Все синие диагонали равны синей стороне, а зелёная диагональ - зелёной стороне,

Вот теперь верно!

[lim0n]

(Решение Задачи №229)

Cine (англ.) от Ciné (фр.). Кино.

Задача №241почти абсурд...
Идет война, перехвачен разведчик противника с запиской следующего содержания:

"Когда очень жарко, здорово греется солдатская фляжка. Атака по круглой сушёной ракете."

Я ничего не понял? А вы?..

[photon]

lim0n в сообщении #471478 писал(а):

(Решение Задачи №229)

Вот беда. Я даже не предполагал, что может быть столько правильных решений... Но загадано все же иное.

[venco]

(Решение задачи №46)

Zealint в сообщении #466920 писал(а):

Задача №46
Творческая задача - то есть любой ответ формально правильный, но лишь один из них "красивый". Вот его и нужно отыскать. Задана последовательность

92, 78, 12, 43, 72, 92, 18, ...

Выписать следующие 3 числа и дать объяснение.

76,56,11
Степени тройки: 9,27,81,243,729,2187,6561,19683,...

(Решение задачи №179)

Zealint в сообщении #468851 писал(а):

Задача №179
Почему мне захотелось расположить простые числа в указанном порядке?

2,5,13,3,11,7

Числа отсортированы в обратной двоичной записи:

2  01
5  101
13 1011
3  11
11 1101
7  111

Задача №242
Найдите следующие 5 строчек:

-
/-\ 
/-\- 
//-\\ 
/-\-- 
/-\/-\ 
/-\--- 
///-\\\ 
//-\\- 
/-\-/-\ 

[Dan B-Yallay]

(Решение № 220)

Увидеть Париж и умереть?

Задача № 243
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]


Получить квадрат, переместив только одну спичку.

[VAL]

(Решение № 243)

Dan B-Yallay в сообщении #471636 писал(а):

Задача № 243

Получить квадрат, переместив только одну спичку.

Например, получить число 4

Задача №244
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

В Швеции эта должность сохранилась до наших дней.
Из всех когда-либо занимавших ее людей широко известен всего один, прославившийся своей чистоплотностью.
Кстати, по некоторым сведениям, этот, широко известный, занимал другую должность.

[photon]

Dan B-Yallay в сообщении #471636 писал(а):

(Решение № 220)

нет

[Dan B-Yallay]

VAL в сообщении #471640 писал(а):

(Решение № 243)
Например, получить число 4

Решение верно.