Существует ли биекция между вычислимыми числами и нат.?

[Droog_Andrey]

epros писал(а):

Я не понимаю Ваших претензий. "Информация о том, что..." содержится в самой импликации.

Не-а. Информацию об этом мы туда привносим, подменя импликацию причинностью.

epros писал(а):

Если в Вашем багаже знаний имеется несколько утверждений, имеющих форму импликации, то именно они определяют соответствующие причинно-следственные связи.

Вот-вот. Мы подходим к развязке.

Импликация есть информация о причинности. Знания о причинно-следственных связях записываются импликациями. Однако сами импликации такими связями, строго говоря, не являются.

Наличие информации об объекте ещё не говорит о наличии самого объекта. Другими словами, на сарае может быть написано, гм, что-нибудь нецензурное, а там на самом деле дрова. Вообще же говоря, подмена объекта информацией о нём - основа, пожалуй, большинства парадоксов.

Вот, например, классический парадокс о том, что живое равно мёртвому. Полуживое равно полумёртвому, - а раз равны половины, то равны и целые. Фишка парадокса в том, что в рассуждении "а раз равны половины, то равны и целые" понятие "равны" относится к самим объектам, а понятие "половины" - к информации о них (а именно о степени живости).

Но это уже чутка другая тема.

[маткиб]

epros в сообщении #185725 писал(а):

Отказываюсь. Лучше уж Вы обоснуйте, что у конструктивного анализа будут какие-то проблемы сравнительно с отсутствием таковых у классической математики. Я никаких особых проблем не вижу.

Я не представляю, как Вы собираетесь доказывать существование решения интегрального уравнения. Можно конечно и без интегрального, уравнения максвелла втупую решать, но это с вычислительной точки зрения, мягко говоря, не выгодно.

epros в сообщении #185725 писал(а):

Определяется выбранным Вами синтаксисом.

Синтаксисом и интерпретацией

epros в сообщении #185725 писал(а):

Это значит, что любой предложенный Вами уровень меня устроит.

Формулы языка арифметики Пеано. Интерпретация - стандартная модель арифметики. Устроит?

epros в сообщении #185725 писал(а):

Эта сущность настолько вымышленная, что я вообще не понимаю, о чём Вы говорите.

Вот там есть определение понятия интерпретации:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Логика_предикатов

epros в сообщении #185725 писал(а):

Я исхожу из того, что высказывание должно содержать в себе всё необходимое для его однозначной "интерпретации"

Высказывание не может содержать всё, ибо это просто строка символов. Должен быть способ, который ставит в соответствие текстам "смысл" или "трактовку".

epros в сообщении #185725 писал(а):

Если Вы полагаете, что такого быть не может (а это вполне разумная точка зрения), то значит нам с Вами остаётся только согласиться на том, что никакое теоретическое знание невозможно, ибо любое теоретическое утверждение можно "интерпретировать" как угодно, вплоть до прямо противоположных смыслов.

Это уж очень деструктивно. Какое-то понимание люди всё-таки достигают, и даже практические результаты какие-то получаются, поэтому неразумно так вот всё отрицать. Но естественный язык очень расплывчат, причём некоторые фразы понимаются практически однозначно, а некоторые - почти всегда по-разному, поэтому нельзя считать понятие высказывания само собой разумеющимся.

Добавлено спустя 4 минуты 56 секунд:

epros в сообщении #185725 писал(а):

Я, конечно, не отрицаю интуицию и опыт полностью, но основывать на них одних ВСЁ наше теоретическое знание... По-моему это нонсенс.

А что Вы предлагаете взамен?

[Утундрий]

Droog_Andrey писал(а):

Вот, например, классический парадокс о том, что живое равно мёртвому. Полуживое равно полумёртвому, - а раз равны половины, то равны и целые. Фишка парадокса в том, что в рассуждении "а раз равны половины, то равны и целые" понятие "равны" относится к самим объектам, а понятие "половины" - к информации о них (а именно о степени живости).

Но это уже чутка другая тема.

Павлины, говоришь... То есть, другая тема, говорите? Это не та ли самая-с, которая: "одна лошадь, очевидно, имеет одинаковый цвет. Следовательно, рассуждая по индукции - все лошади имеют одинаковый цвет!" ?

[Someone]

Nxx в сообщении #185534 писал(а):

Цитата:

В смысле конструктивного рекурсивного анализа - невычислима. В смысле возможности со временем определить хоть тысячный разряд, хоть стотысячный - вычислима.

Неправда. Тогда это число было бы вычислимым.

Вы не правы. В моём утверждении вычислимость упоминается дважды, причём, в разных смыслах. Первый раз - вычислимость в смысле CRA, который Вы здесь представляете, то есть, алгоритмическую вычислимость. Кстати, в классической математике (точнее, в рекурсивном анализе RA; не вздумайте вслед за eprosом сказать, что RA - это то же самое, что CRA) вычислимость также обычно понимается в этом смысле, то есть, как алгоритмическая вычислимость. Существует, конечно, тезис Чёрча со товарищи, который утверждает, что всякая вычислимость есть алгоритмическая вычислимость. Однако он (тезис) даже не является математическим утверждением, ибо, в отличие от термина "алгоритмическая вычислимость", термин "вычислимость вообще" не определён. Вообще говоря, естественное понимание вычислимости действительного числа означает, что мы каким-то образом (не обязательно пользуясь заранее сочинённым алгоритмом) можем узнать, например, сколь угодно точное рациональное приближение этого числа. Однако это опять же не математическое определение, поскольку не указаны разрешённые средства. И при таком понимании вычислимости тезис Чёрча заведомо недоказуем.

Ну давайте рассмотрим эту злосчастную "омегу". Что нам нужно сделать, чтобы вычислить тысячу двоичных цифр этого числа? Нам нужно рассмотреть тысячу алгоритмов, записанных в некоем специальном языке, и о каждом из них выяснить, останавливается он или не останавливается. Почему этого нельзя сделать? Вы делаете категорические утверждения, поэтому Вам их и доказывать.

Nxx в сообщении #185534 писал(а):

В классической математике разряды омеги считаются вычислимыми в другом смысле - если их заранее знать, то можно написать программу, которая их выводит, причем программа для печати разрядов омеги должна быть длинее самого куска, который она печатает (то есть, заранее содержать всю информацию).

Неправда. Во-первых, термин "вычислимость", как я сказал, в RA понимается так же, как в CRA, то есть, как алгоритмическая вычислимость. Во-вторых, если говороить о заранее известной конечной последовательности двоичных цифр, то в CRA она точно так же вычислима, как в RA, и тем же способом. Последнее утверждение (о длине программы) отношения к обсуждаемому вопросу не имеет.

Nxx в сообщении #185534 писал(а):

Если разряды заранее не знать, то и вычислить их невозможно.

Так всё-таки, пусть имеется вполне определённый алгоритм и вполне определённые входные данные к нему. Почему нельзя узнать про данный конкретный алгоритм с конкретными исходными данными, остановится он или нет? Вы можете указать такой алгоритм и данные к нему? Вы ведь опять делаете очень категорические утверждения, не утруждая себя доказательствами.

Nxx в сообщении #185534 писал(а):

Цитата:

То есть, имея совершенно конкретный алгоритм с совершенно конкретными входными данными, невозможно определить, остановится он или нет?

Если алгоритм не остановится, но ты об этом не знаешь, хрен ты определишь, остановится ли он когда-либо.

Фу, как грубо! Почему это я не узнаю? Это, вообще говоря, может быть сложной задачей, но почему она неразрешима? Или в качестве метода решения Вы признаёте только унылое сидение около монитора в ожидании конца вычислений?

А Вы в курсе, что в Вашем любимом CRA специально для этого есть принцип Маркова? "Если опровергнуто, что алгоритм не останавливается, то он останавливается." Безобидно звучит, совершенно естественно для CRA. Правда? Однако в своё время он вызвал массу споров среди приверженцев CRA. Поскольку из CRA доказательства "от противного" изгнаны через дверь, а принцип Маркова их протаскивает через форточку.

Можно на этот принцип взглянуть чуть с другой стороны. Обозначим $P(n)$ утверждение, что рассматриваемый нами алгоритм останавливается на шаге $n$. Даже если CRA непротиворечив, вполне возможна ситуация, когда доказуемы утверждение
а) $\neg\forall n\neg P(n)$ и
б) каждое из утверждений $\neg P(1)$, $\neg P(2)$, $\neg P(3)$,..., $\neg P(n)$,...
(а утверждение $\forall n\neg P(n)$ не доказуемо).
Это означало бы $\omega$-противоречивость CRA. Или Вы будете утверждать, что $\omega$-непротиворечивость CRA доказана финитными средствами? Ах да, я же забыл, epros как-то заявлял, что CRA железно обоснован нарисованными им собственноручно палочками...

juna в сообщении #185608 писал(а):

Отсюда можно сделать индуктивный вывод: фанатик - это тот человек, чье мнение не согласуется с мнением Someone

Нельзя. Если бы Вы следили за обсуждениями с моим участием, могли бы вспомнить некоторое количество случаев, когда я признавал, что был не прав. Один такой случай был в дискуссии с eprosом. Но человек, который считает, что CRA полностью обоснован рисованием забора из палочек на листе бумаги, а вся классическая математика - это ерунда, годная только как источник головоломок для развлечения, и совершенно не приемлющий других точек зрения, безусловно является фанатиком.

epros в сообщении #185677 писал(а):

Я тоже не понимаю. Но это вы (классические математики) обычно в ответ на вопрос, откуда Вы взяли закон исключённого третьего, приводите в качестве его обоснования предположение о том, что ответы на все вопросы где-то (или у кого-то) есть, независимо от того, знаем мы их или нет. Я всего лишь попытался формализовать это предположение.

Для меня, например, закон исключённого третьего не очевиден по одной простой причине: Если задача достаточно сложная, так что уже многие поколения математиков + масса привлечённых вычислительных ресурсов не смогли её пока что решить, то не исключено, что эта задача никогда, никем и нигде не будет решена. Что равносильно отсутствию решения в принципе. А закон исключённог третьего зачем-то такую возможность исключает

Не исключает. Он вообще не имеет отношения к наличию или отсутствия решения какой-либо задачи. Он в данном случае просто утверждает, что решение либо есть, либо нет. Если его нет (в данной теории), то его, естественно, не найдут. Но можно попытаться построить расширенную теорию и поискать решение в ней. Если же решение есть, то, может быть, его когда-нибудь найдут. Если оно не требует чрезмерного количества ресурсов.

Nxx в сообщении #185690 писал(а):

На практике невозможно разрезать сферу на две конечным количеством движений ножницами. Так что, на практике получается противоречие теории.

Ножницами??? По-моему, это наглая ложь с целью компрометации. Или безграмотность. Но если Вы не знаете точной формулировки утверждения и не понимаете его смысла, лучше воздержаться от категорических утверждений. И крайне желательно не путать математические теории с реальным миром. Во-первых, речь идёт не о сферах, а о шарах. Во вторых, это утверждение всего-навсего означает, что множество точек шара равномощно множеству точек объединения двух шаров. Просто взаимно однозначное соответствие, построенное для этих множеств, обладает достаточно удивительным свойством: каждый из шаров разбивается на конечное число подмножеств, на которых это соответствие является изометрией.

Nxx в сообщении #185675 писал(а):

Принцип дополнительности говорит о том, что каждая последующая физическая теория является уточнением предыдущих, а не опровержением, так как имеющиеся теории подтверждены с довольно высокой точностью.

Это называется принципом соответствия.

Nxx в сообщении #185665 писал(а):

Математического доказательства этому быть не может, но физическим законам такие вещи противоречат, и это очевидно. Известны, например, физические пределы на объем информации, который можно записать в некоторую область пространства, на максимальную частоту, на количество энергии, необходимой для совершения логической операции и т.д. Ожидать, что можно за конечное время проделать бесконечное количество вычислений или использовать бесконечные объемы памяти, неразумно.

Да неужели? А почему это Вы мне возражали, когда я сказал, что в реальном мире нет машин Тьюринга? Физическая модель машины Тьюринга требует неограниченных ресурсов (времени и памяти). А для ограниченного устройства всегда можно подобрать задачу, решаемую машиной Тьюринга, но не решаемую этим устройством.

epros в сообщении #185725 писал(а):

По-моему, интуиция и опытные подтверждения - это полная фигня. Интуиция с моей точки зрения приобретается с опытом (порой неудачным), поэтому часто подводит. А опыт сам по себе:
1. Весьма ограничен, т.е. конечное количество доступных нам фактов никогда не могут в полной мере подтвердить даже самую простенькую теорию (остаётся куча непроверенных выводов).
2. Критически зависим от интерпретации, вплоть до того, что большинство фактов можно трактовать как в поддержку теории, так и против неё.
3. С учётом того, что все теории имеют ограниченные сферы применения, те или иные факты могут весьма произвольно трактоваться как относящиеся к её сфере применения или не относящиеся.
4. И наконец, что имеет непосредственное отношение к заданному вопросу: Когда речь идёт о сложной проблеме, решение которой неизвестно, то с вероятностью 99.99% опытным путём её разрешить также не удастся (по крайней мере в обозримом будущем).

Я, конечно, не отрицаю интуицию и опыт полностью, но основывать на них одних ВСЁ наше теоретическое знание... По-моему это нонсенс.

Ещё одно откровение. А кто-то недавно уверял меня, что интуитивных представлений о формально не определяемых строках более чем достаточно для надёжного обоснования CRA...

[Nxx]

Цитата:

Нам нужно рассмотреть тысячу алгоритмов, записанных в некоем специальном языке, и о каждом из них выяснить, останавливается он или не останавливается. Почему этого нельзя сделать? Вы делаете категорические утверждения, поэтому Вам их и доказывать.

Вообще-то, давно доказано, что задача останова нерешаема.

Цитата:

Неправда. Во-первых, термин "вычислимость", как я сказал, в RA понимается так же, как в CRA, то есть, как алгоритмическая вычислимость. Во-вторых, если говороить о заранее известной конечной последовательности двоичных цифр, то в CRA она точно так же вычислима, как в RA, и тем же способом.

Вы заблуждаетесь. В слассической теории доказывается, что такая конечная последовательность разрядов есть, из этого делается вывод о вычислимости. В конструктивной теории нужно предъявить алгоритм вычисления, а этого сделать невозможно, не смотря на то, что последовательность конечная.

Цитата:

Так всё-таки, пусть имеется вполне определённый алгоритм и вполне определённые входные данные к нему. Почему нельзя узнать про данный конкретный алгоритм с конкретными исходными данными, остановится он или нет?

Потому что единственный способ проверить, остановится ли этот алгоритм, в общем случае, - это запустить этот алгоритм и посмотреть. Но если он не остановится, а ты об этом не знаешь, ты никогда не будешь знать, остиановится ли он когда-либо.

Цитата:

Да неужели? А почему это Вы мне возражали, когда я сказал, что в реальном мире нет машин Тьюринга? Физическая модель машины Тьюринга требует неограниченных ресурсов (времени и памяти). А для ограниченного устройства всегда можно подобрать задачу, решаемую машиной Тьюринга, но не решаемую этим устройством.

Этим занимается теория сложности, которая еще больше приближает нас к реальному миру.

Добавлено спустя 1 час 3 минуты 21 секунду:

Цитата:

Если рассматривать физику как науку о материи и материальных объектах, а математику - как науку об информации и информационных объектах, то причинность - понятие математическое и представляет собой преобразование информации.

Я с вами не согласен. Убежден, что в математике никакой причинности нет. Если y=f(x), то и x=g(y). Ни то, ни другое не является ни причиной, ни следствием, хотя имеется корреляция. Причинность - понятие физическое и связано с анизотропией времени.

[epros]

Droog_Andrey писал(а):

epros писал(а):

Я не понимаю Ваших претензий. "Информация о том, что..." содержится в самой импликации.

Не-а. Информацию об этом мы туда привносим, подменя импликацию причинностью.

Информацию о причинности мы привносим (не знаю знаю уж куда), привнося (в это же место) утверждение, имеющее форму импликации. Не было там такого утверждения - не было и информации о причинности, появилось утверждение - появилась и информация о причинности.

Droog_Andrey писал(а):

Импликация есть информация о причинности. Знания о причинно-следственных связях записываются импликациями. Однако сами импликации такими связями, строго говоря, не являются.

Чем не являются? Информация (это то же самое, что "знание") обычно записывается в форме неких утверждений. И это всё, что у нас есть. Рассуждая о чём бы то ни было, Вы излагаете своё знание, выдавая на гора некие утверждения. Некоторые из этих утверждений - это утверждения о причинно-следственных связях, вот и всё. Чем ещё они должны "являться"?

Droog_Andrey писал(а):

Наличие информации об объекте ещё не говорит о наличии самого объекта. Другими словами, на сарае может быть написано, гм, что-нибудь нецензурное, а там на самом деле дрова.

Наличие соответствующей информации говорит кое-что об объекте тому, кто этой информации доверяет. Вот Вам информация об объекте Земля: "Земля вращается вокруг Солнца". Вы ей доверяете? В общем-то, это Ваше дело. Но если доверяете, то она кое что "говорит" Вам об объекте. А если не доверяете, то на нет и суда нет.

К сожалению, нет идеального критерия, который бы расставил всё по полочкам и указал, каким утверждениям можно доверять, а каким нет. Вот мы с Вами соответствующим утверждениям об устройстве Солнечной системы доверяем, а надписям на сараях - нет.

Droog_Andrey писал(а):

Вообще же говоря, подмена объекта информацией о нём - основа, пожалуй, большинства парадоксов.

Подменить объект информацией о нём невозможно, потому что для этого нужно иметь в своих ячейках памяти сам объект. А такого не бывает.

Добавлено спустя 1 час 8 минут 46 секунд:

маткиб писал(а):

Я не представляю, как Вы собираетесь доказывать существование решения интегрального уравнения. Можно конечно и без интегрального, уравнения максвелла втупую решать, но это с вычислительной точки зрения, мягко говоря, не выгодно.

Да объясните, в чём же здесь специфически конструктивистская проблема? Сложные задачи есть везде, в том числе и в прикладных областях. Но я что-то никак не пойму, чем неконструктивные методы так уж радикально облегчат жизнь прикладнику?

маткиб писал(а):

Синтаксисом и интерпретацией

А по-моему только синтаксисом. Если я правильно понимаю, интерпретация Вам нужна для того, чтобы приобрести такую неуловимую вещь, как "смысл". А для установления корректности высказывания это не нужно, достаточно иметь аналитическую грамматику, которая для любого предъявленного буквосочетания скажет Вам, "высказывание" это или нет.

маткиб писал(а):

Формулы языка арифметики Пеано. Интерпретация - стандартная модель арифметики. Устроит?

Пожалуйста. Если Вы накладываете какие-то ограничения на совокупность допустимых формул, то это Ваш выбор. Я Вас ничем не ограничиваю.

маткиб писал(а):

epros в сообщении #185725 писал(а):

Эта сущность настолько вымышленная, что я вообще не понимаю, о чём Вы говорите.

Вот там есть определение понятия интерпретации:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Логика_предикатов

Попробую понять, хотя пока смотрю на всё это как на Филькину грамоту.

маткиб писал(а):

Высказывание не может содержать всё, ибо это просто строка символов. Должен быть способ, который ставит в соответствие текстам "смысл" или "трактовку".

Давайте запишем этот "смысл" или "трактовку" формально и присовокупим к высказыванию. Я Вас ни в чём не ограничиваю, можете "пояснять" и "уточнять" "смысл" высказывания хоть до бесконечности (Вы же считаете, что в принципе существует возможность досчитать до бесконечности).

маткиб писал(а):

Это уж очень деструктивно. Какое-то понимание люди всё-таки достигают, и даже практические результаты какие-то получаются, поэтому неразумно так вот всё отрицать. Но естественный язык очень расплывчат, причём некоторые фразы понимаются практически однозначно, а некоторые - почти всегда по-разному, поэтому нельзя считать понятие высказывания само собой разумеющимся.

Я знаю, что "какое-то" понимание люди иногда достигают (как им кажется). Но эти расплывчатые "как-то" и "где-то" меня не устраивают: Либо мы с Вами конкректно договариваемся о том, в чём у нас с Вами есть общее понимание, либо мы приходим к тому, что такого пункта нам найти не удалось. У конструктивного анализа на этот счёт есть свой рецепт: Выносить все "интерпретации" всяких мутных "смыслов", возможность достижения по которым единого понимания сомнительна, за пределы математики, т.е. относить их к проблемам неоднозначности применения формальных теорий. А в пределах математики в качестве фундаментальной аксиоматики остаётся только то, что заведомо понимаемо всеми одинаково (хотя сам факт такого однозначного понимания формально недоказуем и его приходится принимать на веру).

маткиб писал(а):

epros в сообщении #185725 писал(а):

Я, конечно, не отрицаю интуицию и опыт полностью, но основывать на них одних ВСЁ наше теоретическое знание... По-моему это нонсенс.

А что Вы предлагаете взамен?

Это не такой простой вопрос, чтобы ответить в двух словах. Если вкратце, то могу утверждать только, что никакого простого формального "критерия истины" быть не может. Т.е. нельзя несколькими словами (типа "интуиция", "опыт" или, скажем, "практика") чётко объяснить, почему (и в каких случаях) одни теории следует принимать, а другие нет. У теорий много разных "показателей качества". Например, простота применения, широта предметной области, глубина проработки прикладных вопросов, стабильность (важно с точки зрения того, успеем ли мы научить этой теории кого-то за то время, пока она не претерпела изменений), даже такие вещи, как соответствие базовым ценностям социума, порой приходится принимать во внимание.

[Xaositect]

Nxx в сообщении #185766 писал(а):

Цитата:

Да неужели? А почему это Вы мне возражали, когда я сказал, что в реальном мире нет машин Тьюринга? Физическая модель машины Тьюринга требует неограниченных ресурсов (времени и памяти). А для ограниченного устройства всегда можно подобрать задачу, решаемую машиной Тьюринга, но не решаемую этим устройством.

Этим занимается теория сложности, которая еще больше приближает нас к реальному миру.

И в которой успешно получаются результаты с помощью классической алгебры и теории вероятностей.

Nxx в сообщении #185766 писал(а):

Цитата:

Так всё-таки, пусть имеется вполне определённый алгоритм и вполне определённые входные данные к нему. Почему нельзя узнать про данный конкретный алгоритм с конкретными исходными данными, остановится он или нет?

Потому что единственный способ проверить, остановится ли этот алгоритм, в общем случае, - это запустить этот алгоритм и посмотреть. Но если он не остановится, а ты об этом не знаешь, ты никогда не будешь знать, остиановится ли он когда-либо.

Рассмотрим алгоритм, который принимает на фход формулу, на одной ленте печатает все выводимые предложения формальной арифметики, на другой опровержимые, и останавливается, если напечатает входную формулу. Подадим ему на вход геделевскую формулу. Вы действительно не знаете, остановится ли он?

[epros]

Someone писал(а):

Ах да, я же забыл, epros как-то заявлял, что CRA железно обоснован нарисованными им собственноручно палочками...

Неужели так прямо и заявил, что "железно обоснован"?

Someone писал(а):

Но человек, который считает, что CRA полностью обоснован рисованием забора из палочек на листе бумаги, а вся классическая математика - это ерунда, годная только как источник головоломок для развлечения, и совершенно не приемлющий других точек зрения, безусловно является фанатиком.

А по-моему, фанатик, это человек, который не слышит, что именно ему говорит человек, высказывающий точку зрения, отличную от его собственной. Это ВЫ, Someone.

Someone писал(а):

Не исключает. Он вообще не имеет отношения к наличию или отсутствия решения какой-либо задачи. Он в данном случае просто утверждает, что решение либо есть, либо нет.

Вот это логика! Я просто в шоке.
Т.е. он не имеет отношения "к наличию или отсутствию решения", но в то же время утверждает, что оно "либо есть, либо нет". А "есть" и "нет" это разве не "наличие" и "отсутствие" соответственно?

Обращаю также Ваше внимание, что речь была не об утверждении о том, что "решение либо есть, либо нет", а о том, что решение является положительным или отрицательным.

Someone писал(а):

Если его нет (в данной теории), то его, естественно, не найдут. Но можно попытаться построить расширенную теорию и поискать решение в ней. Если же решение есть, то, может быть, его когда-нибудь найдут. Если оно не требует чрезмерного количества ресурсов.

Если бы Вы потрудились внимательнее отнестись к тому, что я говорю, то Вы бы заметили, что я не говорил о конкретной теории, в рамках которой нам только и "разрешается" искать решение, и даже не о каких-то конкретных её расширениях. Я сказал: "... не исключено, что эта задача никогда, никем и нигде не будет решена". Вопрос заключался в том, на каком основании Вы утверждаете (посредством закона исключённого третьего), что решение этой задачи - "положительное или отрицательное", т.е. что оно так или иначе существует?

Someone писал(а):

Ещё одно откровение. А кто-то недавно уверял меня, что интуитивных представлений о формально не определяемых строках более чем достаточно для надёжного обоснования CRA...

Помнится, я говорил о том, что однозначное понимание теории обеспечивается общеочевидностью её аксиом (являющихся всего лишь утверждениями о простых свойствах строк). Речь идёт о фундаментальных теориях (типа арифметики Пеано), которые считаются состоятельными безо всяких ограничений. Такие теории просто не на чем больше основывать. Не знаю, насколько правильно такие общеочевидные вещи называть "интуицией". Если это и "интуиция", то она весьма далека от той интуиции, посредством которой принимается какая-нибудь аксиома выбора.

[маткиб]

epros писал(а):

маткиб писал(а):

Я не представляю, как Вы собираетесь доказывать существование решения интегрального уравнения. Можно конечно и без интегрального, уравнения максвелла втупую решать, но это с вычислительной точки зрения, мягко говоря, не выгодно.

Да объясните, в чём же здесь специфически конструктивистская проблема? Сложные задачи есть везде, в том числе и в прикладных областях. Но я что-то никак не пойму, чем неконструктивные методы так уж радикально облегчат жизнь прикладнику?

Хорошо. Попытаемся выяснить, что Вы вообще знаете из анализа. Вы знаете, как формулируется и доказывается теорема о существовании решения задачи Коши?
http://ru.wikipedia.org/wiki/Коши_задача
(не важно, в обычном анализе или конструктивном).
По поводу прикладной пользы: погрешность численных методов легче оценивать, если известно, что решение существует (можно рассматривать разность между найденным решением и настоящим и вывести для этой разности какие-то соотношения).

epros писал(а):

маткиб писал(а):

Синтаксисом и интерпретацией

А по-моему только синтаксисом. Если я правильно понимаю, интерпретация Вам нужна для того, чтобы приобрести такую неуловимую вещь, как "смысл". А для установления корректности высказывания это не нужно, достаточно иметь аналитическую грамматику, которая для любого предъявленного буквосочетания скажет Вам, "высказывание" это или нет.

Грамматика - это уже относится к формальной теории (т.е. к доказательству утверждений), а формулировка утверждений не привязана к формальной теории, формальную теорию и расширять можно, не изменяя формулировки доказываемого утверждения, добавляя гёделевские аксиомы или другим способом. Мы же это обсуждали сто раз, вы так ничего и не вынесли из этого обсуждения что ли?

epros писал(а):

маткиб писал(а):

Формулы языка арифметики Пеано. Интерпретация - стандартная модель арифметики. Устроит?

Пожалуйста. Если Вы накладываете какие-то ограничения на совокупность допустимых формул, то это Ваш выбор. Я Вас ничем не ограничиваю.

А к чему это вообще было? Вы там что-то доказывали что ли?

epros писал(а):

маткиб писал(а):

Высказывание не может содержать всё, ибо это просто строка символов. Должен быть способ, который ставит в соответствие текстам "смысл" или "трактовку".

Давайте запишем этот "смысл" или "трактовку" формально и присовокупим к высказыванию. Я Вас ни в чём не ограничиваю, можете "пояснять" и "уточнять" "смысл" высказывания хоть до бесконечности (Вы же считаете, что в принципе существует возможность досчитать до бесконечности).

А Вы пробовали определить понятие "записать формально"? Откуда такая уверенность, что это нечто само собой разумеющееся? Вы понимаете, что для понимания выссказывания Вы должны быть знакомы хотя бы с языком, на котором оно записано (русским, например), и в самом высказывании этой информации нет. Если бы мама Вас не научила русскому языку, то Вы бы и не поняли никогда высказывания, сколько бы уточнений в нём не было. А в математике вообще куча примеров таких абстракций, которые для понимания требуют того, чтобы понимающий "самостоятельно додумался" до этой абстракции, и пока он не додумается, бесполезно ему словами это объяснять и уточнять. Самый простой пример - множество натуральных чисел. Ну если не понимает человек, что все "строки вертикальных палочек" можно рассмотреть как единую совокупность, то словесные уточнения ему не помогут. "Озарение" должно возникнуть, короче (но гарантии нет, что оно возникнет).

epros писал(а):

Я знаю, что "какое-то" понимание люди иногда достигают (как им кажется). Но эти расплывчатые "как-то" и "где-то" меня не устраивают: Либо мы с Вами конкректно договариваемся о том, в чём у нас с Вами есть общее понимание, либо мы приходим к тому, что такого пункта нам найти не удалось.

Стандартная позиция конструктивистов: они хотят, чтобы ИХ УБЕДИЛИ, что используемые в математике методы имеют право на существование. И при этом забывают, что основная задача математики не в том, чтобы "убедить самого непонятливого", а в получении результатов, которые могут иметь применение, и что никто этих "непонятливых" математикой заниматься не заставляет.

epros писал(а):

У конструктивного анализа на этот счёт есть свой рецепт: Выносить все "интерпретации" всяких мутных "смыслов", возможность достижения по которым единого понимания сомнительна, за пределы математики, т.е. относить их к проблемам неоднозначности применения формальных теорий. А в пределах математики в качестве фундаментальной аксиоматики остаётся только то, что заведомо понимаемо всеми одинаково (хотя сам факт такого однозначного понимания формально недоказуем и его приходится принимать на веру).

У конструктивного анализа та же самая проблема: для кого-то его абстракции будут сомнительными, так что он принципиально в этом смысле ничем не лучше классического. Всё равно придётся смириться с тем, что эта наука не для всех, а для избранных. И чем шире круг "избранных", тем слабее будут результаты.

Добавлено спустя 9 минут 59 секунд:

epros в сообщении #185802 писал(а):

Речь идёт о фундаментальных теориях (типа арифметики Пеано), которые считаются состоятельными безо всяких ограничений.

Кстати, если уж быть точным, то арифметика Пеано основана на актуальной бесконечности. Например, она содержит закон исключенного третьего, который подразумевает, что любая формула либо истинна, либо ложна (а определение истинности - это уже бесконечный перебор). Более того, есть ещё аксиома индукции, которая подразумевает, что определить истинность можно сразу для бесконечного множества формул!

[Nxx]

Цитата:

Рассмотрим алгоритм, который принимает на фход формулу, на одной ленте печатает все выводимые предложения формальной арифметики, на другой опровержимые, и останавливается, если напечатает входную формулу. Подадим ему на вход геделевскую формулу. Вы действительно не знаете, остановится ли он?

Я не утверждал, что для любого алгоритма нельзя определить, остановится ли он. Но в общем случае эта задача неразрешима. Более того, согласно теореме Геделя, существуют алгоритмы, которые никогда не остановятся, но доказать это невозможно.

[epros]

маткиб писал(а):

Хорошо. Попытаемся выяснить, что Вы вообще знаете из анализа. Вы знаете, как формулируется и доказывается теорема о существовании решения задачи Коши?
http://ru.wikipedia.org/wiki/Коши_задача
(не важно, в обычном анализе или конструктивном).

Это ещё зачем?

маткиб писал(а):

По поводу прикладной пользы: погрешность численных методов легче оценивать, если известно, что решение существует (можно рассматривать разность между найденным решением и настоящим и вывести для этой разности какие-то соотношения).

Вполне очевидно, что если существование этого "настоящего" решения доказано неконстуктивными методами, то реально решения в Вашем распоряжении нет, а стало быть и разности этой нет. Вы, конечно, можете "вывести для этой разности какие-то соотношения" неконструктивными методами. Но что толку, я не пойму?

маткиб писал(а):

Грамматика - это уже относится к формальной теории (т.е. к доказательству утверждений), а формулировка утверждений не привязана к формальной теории, формальную теорию и расширять можно, не изменяя формулировки доказываемого утверждения, добавляя гёделевские аксиомы или другим способом. Мы же это обсуждали сто раз, вы так ничего и не вынесли из этого обсуждения что ли?

Что именно я должен был вынести? Я не спорю, что формальную теорию можно расширять (а можно и не расширять). И я не понял, почему грамматика относится именно к формальной теории. Я всегда полагал, что она относится к языку формальной теории. В той схеме расширений арифметики, о которой мы с Вами говорили, язык не менялся, хотя менялась аксиоматика. Доказываемое утверждение при этом не перестанет быть высказыванием, хотя доказуемость его может измениться.

маткиб писал(а):

А к чему это вообще было? Вы там что-то доказывали что ли?

Определял истинное высказывание, из которого следуют все истинные высказывания.

маткиб писал(а):

А Вы пробовали определить понятие "записать формально"? Откуда такая уверенность, что это нечто само собой разумеющееся?

Нет такой уверенности. Просто обычно так реально и делают: Всё, что имеет какой-то конкретный смысл, а не является пустой философией, в конечном итоге записывается формально.

маткиб писал(а):

Вы понимаете, что для понимания выссказывания Вы должны быть знакомы хотя бы с языком, на котором оно записано (русским, например), и в самом высказывании этой информации нет. Если бы мама Вас не научила русскому языку, то Вы бы и не поняли никогда высказывания, сколько бы уточнений в нём не было. А в математике вообще куча примеров таких абстракций, которые для понимания требуют того, чтобы понимающий "самостоятельно додумался" до этой абстракции, и пока он не додумается, бесполезно ему словами это объяснять и уточнять.

Я это понимаю. Но речь не о "понимании высказывания" и не о "смысле", а о том, что у него есть какое-то значение истинности, которое, как Вы выражаетесь, "существует объективно, независимо от того, что мы об этом знаем". Или я неправильно Вас понял?

маткиб писал(а):

Самый простой пример - множество натуральных чисел. Ну если не понимает человек, что все "строки вертикальных палочек" можно рассмотреть как единую совокупность, то словесные уточнения ему не помогут. "Озарение" должно возникнуть, короче (но гарантии нет, что оно возникнет).

Да, это я такой человек. Когда был маленький, то "понимал". А теперь мне почему-то кажется, что возможность собрать все строки палочек в единую совокупность - это миф, чистая выдумка.

маткиб писал(а):

Стандартная позиция конструктивистов: они хотят, чтобы ИХ УБЕДИЛИ, что используемые в математике методы имеют право на существование. И при этом забывают, что основная задача математики не в том, чтобы "убедить самого непонятливого", а в получении результатов, которые могут иметь применение, и что никто этих "непонятливых" математикой заниматься не заставляет.

Почему же, все прекрасно понимают, что основная задача - получение результатов. Конструктивисты становятся такими "въедливыми" только там, где речь идёт об основаниях математики, т.е. о вещах, в отношении однозначного понимания которых всеми мы должны быть вполне уверены.

маткиб писал(а):

У конструктивного анализа та же самая проблема: для кого-то его абстракции будут сомнительными, так что он принципиально в этом смысле ничем не лучше классического. Всё равно придётся смириться с тем, что эта наука не для всех, а для избранных. И чем шире круг "избранных", тем слабее будут результаты.

Может когда речь идёт о достаточно сложных вещах, то действительно имеем достаточно узкий круг "избранных". Но это не значит, что эти "избранные" наделяются исключительными правами сочинять аксиомы, которые всем остальным остаётся только принимать на веру и с открытыми ртами. Абстракции же конструктивизма достаточно просты для того, чтобы их могли понять и принять даже "не избранные". А остальное (включая весьма сложное) - выводимо.

маткиб писал(а):

Кстати, если уж быть точным, то арифметика Пеано основана на актуальной бесконечности. Например, она содержит закон исключенного третьего, который подразумевает, что любая формула либо истинна, либо ложна (а определение истинности - это уже бесконечный перебор). Более того, есть ещё аксиома индукции, которая подразумевает, что определить истинность можно сразу для бесконечного множества формул!

Может быть я чего-то не понял, но по-моему Вы тут сразу три ерунды высказали:
1. Актуальная бесконечность (она же - аксиома бесконечности) в аксиоматике Пеано не присутствует и из неё невыводима (или, по крайней мере, до сей поры не выведена).
2. Закон исключённого третьего относится к логическим законам, а не к аксиоматике Пеано. Посему возможна теория = аксиоматика Пеано + законы логики без исключённого третьего.
3. Схема индукции в самой формальной арифметике ничего не говорит ни о каких "множествах" формул. Просто есть аксиома для каждой формулы, и всё. В метатеории, в которой определено понятие "формула арифметики" и которая может формулировать утверждения типа: "Для всех формул арифметики ...", индукция определяется одной аксиомой. Но это именно потому, что в ней есть формула, проверяющая, является ли строка "формулой арифметики". К бесконечным множествам это не имеет никакого отношения.

[Droog_Andrey]

Nxx писал(а):

Цитата:

Если рассматривать физику как науку о материи и материальных объектах, а математику - как науку об информации и информационных объектах, то причинность - понятие математическое и представляет собой преобразование информации.

Я с вами не согласен. Убежден, что в математике никакой причинности нет. Если y=f(x), то и x=g(y). Ни то, ни другое не является ни причиной, ни следствием, хотя имеется корреляция. Причинность - понятие физическое и связано с анизотропией времени.

Классическая математика, действительно, не рассматривает причинность. Я говорил о принципиальной возможности математического расмотрения причинности.

А в физике, между прочим, никакой анизотропии времени нет. Все физические уравнения симметричны относительно направления времени.

epros писал(а):

Не было там такого утверждения - не было и информации о причинности, появилось утверждение - появилась и информация о причинности.

Данную импликацию мы имеем право рассматривать как информацию о причинности. Однако это ещё ничего не говорит о действительном существовании этой причинности. См. пример с сараем.

epros писал(а):

Некоторые из этих утверждений - это утверждения о причинно-следственных связях, вот и всё. Чем ещё они должны "являться"?

Ничем. Утверждениями о причинно-следственных связях, и не более того.

Мы с Вами потихоньку приходим к общему мнению

epros писал(а):

Наличие соответствующей информации говорит кое-что об объекте тому, кто этой информации доверяет.

Вот! Это самое "доверие" - и есть привнесение информации ("базовой" по Шеннону") приёмником. В исходном утверждении нет информации о том, доверять ему или нет. Это решаем мы.

epros писал(а):

Подменить объект информацией о нём невозможно, потому что для этого нужно иметь в своих ячейках памяти сам объект. А такого не бывает.

Я привёл конкретный пример парадокса, где жонглирование объектом и информацией о нём имеет место быть. Не следует понимать мои слова как буквальное замещение всего объекта всей информацией о нём; подмена идёт в рассуждениях относительно то самого объекта, то информации о нём.

[Nxx]

Цитата:

А в физике, между прочим, никакой анизотропии времени нет. Smile Все физические уравнения симметричны относительно направления времени.

Неправда.

[epros]

Droog_Andrey писал(а):

Однако это ещё ничего не говорит о действительном существовании этой причинности.

Что такое "действительное" существование причинности? Если Вы утверждаете, что причинность "действительно существует", то означает ли это, что она "действительно существует"?

Droog_Andrey писал(а):

Вот! Это самое "доверие" - и есть привнесение информации ("базовой" по Шеннону") приёмником. В исходном утверждении нет информации о том, доверять ему или нет. Это решаем мы.

Если Вы помните, речь была об истинном высказывании, из которого следуют все истинные высказывания. Т.е. речь не просто о неких утверждениях, которым можно доверять или не доверять, а об "истинных", т.е. о таких, которым "следует" доверять (ибо они "точно уж" истинные).

Droog_Andrey писал(а):

подмена идёт в рассуждениях относительно то самого объекта, то информации о нём

"Рассуждения об информации", насколько я понимаю, это ни что иное, как мета-теория. Раз уж "информацию" составляют те утверждения, которые доказаны принятой нами теорией, то высказываться об этих утверждениях - прерогатива метатеории. Безусловно, мета-теоретические утверждения не следует путать с теоретическими, ибо это может привести к серьёзным ошибкам. Вы об этом что ли говорите?

[Droog_Andrey]

epros писал(а):

Что такое "действительное" существование причинности?

Возможность соответствующего преобразования информации. В нашем случае это доказуемость

epros писал(а):

Если Вы помните, речь была об истинном высказывании, из которого следуют все истинные высказывания.

Импликация всех истинных высказываний действительно верна. Но это вовсе не означает, что мы сможем, опираясь лишь на простоту числа 2, доказать все истинные утверждения, верно ведь?

epros писал(а):

Безусловно, мета-теоретические утверждения не следует путать с теоретическими, ибо это может привести к серьёзным ошибкам. Вы об этом что ли говорите?

В том числе.

Nxx писал(а):

Цитата:

А в физике, между прочим, никакой анизотропии времени нет. Smile Все физические уравнения симметричны относительно направления времени.

Неправда.

Вы имеете в виду то же, о чём говорится в конце гл. I "Статистической физики" Ландау и Лифшица, или что-то другое?