Преобразования Лоренца в газе,твердом теле для макрообъемов

[evgeniy]

Честно говоря, я считал, что запись уравнения МАксвелла с использованием волнового вектора, это частный случай. Поэтому я стремился решить уравнения МАксвелла в общем виде при условии $V^2=1/(\epsilon \mu)$.
Но как же быть с выводами из полученного решения. Получается судя по вашим соотношениям, что поле внутри тела равно нулю, если оно движется с фазовой скоростью. Это физично, так как при движении с фазовой скоростью тела волна как бы застывает в теле и получается статическое поле. но дело в том, что для произвольного тела отсутствие поля это странный результат. По моим соотношениям получается, что конечное решение внутри тела невозможно, если оно движется с фазовой скоростью.
КАкие можно сделать выводы.

[myhand]

evgeniy в сообщении #418823 писал(а):

Получается судя по вашим соотношениям, что поле внутри тела равно нулю, если оно движется с фазовой скоростью.

Только фурье-компоненты, для заданного $\vec k \parallel \vec v$ и $\omega$, определяемого дисперсионным соотношением (10).

evgeniy в сообщении #418823 писал(а):

но дело в том, что для произвольного тела отсутствие поля это странный результат

Который Вы сами мне придумали.

Поучитесь сперава, а? Как решают уравнения в частных производных. Зачем преобразования Фурье всякие и проч.

Остался ведь еще общий случай $\vec k \ne \vec v$. Его решение тоже можно получить аналитически, только оно громоздко.

evgeniy в сообщении #418823 писал(а):

По моим соотношениям получается, что конечное решение внутри тела невозможно, если оно движется с фазовой скоростью.

Ваши соотношения неверны, примерно с того момента как Вы вывели формулы, обозначеные у меня (4') и (5'). Совсем чушь начинается около "правила Лопиталя".

[evgeniy]

К сожалению приходится объяснять, каковы мои преобразования и что в них нет ошибки.
Больше того, они содержат решение в общем виде для скорости тела, равной фазовой скорости. Если метод с использованием волновых чисел дает решение только в частном случае, то мое решение справедливо в общем случае при соответствующей скорости тела.
Ваша формула (3’) имеет вид
$\vec D(1-\epsilon \mu V^2)=\epsilon(1-V^2) \vec E+\epsilon(1-\epsilon \mu)\vec V V E_{\parallel}+(\epsilon \mu-1) \vec V \times \vec H\eqno(1)$
Разлагая первый член правой части $\vec E$ на параллельную и перпендикулярную компоненту и рассматривая случай $V^2=1/(\epsilon \mu) $ получим, разбивая на параллельные и перпендикулярные компоненты вектора напряжения электрического поля
$\vec D(1-\epsilon \mu V^2)=\epsilon[1-1/(\epsilon \mu)] (\vec E_{\parallel}+\vec E_{\perp})+\epsilon(1-\epsilon \mu)\vec V V E_{\parallel}+(\epsilon \mu-1) \vec V \times \vec H\eqno(2)$
Группируя параллельные члены напряженности электрического поля, получим правую часть формулы в виде
$\vec E_{parallel}\epsilon(\epsilon \mu -1)(1-V^2\epsilon \mu)/(\epsilon \mu)+(\epsilon \mu-1)(\vec E_{\perp}/\mu+\vec V \times H)\eqno(3)$
Вычислив величину $\vec D$ , для чего разделим обе части на величину $ (1-\epsilon \mu V^2) $, получим
$\vec D=(\epsilon \mu-1)[\frac{\vec V \times \vec H+\vec E_{\perp}/\mu}{1-\epsilon \mu V^2)}+\vec D_{\parallel}/(\epsilon \mu)]\eqno(4) $
Откуда следует, что величина $\vec D_{\parallel}=0$ и моя формула для электрической индукции.
Укажите в какой из формул (1)-(4) ошибка.

[myhand]

(1) - верно.
(2) - верно, но только для $V=1/\sqrt{\epsilon \mu}$
(3) - неверно. Справа у Вас получится просто $\epsilon (1 - 1/(\epsilon \mu))\vec E_{\perp} + (\epsilon\mu - 1)\vec V \times \vec H_{\perp}$ для рассматриваемого случая. Никакой параллельной составляющей.
Про то как дальше Вы делите на нуль (в (4)) - я деликатно промолчу.

[evgeniy]

Вынеся член $(\mu \epsilon-1)$ и убрав в векторном произведении член параллельный скорости, получим совпадающие формулы (3).
Насчет правила Лопиталя. Делаю предположение, что напряженность электрического и магнитного поля от модуля скорости не зависит. Вычислив напряженности убеждаюсь, что это справедливо. До этого была неточность, я не подставлял вместо модуля скорости его значение и получалось, что волновое число зависит от модуля скорости. Недоразумение исправлено, в правиле Лопиталя после перехода к пределу вместо аргумента надо подставлять его значение.
Ваша формула (3’) имеет вид
$\vec D(1-\epsilon \mu V^2)=\epsilon(1-V^2) \vec E+\epsilon(1-\epsilon \mu)\vec V V E_{\parallel}+(\epsilon \mu-1) \vec V \times \vec H \eqno(1)$
Разлагая первый член правой части $\vec E$ на параллельную и перпендикулярную компоненту и рассматривая случай $V^2=1/(\epsilon \mu) $ получим, разбивая на параллельные и перпендикулярные компоненты вектора напряжения электрического поля
$\vec D(1-\epsilon \mu V^2)=\epsilon[1-1/(\epsilon \mu)] (\vec E_{\parallel}+\vec E_{\perp})+\epsilon(1-\epsilon \mu)\vec V V E_{\parallel}+(\epsilon \mu-1) \vec V \times \vec H\eqno(2)$
Группируя параллельные члены напряженности электрического поля, получим правую часть формулы в виде
$\vec D(1-\epsilon \mu V^2)=\vec E_{\parallel}\epsilon(\epsilon \mu -1)(1-V^2\epsilon \mu)/(\epsilon \mu)+(\epsilon \mu-1)(\vec E_{\perp}/\mu+\vec V \times H)\eqno(3)$
Вычислив величину $\vec D$ , для чего разделим обе части на величину $ (1-\epsilon \mu V^2) $, получим
$\vec D=(\epsilon \mu-1)[\frac{\vec V \times \vec H+\vec E_{\perp}/\mu}{1-\epsilon \mu V^2)}+\vec D_{\parallel}/(\epsilon \mu)]\eqno(4) $
Откуда следует, что величина $\vec D_{\parallel}=0$ и моя формула для электрической индукции.
Чтобы магнитная индукция имела конечное значение должно выполняться
$\vec V \times \vec E=\vec H_{\perp}/\epsilon$
$\vec V \times \vec H=-\vec E_{\perp}/\mu$
Получим связь между напряженностями электрического и магнитного поля и его индукцией при скорости тела, равной его фазовой скорости, для чего приведем подобные члены, получим равенство
$\vec B(V^2\epsilon \mu-1)=(\vec V \times \vec E-\vec H_{\perp}/\epsilon)(\epsilon \mu-1) $
$\vec D(1-\mu \epsilon V^2)=(\vec V \times \vec H+\vec E_{\perp}/\mu)(\mu \epsilon-1)\eqno(7) $
или разрешая это уравнение по правилу Лопиталя, считая что векторы напряженности не зависят от модуля скорости тела. Это утверждение получим позднее.
Получим
$\vec B=(\vec V/V \times E)(\epsilon \mu -1)/(2\sqrt{\epsilon \mu}) $
$\vec D=(\vec V/V \times H)(\epsilon \mu -1)/(2\sqrt{\epsilon \mu}) $
Причем воспользовались равенством
$\vec V/V=d\vec V/dV=dV \vec e/dV=\vec e=\vec V/V$.
Это равенство справедливо, так как скорость меняется по модулю, а не по направлению, и значит направление распространения не меняется.
Подставим это равенство в уравнение Максвелла
$rot \vec H=\frac{1}{c}\frac{\partial \vec D}{\partial t}=-\frac{\partial \vec V \times \vec H}{\partial t}\frac{\epsilon \mu-1}{2V\sqrt{\epsilon \mu}}$
$div \vec D=0=(V,rot \vec H) \frac{\epsilon \mu-1}{2V\sqrt{\epsilon \mu}}\eqno (8) $
где воспользовались тождеством
$div\vec V \times H=e_{ikn}V_k\frac{\partial H_n}{\partial x_i}=-V_k e_{kin}\frac{\partial H_n}{\partial x_i}=-(\vec V,\vec H) $
Вторая совокупность уравнений Максвелла выглядит таким образом
$rot \vec E=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\frac{\partial \vec V \times \vec E}{\partial t}\frac{\epsilon \mu-1}{2V\sqrt{\epsilon \mu}}$
$div \vec B=0=(V,rot \vec E) \frac{\epsilon \mu-1}{2V\sqrt{\epsilon \mu}}\eqno (9) $
При этом уравнения (8) и (9) для гармонических колебаний эквивалентны
$\frac{\partial H_l}{\partial x_k}=\mp\frac{i\omega(\epsilon \mu-1)V_k}{2cV\sqrt{\epsilon \mu}}H_l$
т.е. для зависимости относительно продольной компоненты, получаем $H_l=exp[\mp ik_pa(x_p-x_p^0)/a]H_l^0$
Величина а - характерный размер тела. Для чисто диэлектрического тела, она определяет плоскую волну, с волновым числом
$k=\mp \frac{\omega a(\epsilon \mu-1)}{2c\sqrt{\epsilon\mu}}$, направленным вдоль скорости тела. При этом волновое число от модуля скорости не зависит.
Причем, для величины $\vec E$ и величины $\vec H$ получены одинаковые соотношения, т.е. они связаны линейным соотношением в силу влияния граничных условий, причем от модуля скорости эти величины не зависят. Причем эта связь линейная
$\vec E_i=\alpha_{ik}\vec H_k$, а функции $\alpha_{ik}$ произвольные константы. При этом электромагнитное поле зависит от одной продольной по скорости координате. Из равенств (7) следует следующее соотношение при условии $V^2=1/(\epsilon \mu) $
$\vec V/V\times \sqrt{\mu \epsilon} E_{\perp}=\mu\vec H_{\perp}=\vec B_{\perp}$
$\vec V/V\times \sqrt{\mu \epsilon} \vec H_{\perp}=-\epsilon\vec E_{\perp}=D_{\perp}\eqno(10) $
т.е. перпендикулярные скорости компоненты напряженности образуют плоскую волну, параллельная компоненте скорости напряженность электромагнитного поля равна нулю по доказанной теореме с безразмерным волновым числом, равным
$\vec k=\vec V\sqrt{\mu\epsilon}/V$,
что не совпадает с волновым числом, полученным из уравнений Максвелла. Из не совпадений волновых чисел при произвольной величине частоты следует, что в движущемся теле возможно колебание только при определенной частоте. Из соотношения (10) можно единственным образом определить константы $\alpha_{ik}$, связывающие перпендикулярные компоненты напряженностей электрического и магнитного поля через скорость движения тела. Для произвольного тела эта связь не реализуется, так она соответствует плоской волне с зависимостью от одной координаты. Она реализуется для полупространства с плоской границей. Следовательно, добиться конечного поля для произвольного, двигающегося со скоростью $V^2=1/(\epsilon \mu) $ невозможно. Индукция поля у тела, двигающегося со скоростью $V^2=1/(\epsilon \mu) $ , стремится к бесконечности, значит, тело не может двигаться с этой скоростью. Значит, максимальное значение скорости тела равно его фазовой скорости. Значит, в преобразовании Лоренца вместо скорости света в вакууме в случае диэлектрического тела, надо писать фазовую скорость тела.

[Munin]

myhand
Мне кажется, или вы по кругу ходите? evgeniy из раза в раз повторяет одно и то же конечное утверждение, независимо от того, что ему говорят. Если да - то пора в "Пургаторий" и банить.

[myhand]

evgeniy в сообщении #421862 писал(а):

Делаю предположение, что напряженность электрического и магнитного поля от модуля скорости не зависит.

Но это очевидно неправильное предположение. Вам же объясняли, что в общем случае - зависит. Электромагнитная волна может быть направлена как по, так и против вектора скорости. Да и вообще, в каком-то еще направлении, т.е. непараллельна скорости.

От скорости будет зависеть как дисперсионное соотношение (типа (11)), так и связь между компонентами напряженности электрического и магнитного поля (например (12)).

evgeniy в сообщении #421862 писал(а):

Значит, в преобразовании Лоренца вместо скорости света в вакууме в случае диэлектрического тела, надо писать фазовую скорость тела.

Значит только, что объяснять Вам дальше что-то - бесполезно. И пора снести тему в Пургаторий.
PS: Ну, Munin опередил ;)

[evgeniy]

Мне кажется, что я точно решил задачу определения поля при условии $V^2=1/(\mu \epsilon)$. Поэтому я и не убрал выводы из того, что я вычислил. Когда математика что утверждает, я и делаю выводы. А насчет разного направления скорости, о котором пишет Myhand, то модуль то неизменен. Дифференцируем по модулю, при имеющейся зависимости от направленияю

[Munin]

evgeniy в сообщении #421875 писал(а):

Мне кажется, что я точно решил

Вам неправильно кажется. Но вы настолько убеждены в этом, что не в силах воспринять никаких объяснений. Дальнейший диалог непродуктивен, если только вы не пересилите себя, и не начнёте воспринимать математических выкладок, которых вам уже предоставили достаточно.

[evgeniy]

Дело в том, что Вы не указали мне на ошибку в моих выкладках. Возможно они противоречат выкладкам Myhanda. тОгда мне надо четко сказать в чем отличие, и я постараюсь разобраться.

[Munin]

evgeniy в сообщении #421913 писал(а):

Дело в том, что Вы не указали мне на ошибку в моих выкладках.

Указывал, неоднократно, потом устал. myhand решил с вами ещё повозиться, теперь он указывает вам на ошибки.

evgeniy в сообщении #421913 писал(а):

тОгда мне надо сказать в чем отличие, и я постараюсь разобраться.

Не надо врать. Вам уже неоднократно указывали, в чём отличие, а вы продолжаете долдонить один и тот же вывод. Или вы проявляете добрую волю, и сами начинаете исправлять свои выкладки, или вам веры больше нет.

[myhand]

Что Вам "не указали"? Вот: post419533.html#p419533 - с момента этого поста абсолютно ничего не изменилось.

[evgeniy]

Я то думал, что придется разбираться с решением в волновых числах и искать не соответствие в двух решениях. На указанный мне пост, я уже ответил, и довольно подробно в post421862.html#p421862. пРичем привел и начальные выкладки. Могу описать в чем отличие от предыдущих выкладок.
формула (3) совпадает с моей формулой, если привести подобные члены. НАсчет правила лОпиталя. Действительно, надо было вместо модуля скорости подставить ее значение и тогда окажется, что напряженность электрического и магнитного поля не зависит от модуля скорости, а зависит от направления скорости. нО дифференцирую в правиле ЛОпиталя я по модулю скорости. При дифференцировании вектора скорости по модулю скорости, направление скорости не меняется, значит останется только единичный вектор направления скорости, которое не меняется. Т.е. в применении правила Лопиталя ошибок нет. В чем же у меня ошибки?
А вообще то, мне все равно признаете ли Вы мое решение или нет. Главное я получил результат c Вашей помощью, за что большое спасибо, который подтверждает мои интуитивные представления, о том, что максимальная скорость движения разных тел разная.

[myhand]

evgeniy в сообщении #422036 писал(а):

На указанный мне пост, я уже ответил, и довольно подробно

О каком "ответе" идет речь, когда post421862.html#p421862 совпадает буквально (все "выкладки") с post419526.html#p419526 ?! До фразы

evgeniy в сообщении #419526 писал(а):

Откуда следует, что величина $\vec D_{\parallel}=0$ и моя формула для электрической индукции.

evgeniy в сообщении #422036 писал(а):

Я то думал, что придется разбираться с решением в волновых числах и искать не соответствие в двух решениях.

Придется. Если Вы хотите разобраться - Вам не только это сделать придется, но и открыть курс математического анализа и начать учиться.

[evgeniy]

Об отличиях в двух постах сказано в самом начале и в моем комментарии. Я действительно использовал один и тот же файл, но внес изменения, напряженность электрического и магнитного поля не зависит от модуля скорости. ПРивел я все выкладки, чтобы вы не искали формулы по всему тексту, а чтобы они были у вас под рукой.