Моделирование преобразования кривой...

[ewert]

Нет, чего-то я снова перестал понимать. Надо ведь делить не на тангенс, а на косинус. Т.е. умножать на аналогичную скобку. Т.е. степень вроде как должна быть не минус вторая, а минус первая...

Совсем вы меня запутали.

[AKM]

Пробую распутать (только я про касательную $\tau$ буду, не про нормаль; сами повернёте на $\pm90$, ежели понадобится.

$$\cos\tau=\dfrac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}},\qquad \sin\tau=\dfrac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}$$

(в знаменателях единички, ежели параметризация натуральная). А где здеть тангенса-котангенсы --- не знаю. Ну и на скорость множим, которая есть кривизна (а не радиус кривизны!).

А про какой-нть коэффициент пропорциональности между кривизной и скоростью наш моделист-конструктор забыл?
Положил себе единичкой, и не замечает. Что неестественно (это же какая-то штука, как бы восстанавливающая размерности!). А может от него-то всё или очень многое зависит.
Так что надо семейство семейств кривых строить, прости господи!

[ewert]

AKM в сообщении #303266 писал(а):

А про какой-нть коэффициент пропорциональности между кривизной и скоростью наш моделист-конструктор забыл?

Так у него же она вроде по определению равна единице. (Ну или константе, что не имеет значения, т.к. всего лишь задаёт временной масштаб).

А насчёт степеней Вы меня так и не разубедили. Хотя признаю, что могу и ошибится, и что в знаменателе не первая степень. Но пока что ошибки не вижу.

[alexey007]

Я сейчас объясню, что у меня не получается, я получил вот такую систему уравнений(надеюсь правильно вывел, преобразовывая координаты), за параметр взял букву $s$, не знаю какую удобней взять подскажите, вдруг опять не понравиться буква))): $y'_{t}(s,t)=\frac{(y''_{ss}(s,t)x'_{s}(s,t)-y'_{s}(s,t)x''_{ss}(s,t))x_{s}(s,t)^2}{(x'_{s}(s,t)+y'_{s}(s,t))^2}$,$x'_{t}(s,t)=\frac{(y''_{ss}(s,t)x'_{s}(s,t)-y'_{s}(s,t)x''_{ss}(s,t))x'_{s}(s,t)y'_{s}(s,t)}{(x'_{s}(s,t)+y'_{s}(s,t))^2}$, за начальные условия беру кривую $x(s,0)=f(s)$, $y(s,0)=g(s)$ рассматриваю решение при $t\in[0,T],s\in[0,2\pi]$, а вот в качестве граничных условий $x(0,t)=? и y(0,t)=?, x(2\pi,t)=?, y(2\pi,t)=?$ не знаю что взять, иначе полагаю решать без граничных условий нельзя.

[AKM]

Про константу понял --- позавчера же сам додумался, когда помоделировать попробовал.
Про степени Вы, ewert, наверное, сами тоже с утра всё поймёте.

А вот про граничные условия на концах --- непонятно.

alexey007 в сообщении #303147 писал(а):

Решение такой задачи: $y'_{t}(x,t)=\frac{y''_{xx}(x,t)}{(1+y'_{x}(x,t)^2)^2},y(x,0)=sin({\pi}x),\quad \underbrace{y(0,t)=y(1,t)=0}_{\text{\color{blue}подчеркнуто мной. AKM}},\quad x\in[0,1],\; t\in[0,T]$

Вроде не я один критиковал автора за них, но он не ответил. И вот они присутствуют в постановке задачи.
Картинка тоже с хитростью --- взята полусинусоида, с нулевой кривизной на концах.
Т.е. граничные точки не сдвигаются ---
(а) потому что кривизна так и остаётся нулевой?
(б) потому что автор как-то насильственно (в соотв. с этими граничными условиями) возвращает эти точки на место?

На мой непросвещённый взгляд --- таких граничных условий не имеет права быть.

[alexey007]

AKM, почему вы так против граничных условий? Вы против этих условий вообще или проти того что я их выбрал нулевыми?

[AKM]

Потому что некопенгаген. Потому что до сих пор думал про замкнутую кривую, где их всё же не будет.

(Оффтоп)

Выключил комп, передумал про гр. условия, пришлось опять включить, теперь как бы снова выключаю и сразу такси вызываю.

[ewert]

AKM в сообщении #303284 писал(а):

А вот про граничные условия на концах --- непонятно.

Граничные условия -- просто нулевые. Получается задача типа теплопроводности, в которой коэффициент той самой типа теплопроводности вроде как ограничен (завися от точки, конечно, но не слишком сильно завися, так что всё-таки ограничен, по крайней мере вначале).

Т.е. по меньшей мере при не слишком больших временах -- задача выглядит корректной.

[alexey007]

alexey007 в сообщении #303280 писал(а):

Я сейчас объясню, что у меня не получается, я получил вот такую систему уравнений(надеюсь правильно вывел, преобразовывая координаты), за параметр взял букву $s$, не знаю какую удобней взять подскажите, вдруг опять не понравиться буква))): $y'_{t}(s,t)=\frac{(y''_{ss}(s,t)x'_{s}(s,t)-y'_{s}(s,t)x''_{ss}(s,t))x_{s}(s,t)^2}{(x'_{s}(s,t)+y'_{s}(s,t))^2}$,$x'_{t}(s,t)=\frac{(y''_{ss}(s,t)x'_{s}(s,t)-y'_{s}(s,t)x''_{ss}(s,t))x'_{s}(s,t)y'_{s}(s,t)}{(x'_{s}(s,t)+y'_{s}(s,t))^2}$, за начальные условия беру кривую $x(s,0)=f(s)$, $y(s,0)=g(s)$ рассматриваю решение при $t\in[0,T],s\in[0,2\pi]$, а вот в качестве граничных условий $x(0,t)=? и y(0,t)=?, x(2\pi,t)=?, y(2\pi,t)=?$ не знаю что взять, иначе полагаю решать без граничных условий нельзя.

[paha]

alexey007 в сообщении #303222 писал(а):

Ну допустим уравнения я записал, начальное условие тоже записал, а вот граничные условия не могу поставить для системы.

Заметим следующее: точки перегиба (в частности точки с нулевой кривизной) остаются на месте и никуда не едут. Таким образом достаточно рассмотреть эволюцию кривой, у которой односторонние пределы кривизны на границе области определения обращаются в ноль.




Замечание второе: если кривая содержит отрезок постоянной кривизны, то неизбежно возникнут особенности... по крайней мере они возникают в примере, приведенном мною в

paha в сообщении #302364 писал(а):

ewert в сообщении #303322 писал(а):

Т.е. по меньшей мере при не слишком больших временах -- задача выглядит корректной.

На первый взгляд кажется, что эти времена $T\sim (\min\{k^{-2}(t):t\in[a;b]\})$ -- квадрат минимального радиуса кривизны на исходной кривой

[AKM]

Буква $s$, как я уже писал, нехороша тем, что к ней првыкли относиться как к длине дуги (в большинстве текстов по ДГ), т.е. натуральному параметру. Для него, в частности, ${x'_s}^2 +{y'_s}^2 \equiv 1$. Обеспечить эту натуральность даже для исходной кривой будет зачастую непросто. Беру буковку $p$, и переписываю Вашу формулу

alexey007 в сообщении #303280 писал(а):

$y'_{t}(s,t)=\frac{(y''_{ss}(s,t)x'_{s}(s,t)-y'_{s}(s,t)x''_{ss}(s,t))x_{s}(s,t)^2}{(x'_{s}(s,t)+y'_{s}(s,t))^2}$,$x'_{t}(s,t)=\frac{(y''_{ss}(s,t)x'_{s}(s,t)-y'_{s}(s,t)x''_{ss}(s,t))x'_{s}(s,t)y'_{s}(s,t)}{(x'_{s}(s,t)+y'_{s}(s,t))^2}$, за начальные условия беру кривую $x(s,0)=f(s)$, $y(s,0)=g(s)$ рассматриваю решение при $t\in[0,T],s\in[0,2\pi]$, а вот в качестве граничных условий $x(0,t)=? и y(0,t)=?, x(2\pi,t)=?, y(2\pi,t)=?$ не знаю что взять, иначе полагаю решать без граничных условий нельзя.

более читабельно и с исправлением ошибок (видимо, опечаток) в знаменателе. Один раз объявив, что имеем дело с функциями $x(p,t)$, $y(p,t)$ можно список аргументов не дублировать:

$$x'_{t}(p,t)=\dfrac{y''_{pp}x'_{p}-y'_{p}x''_{pp}}{({x'_{p}}^2+{y'_{p}}^2)^2}y'_{p},\quad y'_{t}(p,t)=-\dfrac{y''_{pp}x'_{p}-y'_{p}x''_{pp}}{({x'_{p}}^2+{y'_{p}}^2)^2}x'_{p}$$

Ой, прерывание. Ни проверить написанное (знаки!?), ни повякать о гр. усл. и нормалях, ни почитать свежее сообщение от paha пока не могу. Отправлю как есть.

[ewert]

Вот желающие могут побаловаться:

Используется синтаксис Matlab M

n=100;
dt=0.000037;
t=0.2;

nt=round(t/dt);
dnt=round(nt/300);

h=1/n;
x=0:h:n*h;
% y=sin(pi*x);
y=sqrt((2-x).*(x+1))-sqrt(2);
z=[];

for k=0:nt
    z=[z; y];
   
    dy=(y(3:n+1)-y(1:n-1))/(2*h);
    d2y=diff(diff(y))/h^2;
    y1=y(2:n) + dt * d2y ./ (1+dy.^2).^(1);
    y1=[0, y1, 0];
    
    dy=(y1(3:n+1)-y1(1:n-1))/(2*h);
    d2y=diff(diff(y1))/h^2;
    y2=y1(2:n) + dt * d2y ./ (1+dy.^2).^(1);
    y2=[0, y2, 0];
    
    y=(y1+y2)/2;
end;

z1=z(1:dnt:nt, : );
mesh(z1);

Начальное условие -- дуга окружности. С ростом времени решение вполне уверенно стремится к нулю. Да и не удивительно -- это ведь всё-таки уравнение типа теплопроводности.

(По координате использовались симметричные разностные производные. По времени -- один из методов Рунге-Кутта второго порядка. Шаг по времени приходится брать маленьким: это всё-таки явная по времени схема, и у неё есть граница устойчивости.)

Да, а решалось уравнение $\displaystyle y'_t={y''_{xx}\over 1+{y'_x}^2}$ с нулевыми граничными условиями. Впрочем, какую там степень в знаменатель ни засади -- ничего принципиально не меняется.

[alexey007]

ewert, можно картинку выложить? А то у меня долго считает и решение не выдает(((:

[paha]

ewert в сообщении #303518 писал(а):

Начальное условие -- дуга окружности

Для дуги окружности можно ничего не проверять - кривизна каждой "эволюционировавшей" кривой постоянна (но у каждой кривой своя), поэтому исходная дуга по сектору стягивается в точку
Пример с дугой окружности был приведен как аргумент против условия неподвижности граничных точек

Вот можно ли так же смоделировать второй пример - кривая, составленная из трех дуг окружностей

[ewert]

alexey007 в сообщении #303525 писал(а):

ewert, можно картинку выложить? А то у меня долго считает и решение не выдает(((:

Я не умею выкладывать картинки (когда-то умел, но забыл, и неохота вспоминать).

Увеличьте шаги по координате и по времени. Например, возьмите n=50 и dt раза в четыре больше (если возникнет неустойчивость -- уменьшите).

paha в сообщении #303529 писал(а):

Пример с дугой окружности был приведен как аргумент против условия неподвижности граничных точек

Как-нибудь на досуге попробую с подвижными границами. Но не сейчас.

paha в сообщении #303529 писал(а):

Вот можно ли так же смоделировать второй пример - кривая, составленная из трех дуг окружностей

Можно всё. Только я не знаю, в чём в точности состоит этот пример.