Лучший учебник по математическому анализу [литература]

[Syetin]

Не приведи вам боже учить анализ по Фихтенгольцу - более глубокого и фундаментального учебника наверное нет.


Не понял. если он самый фундаментальный то почему по нему плохо учить?

[Morkonwen]

Syetin в сообщении #464508 писал(а):

Не приведи вам боже учить анализ по Фихтенгольцу - более глубокого и фундаментального учебника наверное нет.


Не понял. если он самый фундаментальный то почему по нему плохо учить?

По той же причине по которой не самая лучшая идея учить геомтерию по Эвклиду - времени уйдет несравненно больше, но без решения задач это вообще ничего не даст кроме удовольствия и примерного представления что в анализе откуда берется.

[Munin]

mclaudt в сообщении #464507 писал(а):

Пусть $n$ - число учебников. Доказано, что оптимальной стратегией выбора лучшего учебника является безусловное прочтение первых $[n/e]$ и затем остановка на первом же, который покажется лучше всех предыдущих.

"Доказано" с той очевидной ошибкой в формулировке условия, что книга может находиться не только в состояниях "прочитана - не прочитана", но и в промежуточных.

[mclaudt]

Munin в сообщении #464886 писал(а):

"Доказано" с той очевидной ошибкой в формулировке условия, что книга может находиться не только в состояниях "прочитана - не прочитана", но и в промежуточных.

Самым главным отличием от реальности я бы назвал то условие, что выбор совершается один раз. Т.е. будто бы библиотекарша по очереди подносит книги на чтение, повторно за прочтенной книгой не ходит и на дом выдает только одну.

[Munin]

mclaudt в сообщении #465001 писал(а):

Самым главным отличием от реальности я бы назвал то условие, что выбор совершается один раз.

+1
Человек растёт, соответственно, меняется и его круг чтения.

[LaTeXScience]

Рекомендую следующие книги:
"Курс анализа", Эрмит Ш.;
"Курс математического анализа", Гурса Э.;
"Высшая математика для начинающих физиков и техников", Зельдович Я. Б., Яглом И. М.

[mihailm]

LaTeXScience в сообщении #466980 писал(а):

..."Курс анализа", Эрмит Ш.;
"Курс математического анализа", Гурса Э...

(Оффтоп)

Курсов Валле Пуссена не хватает и для полного счастья Жордана)))

[LaTeXScience]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #466984 писал(а):

LaTeXScience в сообщении #466980 писал(а):

..."Курс анализа", Эрмит Ш.;
"Курс математического анализа", Гурса Э...

Курсов Валле Пуссена не хватает и для полного счастья Жордана)))

В.И.Арнольд в "О преподавании математики" писал(а):

Я хорошо помню, какое сильное впечатление произвел на меня в школьные годы курс анализа Эрмита (существующий, между прочим, в русском переводе!).

Римановы поверхности появлялись в нем, кажется, в одной из первых лекций (весь анализ был, конечно, комплексным, как это и должно быть). Асимптотики интегралов исследовались при помощи деформаций путей на римановых поверхностях при движении точек ветвления (теперь мы это назвали бы теорией Пикара--Лефшеца; Пикар, кстати, был зятем Эрмита --- математические способности часто передаются зятьям: династия Адамар --- П. Леви --- Л. Шварц --- У. Фриш --- еще один знаменитый пример в Парижской Академии наук).

"Устарелый" курс Эрмита столетней давности (вероятно, выкинутый ныне из студенческих библиотек французских университетов) был гораздо современнее, чем те скучнейшие учебники анализа, которыми теперь мучают студентов.

[Kallikanzarid]

Есть трехтомник Кудрявцева.

[xxx2001]

Изучать анализ с самого начала имеет смысл по замечательному трехтомнику Фихтенгольца, для более современного взгляда на анализ я бы рекомендовал трехтомник Amann и Escher-а

http://www.amazon.com/Analysis-I-Herber ... 3764371536

Ну и учебники Рудина не мешало бы почитать и книги типа Контрпримеры в анализе тоже.

[Doil-byle]

А не подскажите какой-нибудь учебник по матану, в котором была бы соблюдена полная строгость? В Зориче, например, тригонометрические функции не определяются. Я конечно могу, например, взять уже имеющееся разложение синуса в ряд Тейлора и сказать, что это синус, но это не естественно - непонятно откуда я взял этот ряд изначально.

[wallflower]

Определение функции $\sin$ -- не задача матана. А вот её изучение (с точки зрения непрерывности и локальных (дифференциальных) свойств) -- уже да. И изучается она достаточно строго в любом учебнике.

[Doil-byle]

Если он используется в матане, значит он должен быть там определён. Геометрическое определение - не годится. Или нужно для начала определить понятия, используемые в геометрии. Вы можете, например, сказать что такое угол, не опираясь на аксиоматику геометрии?
Или Вы предлагаете изучать, не зная что Вы изучаете? А если Вы скажете, что знаете, что изучаете, я спрошу Вас: "Что?". При этом я имею права не понимать ни одного термина из геометрии. Или Вы скажете, что теория множеств и аксиоматика вещественных чисел, на которых строится анализ опираются на аксиоматику геометрии? (Евклидовой, там Гильберт вроде бы аксиоматику установил продвинутую, я про это толком не знаю) Если Вы это скажете, то скажете неправду, неправда тоже не годится.

[wallflower]

Doil-byle в сообщении #539019 писал(а):

Если он используется в матане, значит он должен быть там определён.

Если определить всё, что используется в матане (и далее по рекурсии), то в конце концов придётся спускаться до ZFC и такой "учебник" вы не поднимете (в прямом смысле). Ах да, придётся ещё перед этим математическую логику изложить, да и, чего лукаваить, русский язык.

-- 15.02.2012, 18:28 --

Doil-byle, посмотрите в сторону Бурбаки. Анализ у них тоже есть.

[Doil-byle]

А зачем определять всё в одном учебнике? Можно опираться на имеющуюся теорию. Но проблема в том, что в учебнике по матану, строго говоря, автор имеет право опираться на теорию множеств, (только "говоря" на её языке, не приводя самих результатов - эти результаты можно считать известными) а на геометрию - не имеет права. Ещё он имеет право опираться на результаты, изложенные на языке теории множеств - на общую топологию, например. Но не на Евклидову геометрию, там свой язык, не понятный матану как бы.

wallflower в сообщении #539023 писал(а):

Doil-byle, посмотрите в сторону Бурбаки. Анализ у них тоже есть.

Спасибо, нашёл книжку Дьедонне Ж. Основы современного анализа -М: Мир, 1964 - он "бурбакист", "Функции действительного переменного" - Бурбаки. Буду смотреть.