Моделирование преобразования кривой...

[paha]

AKM в сообщении #303636 писал(а):

правильно ли я понимаю, что, согласившись с требованием непрерывной кривизны, Вы как бы отказались от этой затеи --- про кривую, составленную из трех дуг окружностей? Мне она показалась нереализуемой из-за разрывов кривизны.

в сколь угодно малой окрестности точки разрыва кривизны кривую можно сгладить чтобы она стала бесконечно дифференцируемой

[AKM]

Это понятно, но, все эти способы припишут разные значения кривизны в бывшей точке разрыва. Не удастся также при сглаживании организовать монотонное изменение кривизны от левого значения к правому.

[paha]

в сообщении #303657 писал(а):

AKM в сообщении #303636 писал(а):
правильно ли я понимаю, что, согласившись с требованием непрерывной кривизны, Вы как бы отказались от этой затеи --- про кривую, составленную из трех дуг окружностей? Мне она показалась нереализуемой из-за разрывов кривизны.

например, сгладить можно так
(кривая составлена из дуг окружностей $(x\pm 64)^2+y^2=125^2$ и параболы между ними):

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{125^2-(x-64)^2},&x\in[-61;-36]\\ 123-x^2/27,&x\in[-36;36]\\ \sqrt{125^2-(x+64)^2},&x\in[36;61]\end{array}\right.. $$

Данная функция дважды дифференцируема (проверять сил нет).

Используя закон движения $r=\sqrt{r_0^2-2t}$ точки на дуге окружности полчим, что через время $T=125^264^2/2$ концы нашей кривой заведомо слипнутся... проблемы же начнутся гораздо раньше

Ясно, что плохо себя вести будет любая кривая, содержащая указанный фрагмент. Появление подобных особенностей убедительно показал

vvvv в сообщении #303584 писал(а):

Здесь кривизна откладывалась с коэф.= 1
Изображение

-- Вс мар 28, 2010 18:54:20 --

AKM в сообщении #303663 писал(а):

Не удастся также при сглаживании организовать монотонное изменение кривизны от левого значения к правому.

см. выше

[alexey007]

paha, вы такую хотите кривую промоделировать? Если да могу попробывать и такую кривую в начальные условия поставить и посмотреть как она будет изменяться.

[paha]

нет, не такую) моя должна быть дважды дифференцируемой)

конечно, там должно быть не 27, а 54

[alexey007]

paha, я не понял в чем прикол), что ты хочешь?

[ИСН]

Хочет кривую, сшитую без излома.

[paha]

вот, поленился проверить - теперь шишки полетят

paha в сообщении #303665 писал(а):

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{125^2-(x-64)^2},&x\in[-61;-36]\\ 99-x^2/54,&x\in[-36;36]\\ \sqrt{125^2-(x+64)^2},&x\in[36;61]\end{array}\right.. $$

-- Вс мар 28, 2010 19:45:10 --

alexey007 в сообщении #303684 писал(а):

paha, вы такую хотите кривую промоделировать? Если да могу попробывать и такую кривую в начальные условия поставить и посмотреть как она будет изменяться.

запускайте теперь процесс и скажите где и когда начали появляться особенности

[vvvv]

Вот картинка для эллипса.

[paha]

vvvv в сообщении #303702 писал(а):

Вот картинка для эллипса.

точки в которых все плохо - вне отрезка соединяющего фокусы? Может подскажете параметры Вашего эллипса и координаты этих особенностей?

[AKM]

paha в сообщении #303665 писал(а):

например, сгладить можно так
(кривая составлена из дуг окружностей $(x\pm 64)^2+y^2=125^2$ и параболы между ними):
..............................................................

AKM в сообщении #303663 писал(а):

Не удастся также при сглаживании организовать монотонное изменение кривизны от левого значения к правому.

см. выше

Ну, Ваша парабола сглаживает вообще негладкую кривую, составленную из пересекающихся окружностей. Там, до прихода сглаживающей параболы, не было даже $C^1$-гладкости. Возможно, парабола сглаживает их вплоть до непрерывности кривизны. Ну и монотонность кривизны вряд ли достигнута --- парабола-то явно содержит вершинку.

А до сих пор речь шла о сглаживании разрыва кривизны в точке соприкосновения двух касающихся окружностей. Там нет $C^2$-гладкости, но есть $C^1$.
Пусть кривая выходит из точки $(-c,0)$ под углом $\alpha$ и с кривизной $k_1$; приходит в точку $(c,0)$ с наклоном касательной $\beta$ и кривизной $k_2$.
Условие касания двух кругов кривизны ---

$$ (k_1c+\sin\alpha)(k_2c-\sin\beta)+\sin^2\frac{\alpha+\beta}2=0.$$

Вот таковы были обсуждаемые граничные условия (в частности, $k_1\not= k_2$), и никак не предложенные Вами симметричные ($\alpha=-\beta$, $k_1=k_2$).
Замечу также, что кривая, составленная из этих двух кругов кривизны (с разрывом кривизны в точке их сопряжения), есть единственная кривая с монотонной кривизной, удовлетворяющей данным гр. условиям --- факт, хорошо известный в Computer-Aided Design'e. Но здесь это почти оффтопик.

paha в сообщении #303665 писал(а):

(проверять сил нет)

Я бы, признаться, уже тоже охотно оставил это нечаянно мной спровоцированное обсуждение...

[vvvv]

paha в сообщении #303707 писал(а):

vvvv в сообщении #303702 писал(а):

Вот картинка для эллипса.

Это эллипс с полуосями 2 и 1

точки в которых все плохо - вне отрезка соединяющего фокусы? Может подскажете параметры Вашего эллипса и координаты этих особенностей?

Второй вопрос не понял.

[paha]

AKM в сообщении #303708 писал(а):

Ну, Ваша парабола сглаживает вообще негладкую кривую, составленную из пересекающихся окружностей. Там, до прихода сглаживающей параболы,

что там было до прихода параболы нам до лампочки

AKM в сообщении #303708 писал(а):

Ну и монотонность кривизны вряд ли достигнута

до сих пор о монотонности кривизны речи не шло, а если заходила - я пропустил мимо ушей: монотонность-то тут причем? Но можно мой первый пример до ума довести (дугу большой окружности и дугу малой можно гладко склеить) - будет там монотонность, и особенности будут

Изначально, если мне память не изменяет, речь как раз о замкнутых кривых шла... там у кривизны минимум 4 вершины

-- Вс мар 28, 2010 20:18:08 --

vvvv в сообщении #303713 писал(а):

Второй вопрос не понял.

особые точки - те точки, в которых много линий пересекаются, они на фокальной оси лежат

[AKM]

Локально обсуждалось сглаживание точки разрыва кривизны у кривых, составленных из окружностей. Там локальная задачка, в окрестности этой точки, речи о замнутости и о теореме о четырёх вершинах нет.
По этой теореме, кстати, замкнутую кривую не составить из трёх дуг окружностей. 4 надо...

[paha]

я подитожу:

1) если мы стартуем с любой кривой (отличной от прямой) и смещаемся по нормали (в сторону центра кривизны) со скоростью, равной кривизне, то наша эволюция со временем приводит к образованию особенностей (схлопываний в точку, самопересечений и т.д.)


2) задача с неподвижными граничными точками осмысленна только если при приближении к этим точкам по начальной кривой кривизна стремится к нулю