Задача о двух материальных точках

[anik]

Munin в сообщении #235540 писал(а):

Кстати, из решения можно сделать вывод: если вы свяжете систему отсчёта не с центром масс, а с другой фиксированной точкой на стержне гантели, то в этой системе отсчёта (уже неинерциальной, в общем случае) вращение будет происходить вокруг оси, проходящей через эту точку.

Я с вами согласен. Хочу зафиксировать внимание на том, что среди множества точек на стержне гантели, есть только одна точка: центр масс гантели,которая обладает следующим свойством. Система отсчёта, начало которой совмещено с центром масс гантели, является инерциальной системой отсчёта. А система отсчёта, начало которой совмещено с любой другой точкой на стержне гантели, как вы тоже заметили, не является инерциальной системой отсчёта. Можно ли утверждать, что инерциальные системы отсчёта имеют некоторые преимущества по сравнению с неинерциальными системами отсчёта, в том смысле, что уранения движения будут проще, нам не придётся вводить дополнительные инерционные силы, связанные с ускоренным движением неинерциальной системы отсчёта?

[Munin]

anik в сообщении #235584 писал(а):

Можно ли утверждать, что инерциальные системы отсчёта имеют некоторые преимущества по сравнению с неинерциальными системами отсчёта, в том смысле, что уранения движения будут проще, нам не придётся вводить дополнительные инерционные силы, связанные с ускоренным движением неинерциальной системы отсчёта?

Да.

[anik]

Процитирую "Краткий курс теоретической механики" С.М. Тарг.
"Закон сохранения движения центра масс... если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно"
Для дальнейшего существенно: если система изолирована, то её центр масс движется без ускорения.
Мы задали по условию задачи, что гантель это изолированная система. Предположим, что $m_1<m_2$ и мы связали систему отсчёта с точкой $O$ - сердиной
стержня. В этом случае гантель будет вращаться вокруг точки $O$, и центр масс этой гантели тоже будет вращаться вокруг точки $O$, т.е. двигаться ускоренно. Если центр масс системы движется ускоренно, то, следовательно, на систему действуют внешние силы. Но ведь система задана как изолированная система. Возникает противоречие: для изолированной системы её центр масс движется без ускорения. Если же мы свяжем систему отсчёта с точкой $C$ - центр масс гантели, то никакого противоречия не возникает, т.к. центр масс в этом случае не приобретает никакого ускорения.
У меня вопрос: имеет ли система отсчёта, связанная с центром масс изолированной системы точек, преимущество перед другими системами отсчёта, с точки зрения физики?

[Nemorozov]

Munin в сообщении #235540 писал(а):

Кстати, из решения можно сделать вывод: если вы свяжете систему отсчёта не с центром масс, а с другой фиксированной точкой на стержне гантели, то в этой системе отсчёта (уже неинерциальной, в общем случае) вращение будет происходить вокруг оси, проходящей через эту точку.

Простите, сэр.

А не равносильно ли это утверждение заявлению, что если мы выберем систему отсчета, связанную с центром нашей планеты, то Юпитер, например, начнет вращаться вокруг Земли, а не центра масс Солнце-Юпитер (при принебрежении массами других планет)?

Если вы свяжете систему отсчета не с центром масс, а с другой фиксированной точкой на стержне гантели (относительно которой вы можете описать закон движения масс), то отсюда вовсе не следует, что массы начнут вращаться вокруг вновь выбранной вами оси.

[Munin]

anik в сообщении #235685 писал(а):

Процитирую "Краткий курс теоретической механики" С.М. Тарг.
"Закон сохранения движения центра масс... если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно"
Для дальнейшего существенно: если система изолирована, то её центр масс движется без ускорения.

Это верно в инерциальных системах отсчёта. Тарг не оговаривает это в цитате, но подразумевает. Может быть, оговаривает выше по тексту, или ниже.

anik в сообщении #235685 писал(а):

У меня вопрос: имеет ли система отсчёта, связанная с центром масс изолированной системы точек, преимущество перед другими системами отсчёта, с точки зрения физики?

Нет. Имеет преимущества только с точки зрения вычислений. А с точки зрения физики преимущество имеют инерциальные системы (в том числе указанная) перед неинерциальными.

-- 16.08.2009 22:13:42 --

Nemorozov в сообщении #235715 писал(а):

Простите, сэр.

А не равносильно ли это утверждение заявлению, что если мы выберем систему отсчета, связанную с центром нашей планеты, то Юпитер, например, начнет вращаться вокруг Земли, а не центра масс Солнце-Юпитер (при принебрежении массами других планет)?

Не равносильно (поскольку я говорил о точках, связанных нерастяжимым стержнем). Но тем не менее, если мы выберем систему отсчёта, связанную с центром нашей планеты (я пишу с Земли, вы - могли бы уточнить :-) ), то Юпитер начнёт вращаться вокруг Земли. И Солнце начнёт вращаться вокруг Земли. Правда, делать они это будут по довольно сложным законам, не совпадающим с законами ньютоновской механики.

Nemorozov в сообщении #235715 писал(а):

Если вы свяжете систему отсчета не с центром масс, а с другой фиксированной точкой на стержне гантели (относительно которой вы можете описать закон движения масс), то отсюда вовсе не следует, что массы начнут вращаться вокруг вновь выбранной вами оси.

Следует. Потому что вокруг чего вращаются массы - это деталь описания, а не физической реальности.

[Nemorozov]

Munin в сообщении #235724 писал(а):

Nemorozov в сообщении #235715 писал(а):

Простите, сэр.

А не равносильно ли это утверждение заявлению, что если мы выберем систему отсчета, связанную с центром нашей планеты, то Юпитер, например, начнет вращаться вокруг Земли, а не центра масс Солнце-Юпитер (при принебрежении массами других планет)?

Не равносильно (поскольку я говорил о точках, связанных нерастяжимым стержнем). Но тем не менее, если мы выберем систему отсчёта, связанную с центром нашей планеты (я пишу с Земли, вы - могли бы уточнить ), то Юпитер начнёт вращаться вокруг Земли. И Солнце начнёт вращаться вокруг Земли. Правда, делать они это будут по довольно сложным законам, не совпадающим с законами ньютоновской механики.

А не по этой ли причине, планеты нашей Солнечной системы оказываются не том месте, где должны быть в соответствии с вычислениями, выполненными в СО, связанной с центром Солнца (а не центром масс Солнечной системы), и требуют теперь бесконечное количество поправок, чтобы реальное положение планет соответствовало вычислениям?

[Munin]

Nemorozov в сообщении #235729 писал(а):

А не по этой ли причине, планеты нашей Солнечной системы оказываются не том месте, где должны быть в соответствии с вычислениями, выполненными в СО, связанной с центром Солнца (а не центром масс Солнечной системы), и требуют теперь бесконечное количество поправок, чтобы реальное положение планет соответствовало вычислениям?

Наверное, по этой

[anik]

Nemorozov в сообщении #235715 писал(а):

Munin в сообщении #235540 писал(а):

Кстати, из решения можно сделать вывод: если вы свяжете систему отсчёта не с центром масс, а с другой фиксированной точкой на стержне гантели, то в этой системе отсчёта (уже неинерциальной, в общем случае) вращение будет происходить вокруг оси, проходящей через эту точку.

А не равносильно ли это утверждение заявлению, что если мы выберем систему отсчета, связанную с центром нашей планеты, то Юпитер, например, начнет вращаться вокруг Земли, а не центра масс Солнце-Юпитер (при принебрежении массами других планет)?

При рассматривании движения относительно выбранной системы отсчёта нужно руководствоваться эгоцентрическим принципом: "всё вращается вокруг Меня". (Ведь я же не вращаюсь!). Там где нахожусь Я, там и находится начало выбранной системы отсчёта.
Например, для земного наблюдателя видимый путь Марса на небесной сфере делает петлю. Если бы Я находился на Луне, то траектория Марса с моей позиции была бы ещё более замысловатой.

[Nemorozov]

Munin в сообщении #235724 писал(а):

Но тем не менее, если мы выберем систему отсчёта, связанную с центром нашей планеты (я пишу с Земли, вы - могли бы уточнить ), то Юпитер начнёт вращаться вокруг Земли. И Солнце начнёт вращаться вокруг Земли...

А если, в данном случае, вместо Юпитера мы рассмотрим Венеру, вокруг чего она будет вращаться в СО, связанной с Землей?

[Nik_Svan]

Nemorozov в сообщении #235792 писал(а):

Munin в сообщении #235724 писал(а):

Но тем не менее, если мы выберем систему отсчёта, связанную с центром нашей планеты (я пишу с Земли, вы - могли бы уточнить ), то Юпитер начнёт вращаться вокруг Земли. И Солнце начнёт вращаться вокруг Земли...

А если, в данном случае, вместо Юпитера мы рассмотрим Венеру, вокруг чего она будет вращаться в СО, связанной с Землей?

А если черную дыру? Но в средневековье об этом не знали.

[anik]

Nemorozov в сообщении #235792 писал(а):

Munin в сообщении #235724 писал(а):

Но тем не менее, если мы выберем систему отсчёта, связанную с центром нашей планеты (я пишу с Земли, вы - могли бы уточнить ), то Юпитер начнёт вращаться вокруг Земли. И Солнце начнёт вращаться вокруг Земли...

А если, в данном случае, вместо Юпитера мы рассмотрим Венеру, вокруг чего она будет вращаться в СО, связанной с Землей?

Тоже вокруг Меня, если Я нахожусь на Земле, при условии, что Я нахожусь в начале системы отсчёта.

[Munin]

Nemorozov в сообщении #235792 писал(а):

А если, в данном случае, вместо Юпитера мы рассмотрим Венеру, вокруг чего она будет вращаться в СО, связанной с Землей?

Вокруг Земли. Но по сложной пространственной кривой с завитушками. В центре завитушек будет (случайно :-) ) оказываться Солнце. Кстати, Юпитер тоже будет двигаться не по окружности, а по кривой с завитушками. Правда, Солнца в их центре уже не будет. Оно будет ближе к Земле, на расстоянии полуширины завитушек.

[Someone]

Рассмотрим плоское движение. Соответственно, вращение у нас будет не вокруг оси, а вокруг точки. Желающие могут вложить плоскость в трёхмерное пространство.

Сначала наглядный пример. Если мы смотрим на Луну с Земли, то хорошо видим, что Луна вращается вокруг Земли. Если мы посмотрим на Луну с Солнца, то увидим, что Луна вращается вокруг Солнца по траектории, мало отличающейся от окружности, причём, эта траектория во всех точках обращена вогнутостью к Солнцу и не только не имеет "петель", но даже не кажется "волнистой". Правда, пример этот имеет тот недостаток, что система координат, связанная с Землёй, явно не инерциальная.

Пусть в плоскости задана декартова система координат $Oxy$. Если точка $M(x(t),y(t))$ (равномерно) вращается вокруг (не обязательно неподвижной) точки $C(x_0(t),y_0(t))$, то скорость $(\dot x(t),\dot y(t))$ точки $M$ удовлетворяет соотношениям

$$\begin{cases}\dot x(t)=-\omega(y(t)-y_0(t))\text{,}\\ \dot y(t)=\omega(x(t)-x_0(t))\text{.}\end{cases}\eqno{(1)}$$

Параметр $\omega$ называется угловой скоростью.
Рассмотрим случай $x_0(t)=y_0(t)=0$, то есть, вращение вокруг неподвижного центра. Тогда

$$\begin{cases}\dot x(t)=-\omega y(t)\text{,}\\ \dot y(t)=\omega x(t)\text{.}\end{cases}\eqno{(2)}$$

Предполагая, что $x(0)=R,y(0)=0$, получим из этих уравнений

$$\begin{cases}x(t)=R\cos\omega t\text{,}\\ y(t)=R\sin\omega t\text{.}\end{cases}\eqno{(3)}$$

Теперь рассмотрим систему координат $O'x'y'$, которая движется относительно $Oxy$ в направлении оси $Oy$ с постоянной скоростью $v$. Преобразование координат имеет вид

$$\begin{cases}x=x'\text{,}\\ y=y'+vt\text{,}\end{cases}\eqno{(4)}$$

поэтому уравнения движения точки $M$ преобразуются к виду

$$\begin{cases}x'(t)=R\cos\omega t\text{,}\\ y'(t)=R\sin\omega t-vt\text{,}\end{cases}\eqno{(5)}$$

откуда, дифференцируя (5) и используя соотношения (3) и (4), находим

$$\begin{cases}\dot x'(t)=-R\omega\sin\omega t=-\omega y(t)=-\omega(y'(t)+vt)\text{,}\\ \dot y'(t)=R\omega\cos\omega t-v=\omega\left(x(t)-\frac v{\omega}\right)=\omega\left(x'(t)-\frac v{\omega}\right)\text{.}\end{cases}\eqno{(6)}$$

Из последних соотношений видим, что в системе $O'x'y'$ точка $M$ вращается вокруг движущейся точки $C'\left(\frac v{\omega},-vt\right)$, вовсе не совпадающей с точкой $O$.

Если бы у нас была не одна точка $M$, а твёрдое тело (плоское, естественно), вращающееся с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг точки $O$, то, повторив вычисления для любой другой точки этого тела, мы обнаружили бы, что в системе $O'x'y'$ все точки тела вращаются с одной и той же угловой скоростью $\omega$ вокруг одной и той же точки $C'\left(\frac v{\omega},-vt\right)$, то есть, тело вращается именно вокруг этой точки.

Заметим, что употребление термина "вращается вокруг" в данном случае выглядит парадоксальным. Если скорость $v$ достаточно велика, то точка $M$ будет всё время "болтаться" по одну сторону от точки $C'$, не обходя "вокруг". На самом деле используется термин "мгновенный центр вращения" (в трёхмерном пространстве - "мгновенная ось вращения"). Определяя этот термин, исходят из случая равномерного вращения вокруг неподвижного центра $C_0(x_0,y_0)$, то есть, из формул

$$\begin{cases}x(t)=x_0+R\cos\omega(t-t_0)\text{,}\\ y(t)=y_0+R\sin\omega(t-t_0)\text{,}\end{cases}\eqno{(7)}$$

дифференцируя которые, получаем

$$\begin{cases}\dot x(t)=-\omega(y(t)-y_0)\text{,}\\ \dot y(t)=\omega(x(t)-x_0)\text{,}\end{cases}\eqno{(8)}$$

поэтому мгновенный центр вращения $C(x(t),y(t))$ твёрдого тела определяют условием, чтобы скорости всех точек тела в заданный момент времени $t$ удовлетворяли соотношениям (1), то есть, были такими же, как у тела, равномерно вращающегося вокруг неподвижной точки $C_0$, которая совпадает в этот момент с $C(x(t),y(t))$ (это определяет также и мгновенную угловую скорость).

[anik]

Уважаемый Someone.
Вы говорите о кинематике движения вообще. Допустим, что с кинематикой я знаком.
Меня интересует динамика движения, применительно к "задаче о двух материальных точках". Например: мне хочется знать с какой силой стержень действует на материальные точки, заставляя их двигаться по окружности вокруг центра масс. Эта сила, как я понимаю, не зависит от движения каких бы то ни было наблюдателей. Эта сила не может зависеть также от произвола выбора системы отсчёта.

[ewert]

anik в сообщении #235862 писал(а):

Например: мне хочется знать с какой силой стержень действует на материальные точки, заставляя их двигаться по окружности вокруг центра масс.

Знайте: $\displaystyle{m\omega^2l\over2}.$