Что Вас потрясло в математике?

[Munin]

almost в сообщении #449295 писал(а):

Каким бы не был объект исследования, невидимым, далеким, огромным или микроскопическим, еще до начала исследования уже можно сказать, в какие формы это выльется в сознании, они уже определены и известны.

История науки показывает, что этого как раз никогда нельзя сказать заранее.

almost в сообщении #449295 писал(а):

Почему мы так уверены, что $(-1) \cdot (-1) = 1$ ? Потому что это свое, близкое, это наше собственное отражение.

Отрицательных чисел в математике не было до позднего средневековья, и даже когда они появились, сначала были установлены правила сложения и вычитания для них, и только много позже - правила умножения и деления. Так что это "своё, близкое" - иллюзия, вызванная зазубренными в школе знаниями.

almost в сообщении #449295 писал(а):

Это помогает выжить отдельному человеку и людям в целом.

Люди и до 13 века выживали неплохо...

[almost]

Munin в сообщении #449348 писал(а):

almost в сообщении #449295 писал(а):

Каким бы не был объект исследования, невидимым, далеким, огромным или микроскопическим, еще до начала исследования уже можно сказать, в какие формы это выльется в сознании, они уже определены и известны.

История науки показывает, что этого как раз никогда нельзя сказать заранее.

И это радует ! Реальность дает толчок и в тоже время границы, самозабвенному манипулированию символами. Как говорится, познай себя !

Munin в сообщении #449348 писал(а):

almost в сообщении #449295 писал(а):

Почему мы так уверены, что $(-1) \cdot (-1) = 1$ ? Потому что это свое, близкое, это наше собственное отражение.

Отрицательных чисел в математике не было до позднего средневековья, и даже когда они появились, сначала были установлены правила сложения и вычитания для них, и только много позже - правила умножения и деления. Так что это "своё, близкое" - иллюзия, вызванная зазубренными в школе знаниями.

Совершенно, согласен. Вы не представляете, какие сейчас будут протесты против "иллюзии, зазубренной в школе" !

Munin в сообщении #449348 писал(а):

almost в сообщении #449295 писал(а):

Это помогает выжить отдельному человеку и людям в целом.

Люди и до 13 века выживали неплохо...

Точно ! И выживут неплохо, надо думать, если $(-1) \cdot (-1) = -1$. Не так ли ?

[Профессор Снэйп]

almost в сообщении #449365 писал(а):

Точно ! И выживут неплохо, надо думать, если $(-1) \cdot (-1) = -1$. Не так ли ?

Если к Вам один раз применить операцию, противоположную забиранию одного рубля (то есть просто-напросто подарить рубль), на сколько у Вас увеличиться количество денег. Неужели их станет меньше?

[мат-ламер]

У меня действительно в школе большое потрясение вызвал тот факт. что $(-1)(-1)=1$. На вопрос "почему" ни учительница, ни учебник мне внятно не ответил. Для себя вопрос я решил так. Какое расстояние должен пройти пешеход за $-1$ час, идущий со скоростью $-1$ км. в час. Ответ очевиден: $+1$ км. Т.е. человек, идущий от цели, час назад был ближе к ней на километр.

[serval]

Гениально!
А какое расстояние пройдет пешеход за $+1$ час идущий со скоростью $-1$ км/ч?

[almost]

мат-ламер в сообщении #449378 писал(а):

У меня действительно в школе большое потрясение вызвал тот факт. что $(-1)(-1)=1$. На вопрос "почему" ни учительница, ни учебник мне внятно не ответил. Для себя вопрос я решил так. Какое расстояние должен пройти пешеход за $-1$ час, идущий со скоростью $-1$ км. в час. Ответ очевиден: $+1$ км. Т.е. человек, идущий от цели, час назад был ближе к ней на километр.

Правильно, ответ Вы нашли в физике, в реальности материальных объектов.
Осталось обозреть грандиозный небоскреб математики, чтобы сделать еще один шаг.

[Dan B-Yallay]

almost писал(а):

Точно ! И выживут неплохо, надо думать, если $(-1) \cdot (-1) = -1$. Не так ли ?

Как по-Вашему, сколько корней у уравнения $(x-3)^2= x^2-6x+9$?
А сколько у $x^2-6x-9$?

[Профессор Снэйп]

serval в сообщении #449379 писал(а):

Гениально!
А какое расстояние пройдет пешеход за $+1$ час идущий со скоростью $-1$ км/ч?

Ога. Если Вы шли задом наперёд со скоростью 1 км/ч, то где Вы были час назад? Наверное, спереди, а не сзади

[caxap]

almost в сообщении #449380 писал(а):

ответ Вы нашли в физике, в реальности материальных объектов.

И правильно. Математика -- прикладная наука. И, соответственно, корни должны расти из реального мира.

[Профессор Снэйп]

мат-ламер в сообщении #449378 писал(а):

У меня действительно в школе большое потрясение вызвал тот факт...

Меня в пятом классе потрясла тупость школьных учителей.

Учимся складывать отрицательные числа. Спрашивают, сколько будет $(-5) + (-2)$, я отвечаю $(-7)$. Мне говорят, неправильно, Севериус, правильный ответ $(-3)$. Как так? Начинаю спорить, затыкают рот, говорят: "Я лучше знаю".

После урока подхожу к учительнице с вопросом: "Ну как же так, что ж вы пургу-то несёте?" Крепко разобиженное тоном и моими непрекращающимися уверениями в собственной правоте, учительница восклицает: "Вот, я сейчас тебе докажу!". Достаёт из кармана калькулятор, набирает $(-5) + (-2)$. На экране высвечивается $(-7)$. Немая сцена. Смотрит, как Кантор, и не может поверить. Через минуту, не прерывая молчания, ухожу.

[caxap]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #449390 писал(а):

Достаёт из кармана калькулятор

Вспомнилась история из старых (ещё смешных) концертов Задорнова про $2+2\times 2$. Мол, американец настаивает на 8, что доказывает с помощью простого калькулятора (выполняющего действия последовательно). Ему понадобился психиатр, когда он (чтоб уж наверняка) решил набрать <<$2+2\times 2$>> на компьютерном калькуляторе (он же умнее), который учитывает приоритеты и, соответсвенно, выдал 6.

[bot]

Долго думал, что же именно меня потрясло в математике, так и не придумал, потому что трудно сравнивать первые впечатления от Перельмана с более поздними, взять хотя бы локальную теорему Мальцева, с которой познакомился на 1 курсе. Если обобщённо, то лучше, пожалуй и не скажешь:

Профессор Снэйп в сообщении #427890 писал(а):

Математика действительно неимоверно красива.

О детских впечатлениях напишу в другой теме.

[Xenia1996]

Меня только что потрёс потряс обалденный математический факт, который я сама только что открыла (и это вместо того, чтобы спать ложиться, как все нормальные дети - ну больная я на голову, что поделаешь ).

Сумма произведений элементов всех подмножеств множества $\{-1, -2, -3, \dots , -n\}$ равна нулю!
(Это, разумеется, если произведение элементов пустого множества принять равным 1. В противном случае сумма будет равна не нулю, а минус единичке, что также весьма забавно).

(Вот набросок доказательства)

Разобьём все подмножества на пары - с минус единичкой и без таковой. В смысле, каждому подмножеству множества $\{-2, -3, \dots , -n\}$ поставим во взаимооднозначное соответствие это же подмножество с добавлением минус единички. Произведения элементов у двух друзей в паре будут противоположны, а значит, сумма произведений для каждой пары будет равна нулю, как и сумма всех произведений. Если же пустое множество в расчёт не принимать, то множество $\{-1\}$ останется без пары, а поскольку произведение его элементов равно $-1$, а сумма произведений элементов остальных (разбитых на пары) подмножеств - нулевая, получаем минусъединичную сумму (в смысле, равную $-1$).

[Padawan]

Проще так: эта сумма равна значению многочлена $(x-1)(x-2)\ldots(x-n)$, при $x=1$ (раскрыть скобки).

[Xenia1996]

Padawan в сообщении #451403 писал(а):

Проще так: эта сумма равна значению многочлена $(x-1)(x-2)\ldots(x-n)$, при $x=1$ (раскрыть скобки).

А вот тут я предложила заменить сумму произведений на произведение сумм, но особого энтузиазма не встретила. Может, перенесём эту темку в олимпиадные задачи и обсудим? Вы, случайно, не модератор?