Марафон головоломок! [Конкурс с призами]

[venco]

VAL в сообщении #470990 писал(а):

Внимание!

В злосчастной Задаче № 122 исправлена очередная опечатка в условии. И это всего-то на 5 чисел. Ужас!

По моему за такое надо штрафовать.

[cepesh]

venco
Никто не пострадал, попыток решения не было, если мне память не изменяет. Плюс других задач - в избытке.

[venco]

cepesh в сообщении #471009 писал(а):

venco
Никто не пострадал, попыток решения не было, если мне память не изменяет. Плюс других задач - в избытке.

Дык, потому и не было попыток решения, что в условиях ошибка была. Я довольно много времени потратил, пытаясь связать эти числа. А так-то очевидно:

(Решение задачи № 122)

VAL в сообщении #468010 писал(а):

Задача № 122

39139100, 78, 18, 5, ?

5
Следующее число - сумма простых делителей.

(Решение задачи № 229)

photon в сообщении #470992 писал(а):

Задача №229

Формат ответа: слово на русском языке.

вес

(Решение задачи № 230)

VAL в сообщении #471003 писал(а):

Задача №230

При каком наименьшем натуральном d существует арифметическая прогрессия с разностью d, содержащая 8 простых чисел подряд?

$d=210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$
Последовательность, начинающаяся с 199, содержит 10 простых чисел подряд.

Задача №231
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

3 джентльмена вызвали друг друга на дуэли и решили провести их вместе. Из пистолета они стреляют с разной точностью: А - попадает всегда, Б - с вероятностью 80%, а В - фифти-фифти. Стреляют по кругу, определив очерёдность жребием, пока не останется в живых один. Все умные и используют стратегию, максимизируюшую их шанс победить. У кого больше шансов, и какова их стратегия?

-- Вс июл 24, 2011 23:09:33 --

VAL в сообщении #470684 писал(а):

(Решение задачи №214)

Цитата:

Задача № 214
Одна мамаша наняла 7 нянек для своего ребёнка. Каждая нянька приходит в одно и то же время суток ровно на 7 часов и не желает менять время своего прихода. Ребёнок ни на минуту не остаётся без присмотра. Доказать, что одну няньку всегда можно уволить без риска оставить дитя без присмотра.

Существуют две соседние по времени прихода няньки такие, что интервал времени их прихода составляет не менее 3-х часов, иначе бы они не закрыли все сутки.
Условно назовем одну (более раннюю) из них первой и возьмем время ее прихода за начало суток - 0 часов. Тогда вторая нянька заканчивает работу не раньше 10 часов. Если одну из этих нянек можно уволить, не оставляя дитя без присмотра, то задача решена. Поэтому будем считать, что они не заменимы.
Рассмотрим теперь третью и четвертую по времени прихода нянек. Если четвертая заканчивает работу не позднее 17-ти часов, то третья - лишняя. Считаем, что обе не лишние.
Наконец, рассмотрим пятую и шестую нянек. Если шестая заканчивает работу раньше 24 часов, то пятая лишняя. А если нет, то седьмая. Всё.

Слишком сложное, но верное решение. Зачёт.

[photon]

venco в сообщении #471012 писал(а):

(Решение задачи № 229)

Красивое решение - даже и придраться нельзя... Но загадано другое слово

[VAL]

venco в сообщении #471012 писал(а):

Дык, потому и не было попыток решения, что в условиях ошибка была. Я довольно много времени потратил, пытаясь связать эти числа.

Ну простите подлеца! Я, честное слово, без злого умысла
В любом случае, я на Ваши 5 треугольников больше времени убил

Цитата:

А так-то очевидно:

(Решение задачи № 122)

5
Следующее число - сумма простых делителей.

Конечно!

Цитата:

(Решение задачи № 230)

VAL в сообщении #471003 писал(а):

Задача №230

При каком наименьшем натуральном d существует арифметическая прогрессия с разностью d, содержащая 8 простых чисел подряд?

$d=210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$
Последовательность, начинающаяся с 199, содержит 10 простых чисел подряд.

Конечно!

(Решение задачи № 231)

Цитата:

Задача №231
3 джентльмена вызвали друг друга на дуэли и решили провести их вместе. Из пистолета они стреляют с разной точностью: А - попадает всегда, Б - с вероятностью 80%, а В - фифти-фифти. Стреляют по кругу, определив очерёдность жребием, пока не останется в живых один. Все умные и используют стратегию, максимизируюшую их шанс победить. У кого больше шансов, и какова их стратегия?

Условия дуэли наиболее выгодны для В (и наименее выгодны для Б). Стратегия В - стрелять в воздух, пока живы оба противника.
Подробности можно посмотреть в книжке Ф.Мостеллера "50 занимательных вероятностных задач с решениями".

Цитата:

Слишком сложное, но верное решение. Зачёт.

А как проще?

Задача №232
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

У большинства советских людей фамилия этого почтмейстера, если и вызывала ассоциацию с деньгами, то это были деньги совсем не той страны. И только после распада СССР многие узнали его в лицо.

[venco]

(Решение Задачи №108)

VAL в сообщении #467855 писал(а):

Задача №108
Чем замечательна (хотя и не уникальна) тройка чисел 13306, 29569, 55615?

Сумма любой пары - куб.
Ещё такая тройка - 63, 280, 449.

(Решение Задачи №216)

Yu_K в сообщении #470755 писал(а):

Задача №216.

В треугольник единичной площади бросается три точки (с равномерным распределением их положения по площади треугольника) - найти матожидание площади треугольника, образованного этими тремя точками.

$\frac 1{12}$
Доказательсвто сложное, а численный эксперимент вот:

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <utility>
using namespace std;

pair<double, double> random_in_triangle()
{
    pair<double, double> ret;
    do {
        ret.first = double(rand())/RAND_MAX;
        ret.second = double(rand())/RAND_MAX;
    } while ( ret.first + ret.second > 1 );
    return ret;
}

int main()
{
    const int COUNT = 10000000;
    double sum = 0;
    for ( int i = 0; i < COUNT; ++i ) {
        pair<double, double>
            p1 = random_in_triangle(),
            p2 = random_in_triangle(),
            p3 = random_in_triangle();
        double area = abs(p1.first*p2.second-p1.second*p2.first+
                          p2.first*p3.second-p2.second*p3.first+
                          p3.first*p1.second-p3.second*p1.first);
        sum += area;
    }
    double average = sum/COUNT;
    cout << "Average area*12 = " << average*12 << endl;
}

Average area*12 = 1.00036

(Решение задачи №232)

VAL в сообщении #471020 писал(а):

Задача №232

У большинства советских людей фамилия этого почтмейстера, если и вызывала ассоциацию с деньгами, то это были деньги совсем не той страны. И только после распада СССР многие узнали его в лицо.

Бенджамин Франклин.
Мог бы ассоциироваться с французскими франками, но его портрет присутствует на 100-долларовой купюре США.

Задача №233
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

Берём равномерно-случайные на [0,1] числа, и складываем, пока их сумма не станет больше 1. Сколько в среднем чисел надо будет взять?

[VAL]

venco в сообщении #471028 писал(а):

(Решение Задачи №108)

VAL в сообщении #467855 писал(а):

Задача №108
Чем замечательна (хотя и не уникальна) тройка чисел 13306, 29569, 55615?

Сумма любой пары - куб.
Ещё такая тройка - 63, 280, 449.

Верно!

Цитата:

(Решение задачи №232)

VAL в сообщении #471020 писал(а):

Задача №232

У большинства советских людей фамилия этого почтмейстера, если и вызывала ассоциацию с деньгами, то это были деньги совсем не той страны. И только после распада СССР многие узнали его в лицо.

Бенджамин Франклин.
Мог бы ассоциироваться с французскими франками, но его портрет присутствует на 5-ти долларовой купюре США.

Верно с точностью до номинала купюры

(Решение Задачи №233)

Цитата:

Задача №233
Берём равномерно-случайные на [0,1] числа, и складываем, пока их сумма не станет больше 1. Сколько в среднем чисел надо будет взять?

3, поскольку $e$ слагаемых я брать не умею Хотя, если в среднем, пожалуй, все же, $e$.
Статистическое обоснование ответа:

> m:=500000000000:r:=rand(1..500000000000):S:=0:for i to 1000000 do
> s:=0:for j do a:=r():s:=s+a: if s>m then S:=S+j:break fi od od:S/1000000.;

                             2.718618000

Задача №234
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут и получил 2 балла]

Замените одно слово в списке, чтобы логика его формирования нигде не нарушалась:
сплав, ребро, кювет, динго, седло, лесть, ружьё, муляж, излом, спирт, покой, купол, молот, хомут, синус, торос, спрут, хруст

PS: А что с №231? Нам с Мостеллером балл причитается?

[photon]

VAL в сообщении #471032 писал(а):

(Решение Задачи №233)

А как вы получили? Я получил такой же результат, но я делал это как нематематик - численный эксперимент из миллиона попыток - первые 4 знака совпали с $e$

[VAL]

photon в сообщении #471038 писал(а):

А как вы получили? Я получил такой же результат, но я делал это как нематематик - численный эксперимент из миллиона попыток - первые 4 знака совпали с $e$

Во-первых, помнил. Я эту задачку уже где-то встречал.
А во-вторых, для освежения воспоминаний, тоже провел численный эксперимент. Любопытно, что тоже сделал миллион проб. Maple-код вставил в пост с решением.

[lim0n]

(Решение Задачи №208)

Гори, зонт, Таль. Режиссеры фильма "Вертикаль" -- С.Говорухин и Б.Дуров.

(Решение Задачи №209)

Mat, raw, poll, let, ten. Метрополитен.

Задача №235
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил VAL тут]

"Нелмс, Вы читали сегодняшний Таймс?" -- доктор Батсон отложил газету, -- "Ученые расшифровали некоторые надписи на камне, найденном на острове Зитландия в прошлом году. Среди них оказалось число 2.415, смысл которого ученым пока неясен".
"А мне всё предельно ясно, дорогой Батсон. Если хотите, я даже могу сказать, сколько было пальцев на руке у представителя этой исчезнувшей цивилизации", -- ответил Нелмс, раскуривая трубку.

Так сколько было пальцев?

[venco]

VAL в сообщении #471032 писал(а):

Верно с точностью до номинала купюры

Не успел исправить опечатку, когда форум пошёл на апгрейд. Пришлось пойти спать.

-- Пн июл 25, 2011 08:46:26 --

VAL в сообщении #471020 писал(а):

Цитата:

Слишком сложное, но верное решение. Зачёт.

А как проще?

(Проще так)

Всего няньки следят 49 часов, значит хотя бы раз встречаются вместе как минимум три. Одна из них - лишняя.

-- Пн июл 25, 2011 08:50:13 --

Yu_K в сообщении #470837 писал(а):

(Половина решения Задачи №156)

Минимальная дуга составляет $1/n^2$ от полной окружности, с максимальной что-то пока проблема. Дополнение к предыдущему сообщению.

Половину решения я никак зачесть не могу.

[photon]

lim0n в сообщении #471098 писал(а):

(Решение Задачи №209)

верно

[venco]

VAL в сообщении #471020 писал(а):

(Решение задачи № 231)

Цитата:

Задача №231
3 джентльмена вызвали друг друга на дуэли и решили провести их вместе. Из пистолета они стреляют с разной точностью: А - попадает всегда, Б - с вероятностью 80%, а В - фифти-фифти. Стреляют по кругу, определив очерёдность жребием, пока не останется в живых один. Все умные и используют стратегию, максимизируюшую их шанс победить. У кого больше шансов, и какова их стратегия?

Условия дуэли наиболее выгодны для В (и наименее выгодны для Б). Стратегия В - стрелять в воздух, пока живы оба противника.
Подробности можно посмотреть в книжке Ф.Мостеллера "50 занимательных вероятностных задач с решениями".

Хорошая память - тоже хорошо! Зачёт.

[VAL]

lim0n в сообщении #471098 писал(а):

(Решение Задачи №208)

Гори, зонт, Таль. Режиссеры фильма "Вертикаль" -- С.Говорухин и Б.Дуров.

Верно!

(Решение Задачи №235)

Цитата:

Задача №235
"Нелмс, Вы читали сегодняшний Таймс?" -- доктор Батсон отложил газету, -- "Ученые расшифровали некоторые надписи на камне, найденном на острове Зитландия в прошлом году. Среди них оказалось число 2.415, смысл которого ученым пока неясен".
"А мне всё предельно ясно, дорогой Батсон. Если хотите, я даже могу сказать, сколько было пальцев на руке у представителя этой исчезнувшей цивилизации", -- ответил Нелмс, раскуривая трубку.

Так сколько было пальцев?

По три на каждой, если рук было две.
Шесть, если рука была одна; по два на каждой, если - три; ну или по одному, на каждой из шести рук
2.415 - приближенная запись основания натуральных логарифмов в шестеричной системе.

Задача №236
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил venco тут]

Можно ли построить выпуклый пятиугольник такой, что для каждой диагонали найдется ровно одна сторона, равная этой диагонали.

[venco]

VAL в сообщении #471032 писал(а):

(Решение Задачи №233)

Цитата:

Задача №233
Берём равномерно-случайные на [0,1] числа, и складываем, пока их сумма не станет больше 1. Сколько в среднем чисел надо будет взять?

3, поскольку $e$ слагаемых я брать не умею Хотя, если в среднем, пожалуй, все же, $e$.
Статистическое обоснование ответа:

> m:=500000000000:r:=rand(1..500000000000):S:=0:for i to 1000000 do
> s:=0:for j do a:=r():s:=s+a: if s>m then S:=S+j:break fi od od:S/1000000.;

                             2.718618000

Ну раз уж мы начали принимать численные решения, то зачёт.
Я думаю, в таком решении нужно будет точно угадать формулу.